第十六讲 和圆有关的比例线段(含解答)-竞赛.doc

第十六讲 和圆有关的比例线段【趣题引路】 某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.如果人的眼部高度为1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?毛 解析 广告牌AB在视线的水平线DF之上.如图,因此,可过AB两点作一个圆,使圆与DF相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF的水平线上,除D点外,DF上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE处时ADB最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE的距离呢? 由切割线定理可知,DF2=BFAF,且CE=DF,因此,很容易得到 DF2=49=36,DF=6(m) 即人距离广告牌6m左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】 过一点P作与圆有关的两条直线,点P与圆的不同位置有两种:1.当点P在圆内时,这两条直线分别交圆于A、B和C、D,则PAPB=PCPD,这就是相交弦定理,如图1. （1） (2) (3) 2.当点P在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A、B与C、D,则PAPB=PCPD称作割线定理:如图2. (2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PAPB=PM2. 相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),我们统称为圆幂定理. (5)圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EFOP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PAPB=PCPD=PEPF=PF2=r2-OP2,其中r为O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PAPB=PCPD=PMPN=PM2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PAPB=r2-OP2.换言之,圆幂定理可叙述为:通过不在O上一定点P向O任作一直线交O于A、B两点,则有PAPB=r2-OP2.(r2-OP2叫做点对于O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,常可利用圆幂定理去求. 例1 已知,如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求O的直径AB. 