第一章 概率论基本概念.doc

数学学院教师讲稿第一章 概率的基本概念在自然界以及生产实践和科学试验中，人们观察到的现象大体可分为两类：一类是在一定条件下必然发生或必然不发生现象，称为必然现象（确定性现象）。例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100时必然沸腾。”“同性电荷相吸。”等等；另一类现象是在一定条件下，可能出现多种不同的结果，而究竟出现哪一种结果，事先又不能完全确定，这种现象称为随机现象（偶然现象）。例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科。概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分；数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型。虽然概率论与数理统计在方法上如此不同，但做为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各章所必不可少的。第一节 样本空间、随机事件随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。1.随机试验若一个试验具有下列3个特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。则称这一试验为随机试验，记为。下面举一些随机试验的例子：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况。：掷两颗骰子，观察出现的点数。：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的使用寿命。：城市某一交通路口，指定1h内的汽车流量。：纪录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度。2.随机事件与样本空间在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足：1） 每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果；2） 任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成。随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间，记为。样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。下面写出前面提到的试验的样本空间：；,这里x表示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区温度不会小于也不会大于。随机试验的样本空间的子集称为的随机事件，简称事件，通常用大写字母A,B,C,表示。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件；每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件，用表示；在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用表示。3、 事件之间的关系及其运算对于随机试验而言，它的样本空间可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。1）如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B（或称事件B包含事件A），记作或。若，且，则称事件A与B相等（或等价），记为A=BBA规定对任何事件A ，有 2）“事件A与B中至少有一个发生”的事件称为A与B的并（和），记作对任一事件A，B，有 BA 若,推广：表示 “中至少有一个事件发生”这一事件。 表示 “可数无穷多个事件中至少有一个发生”这一事件。3） “事件A与B同时发生”的事件称为A和B的积（交），记作或显然 BA 若，则推广：表示 “这个事件同时发生”这一事件。 表示 “可数无穷多个事件中同时发生”这一事件。4）“事件A发生而B不发生”的事件称为A与B的差，记作.。明显地有 , BA5) 如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B为互不相容事件（或互斥事件），记作。注：（1）任意两个基本事件都是互斥的。（2）如果一组事件中任意两个事件都是互不相容的，即，则称事件俩俩互不相容。6）若且则称事件A与事件互为逆事件（对立事件），A的逆事件记作，是由所有不属于A的样本点组成的事件，它表示“A不发生”这样一个事件。A显然， 注：（1）在一次试验中与有且仅有一个发生。 即不是发生就是发生。（2）对立事件必为互不相容事件，然而，互不相容事件未必为对立事件。（3）若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率。7 ）事件的运算法则1） 交换律 2） 结合律 3） 分配律 ， ，4）5)对偶原则 对有穷个或可数无穷个，恒有 例1.1 设为3个事件，试用表示下列事件。1）A发生，B与C不发生: 或或2）A 与B发生而C 不发生: 或3) A,B,C至少有一个事件发生: ABC或 3）4）5）之并4)A,B,C至少有两个发生: 5) A,B,C恰有两个事件发生: 6） A,B,C恰有一个事件发生 : 7) A,B至少有一个发生而C都不发生: 8) A,B,C不都发生: 9) A,B,C不多于一个发生:或10) A,B,C不多于两个发生；例12在数学系的学生中任选一名学生。若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。（1） 叙述的意义。（2） 在什么条件下成立？（3） 在什么条件下成立？解：（1）该生是三年级学生，但不是运动员。（2）全系运动员都是三年级男生。（3）全系女生都在三年级。例1.3 设事件A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件.解：设B=“甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销”，则，故“甲种产品滞销或乙种产品畅销”第二节 概率、古典概型对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝上）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为1/2）。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而我们再导出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数概率。1.频率定义1.1设在相同的条件下进行了n次试验。若随机事件A在n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作 由频率的定义 ，可以得到频率的性质：1、非负性： 2、规范性： 若为必然事件，则=1；3、有限可加性： 若A,B互不相容即AB=,则=+推广：对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若（ ）, 则 = 。历史上有人做过掷硬币的试验 实验者掷硬币次数出现正面次数 出现正面频率德摩根404020480.5070蒲丰404020480.5070K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，f(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件A，在n次试验中出现的频率f(A)，当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个常数。这个常数定义为事件A发生的概率。这就是概率的统计定义。定义1.2设事件A在n次试验中发生的次数为k，当n很大时，频率 在某一数值P的附近摆动，而随着试验次数n的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数值P为事件A发生的概率，记为P（A）=P。2.概率的公理化定义定义1.3设 为样本空间，A为事件，对于每个事件A赋予一个实数，记作P(A)，如果P(A)满足以下条件：1)、非负性:P(A)；2)、规范性:。3）、可数可加性:对于两两互不相容的可数无穷多个事件，有则称实数P(A)为事件A的概率。注：性质2反过来不一定成立。就是说概率为1的事件不一定为必然事件。同样，概率为0的事件不一定为不可能事件。由概率公理化定义，可以得出概率的其他一些性质：性质1 P（）=0；性质2（有限可加性） 若= （），则=；性质3 设A，B为两事件，(1) P(B-A)= P(B)-P(A)。(2) 若A B 则P(A-B)= P()-P()且 P(A)P()性质4 对任一事件A,P(A)；性质5 对任一事件A，有 P（）=1-P（A）；性质6(加法公式) 对任意两个事件A、B，有P()=P()+P()-P()推论1：P()P()+P()；推论2：设，为n个随机事件，则有 =此公式称为概率的一般加法公式。特别地： P()=P()+P()+P(C)-P()-P()-P()+P(C)例1.4 设A,B为两事件，P(A)=0.5，P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求：（1） A发生但B不发生的概率；（2） A不发生但B发生的概率；（3） 至少有一个事件发生的概率；（4） A，B都不发生的概率；（5） 至少有一个事件不发生的概率。解：（1）P(A )=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4(2) P( B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.2(3)p( )=0.5+0.3-0.1=0.7(4)p( )=p( )=1- p( )=0.3(5)P( )=P( )=1-P（AB）=0.9补充习题：例1：设A，B互不相容，且P（A）)=p，P（B）=q 试求P(),P(),P(),P(),P()解： P()=P()+P()=p+qP()=P()=1-pP()=0P()=P(B-A)= P()-P()=qP()=1- P()=1-p-q例2：设P（A）=p，P（B）=q，P()=r，求P（AB）、P(A)、P() 。解： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=p+q-rP(A)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-qP()=P(A)=1-P(AB)=1-p-q+r例3设ABC为三个事件，且ABC。证明: P（A）+P（B）-P（C）1证： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） 又ABC 所以P（AB）P（C） 所以P（A）+P（B）-P（C）P（AB）1 即P（A）+P（B）-P（C）1例4：设P（A）=P（B）=P（C）=,P（AB）=,P（BC）=P（AC）=0, 求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）因为ABCBC 所以0P（ABC）P（BC）所以P（ABC）=0从而P（ABC）=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8例5：设A，B，C为任意三个事件，证明P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A）证： AA(BC), 所以P（A）P(A(BC)=P(ABAC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC) 又P（ABC）P(BC)所以P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A）例6：某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将n张信纸装入n个信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？解：令=第i张信纸恰好装进第i个信封,i=1，2，3n 则P()=1/n , P()=1 P(AA)=1/n(n-1) i=1,2,.n P(AA)=C= 同理得=C= P（AAA）=C=由概率的一般加法公式有 P（）=（-1）P（AAA） =1-+（-1） 当n充分大时，它近似于是1-e这个例子就是历史上有名的“匹配问题”或“配对问题”。3古典概型定义1.4若随机试验E满足以下条件：1） 试验的样本空间 只有有限个样本点，即 =，2） 试验中每个基本事件的发生是等可能的，即有=。则称此试验为古典概型，或称为等可能概型。它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。对上述古典概型，它的样本空间，从概率论的有限可加性知1=于是 =若事件A包含k个基本事件，即A=则 例如：将一枚硬币连续掷两次就是这样的试验，也是古典概型，它有四个基本事件，（正、正）， （正、反）， （反、正），（反、反），每个基本事件出现的可能结果都是。但将两枚硬币一起掷，这时试验的可能结果为（正、反），（反、反），（正、正）但它们出现的可能性却是不相同的，（正、反）出现的可能性为，而其它的两个事件的可能性为。它不是古典概型，对此历史上曾经有过争论，达朗贝尔曾误为这三种结果的出现是等可能的。判别一个概率模型是否为古典概型，关键是看“等可能性”条件满不满足。而对此又通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析，而不是通过实验来判断。由古典概型的计算公式可知，在古典概型中，若p(A)=1,则A=。同样，若，则。不难验证，古典概型具有非负性、规范性和有限可加性。解古典概型问题的两个要点：1）.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是否有限和等可能性；2）.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的知识。例1.5 将一枚硬币抛掷3次，求：（1）恰有一次出现正面的概率；（2）至少有一次出现正面的概率。解：（1）设A表示“恰有一次出现正面”，则 P(A)= (2)设B表示“至少有一次出现正面”，则 P(B)= 例1.6 一口袋装有6个球，其中4个白球，2个红球。从袋中取球两次，每次随机地取一个。考虑两种取球方式：（a）第一次取一个球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一球。这种取球方式叫做有放回抽取。（b）第一次取球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽取。试分别就上面两种情形求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率。解：（a）有放回抽取的情形设A表示“取到的两个球都是白球”，B表示“取到的两个球都是红球”，C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则表示“取到的两个球颜色相同”，而.故有P(A)= P(B)= 由于AB=,故 P()=P(A)+P(B)= P(C)=P()=1-P(B)= （b）无放回抽取的情形P(A)= P(B)= 由于AB=,故 P()=P(A)+P(B)= P(C)=P()=1-P(B)= 例1.7 箱中装有a个白球，b个黑球，现做不放回抽取，每次一个。求：（1）任取m+n个，恰有m个白球, n个黑球概率（ma,nb）；（2）第k次才取到白球的概率(kb+1)；（3）第k次恰取到白球的概率解：（1） （2） (3) 例1.8 有n个人，每个人都以同样的概率 被分配在N(nN)间房中的任一间中，求恰好有n个房间，其中各住一人的概率。解： 例1.9 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到3个班中，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率。解： （1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”，则 （2）设B表示“3名优秀生分配到同一个班”，则 补充习题：（一）摸球问题例1. 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C种不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。则样本点总数C是有限的。由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相等的，因此这个问题是古典概型。解：设A=，B= 基本事件总数为C A的有利事件数为C, B的有利事件数为， 。在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。例2：在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，3，9，10，从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。解一：令 则 故基本事件总数n=10 令 A=, 因而A含有5个基本事件 解二：令 A=， 则=因而 ,此例说明了在古典概型问题中，选取适当的样本空间，可使我们的解题变的简洁。例3：一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至右恰好成1，2，3，4，5的顺序的概率。解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型， 基本事件总数5！ 令 A= A包含的基本事件数为2，例4：从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张红心、3张方块、2张草花的概率是多少？解：基本事件数为：令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花A包含的基本事件数为：。（二）分房问题例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（nN），求下列事件的概率：1）A=指定的n个房间各有一人住；2）B=恰好有n个房间，其中各有一人住。解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房住多少人），所以n个人住的方式共有种，它们是等可能的。1） n个人都分到指定的n间房中去住，保证每间房中个有一人住；第一人有n 分法，第二人有n-1种分法，最后一人只能分到剩下的一间房中去住，共有 n(n-1).21种分法，即A含有n！个基本事件： =2） n个人都分到的n间房中，保证每间只要一人，共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中任意选取，共有 种取法，故B包含了种取法。=，又如在掷骰子试验中“出现一点”。注意：分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问题是将人一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题有： n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题（配对问题），掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。从上述几个例子可以看出，求解古典概型问题的关键是在寻找基本事件总数和有利事件数，有时正面求较困难时，可以转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。例6：某班级有n个人（n365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”，那么问题就归结为摸球问题；令 A= 则A的情况比较复杂（两人、三人在同一天），但A的对立事件 n个人的生日全不相同,这就相当于分房问题中的2）“恰有n个房间，其中各住一人”；= (N=365) 1 =1-(N=365)这个例子就是历史上有名的“生日问题”，对于不同的一些 n值，计算得相应的P(A) 如下表：（）0.120.410.510.710.890.97表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97 的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97 都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。例7：在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？解：此时将这10个数子看成“房子”，电话号码看成“人”，这就可以归结为“分房问题（2）”。令 取到的号码有由完全不同的数字组成则当然这个问题也可以看成摸球问题，将这十个数字看成10个球，从中有放回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。（三）随机取数问题例8：从1，2，3，4，5这五个数中等可能地、有放回的连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：A= 三个数字完全不相同；B= 三个数字中不含1和5；C= 三个数字中5恰好出现了两次；D= 三个数字中至少有一次出现5。解：基本事件数为：， A的有利事件数为， 故 B的有利事件数为（三个数只能出现2，3，4），故三个数字中5恰好出现两次，可以是三次中的任意两次，出现的方式为种，剩下的一个数只能从1，2，3，4中任意选一个数字，有种选法，故C的有利事件数为，故 P(C)=事件D 包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三种情况D 的有利事件数为：+ 故P(D)=。或可以转化为求D的对立事件的概率=三个数字中5一次也不出现说明三次抽取得都是在1，2，3，4中任取一个数字，故含有个基本事件P(D)=1-P()=1-=0.488。例9：在这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取得的4个数字能组成四位偶数的概率。解：设 A=取得的4个数字能组成四位偶数 从10个数中任取4个数字进行排列，共有种排列方式，所以共有个基本事件。下面考虑A包含的基本事件数，分两种情况考虑一种是0排在个位上，有种选法，另一种是0不排在个位上，有种，所以A包含的基本事件数为+，故P(A)=或先从0，2，4，6，8这5个偶数中任选一个排在个位上，有种排法，然后从剩下的9 个数字中任取3个排在剩下的3个位置上，有种排法,故个位上是偶数的排法共有种，但在这种四个数字的排列中包含了“0”排在首位的情形，故应除去这种情况的排列数。故A的有利场合数为：-例10：任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概率。分析：不能将正整数的全体取为样本空间，这样的样本空间是无限的，谈上不等可能的。解：因为一个正整数的平方的末位数只能取决于该正整数的末位数，它们可以是0，1，2，9这十个数字中的任一个，现任取一个正整数的含义，就是这十个数字等可能地出现的，换句话说，取样本空间。记 A=该数的平方的末位数字是1那么A包含的基本事件为2，A=1,9，故P(A)=；该数的四次方的末位数字是1 , 则B=1,3,7,9，P(B)=；C= 该数的立方后的最后两位数字都是1一个正整数的立方的最后两位数字取决于该数的最后的两位数字，所以样本空间含有个样本点。则该数的最后一位数字必须是1，设最后的第二位数字是a,那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使3a的个位数为1，必须a=7，应而A包含的样本点只有71这一点，故P(C)=。4.几何概型在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。为克服有限的局限性，可将古典概型的计算加以推广。设试验具有以下特点：1） 样本空间是一个几何区域，这个区域的大小可以度量，并把的度量记作m().2） 向区域内任意投掷一点，落在区域内任意一个点处都是“等可能的”，或者设落在中区域A内的可能性与A的度量m（A）成正比，与A的位置与形状无关。 不妨也用A表示“掷点落在区域A内”，则 称它为几何概率。例1.10 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于 的概率。解：设在区间（0，1）内任取两个数x,y,则 0x1,0y0)，向平面任意投掷一枚长为l(l0，则称 为事件已发生的条件下事件发生的条件概率，记作P（A|B），即 P（A|B）=不难验证条件概率(A|B)具有概率的三个基本性质） 非负性：,有 （） 规范性：（） 可列可加性：（i=1，2），且两两互不相容，有4）P()=05)P()=1- P()6)P()=P()+P()-P() 例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别为20人与5人。现从该厂中任选一名职工，则：（1）该职工为非熟练工人的概率；（2）若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率。解：（1）设A表示“任选一名职工为非熟练工人”，则 P(A)= (2)设B表示“选出女职工”，则 例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的动物活到25岁的概率。解：设A表示“活到20岁以上”，B表示“活到25岁以上”,则 P(A)=0.7 P(B)=0.56 且得 例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品的条件下，第二次取到的也是正品的概率。解：设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”，则 P(A)=0.6 P(AB)=0.3 2.乘法定理设两个事件A，B 则有加法公式 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）。特别地，当A，B为互不相容的两个事件时，有 P（AB）=P（A）+P（B）此时有P（A）及P（B）即可求得 P（AB），但在一般情形下，为求得P（AB）还应该知道P（AB）。因而很自然要问，能不能通过P（A），P（B）求得P（AB），即为下述定理：定理1.1（乘法定理） 设P(A)0，则有P(AB)= P(A)P()同理当P(B)0时, P(AB)= P(B)P()乘法公式可以推广到n个事件的情形，=(0)例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率。解：设为第i次抽到合格品的事件，则有 例1.16 设盒中有m个红球，n个白球，每次从盒中任取一个球，看后放回，再放入k个与所取颜色相同的球。若在盒中连取4次，试求第一次、第二次取到红球，第三次、第四次取到白球的概率。解： 设 表示第i次取到红球的事件，表示第i次取到白球的事件，则有 = 例1.17袋中有n个球，其中n-1个红球，1个 白球，n个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i（i=1,2,n）个人取到白球的概率。解：设表示“第i个人取到白球”的事件，则有 由,故，于是 因此，第i个人（i=1,2,n）取到白球的概率与i无关，都是这个例题与例1.7（3）实际上是同一个概率模型。补充习题：例1：甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。记 A= 甲市出现雨天 B =乙市出现雨天求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。解：1）2）3）例2：（抽签问题）有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）解：设=“第i个人抓到票”， （i=1，2，7）显然，如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说，所以于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以 ，类似可得，。3.全概率公式和贝叶斯公式定义1.6 设为样本空间，为的一组事件，若满足1）；2）则称为样本空间的一个划分。为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较简单的事件的并，求出这些较简单事件的概率，再利用加法公式，即为所要求的复杂事件的概率，将这中方法一般化便得到下述定理：定理1.2（全概率公式）设B为样本空间中的任一事件，为的一个划分，且，则有称上述公式为全概率公式。证明：见书定理1.3（贝叶斯公式）设样本空间为，B为中的事件，为的一个划分，且，则有 i=1,2,n称上式为贝叶斯公式，也称为逆概率公式证明：见书一般地，能用全概率公式解决的问题都有以下特点：） 该随机变量可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步试验结果的基础上，再进行第二次试验，又有若干个结果；） 如果要求与第二步试验结果有关的概率，则用全概率公式。例1.18 某工厂生产的产品以100件为一批，假的每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0， 1， 2， 3， 4 概率 0.1，0.2，0.4，0.2，0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。解：以表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通过检验，则有 =0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.652 0.814例1.19某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产品依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在一批产品中检查出次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？解：设分别表示产品来自甲、乙、丙3个车间，B表示产品为次品的事件，则有 =0.450.04+0.350.02+0.20.05 =0035由贝叶斯公式得 由此可见，该次品是由甲车间生产的可能性最大。例1.20 由以往的临床纪录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反映为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反映为阴性的概率为0.98。现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率。解：设A表示“患有癌症”，B表示“试验反应为阳性“，则贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假定, 是导致试验结果的“原因”,P()称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件发生的“原因”，条件概率称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了,中的那一种病，对病人进行观察与检查，确定了某个指标 （譬如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指标来帮助诊断，这时可以用贝叶斯公式来计算有关概率，首先必须确定先验概率P()这实际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可以给出一些初步数据（称为发病率），其次要确定这当然要依靠医学知识，一般地，有经验的医生掌握得比较准，从概率论的角度P ()的概率较大，病人患种病的可能性较大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这种方法是实用价值的。补充习题：例1：有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。解：令B= 最后取出的球是白球， 显然导致B发生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，因此，如果令 =先取出的二球有只白球 ，=0，1，2,则有P(B)= P ()P ()+ P()P ()+ P()P ()=例2：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？（0.026）已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么，他属于那一类型的人？P ()= ,P ()=A=客户购买保险单后一年内出一次事故B= 他属于容易出事故的人例3：用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=被检验者患肝癌A=甲胎蛋白法检查结果为阳性则 = 被检验者未患肝癌甲胎蛋白法检查结果为阴性 由过去资料 P(A)=0.95, P()=0.90又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白检查结果为阴性的人，求这批人中患有肝癌的概率P()。 解：由贝叶斯公式P ()=由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95及 P() =0.90对比一下是很有意思的。因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的人确实患肝癌的可能性并不大。第四节 独立性1.事件的独立性例1.21 某公司有工作人员100名，其中35以下的青年人40名，该公司每天在所有工作人员中随机选出一人为当天的值班员，而不论其否在前一天刚好值过班。求：（1） 已知第一天选出是青年人，第二天选出青年人的概率；（2） 已知第一天选出不是青年人，第二天选出青年人的概率；（3） 第二天选出青年人的概率解：以分别表示“第一天选出青年人”，”第二天选出青年人”,则P()=0.4 P()=0.16 （1） (2) (3) 定义1.7 设满足), 则称事件是相互独立的.依这个定义，必然事件与不可能事件与任何事件都相互独立的，因为必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何事件的影响，也不影响其它事件是否发生。定理1.4 若事件A、B相互独立，则下列事件也相互独立：与B, .证明见书。定理1.5 若事件A、B相互独立，且,则 .定义1.8、设是3个事件，如果满足等式： 则称为相互独立事件。由三个事件的独立性可知，若相互独立，则是两两相互独立，反之不一定成立。例1.22 设一个盒中装有4张卡片，4张卡片上依次标有下列字母： XXY, XYX, YXX, YYY从盒中任取一张卡片，用表示“取到的卡片第i位字母为X”(i=1,2,3)的事件。求证：两两相互独立，但并不相互独立。解： 故两两相互独立。但，而 ，故不相互独立。定义1.9对n个事件，若以下个等式成立： = = =1则称是相互独立的事件。由定义知,1) 若事件，n2相互独立，则其中任意k（2kn）个事件也相互独立。2)设n个事件n2相互独立，则将，中任意多个事件换成它们的对立事件，所得n个事件仍相互独立。特别地，若相互独立，则也相互独立。例1.23 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95以上？解：设需要n门高射炮，A表示事件“飞机被击中”， 表示事件“第i门高射炮击中飞机”（i=1,2,，n），则 =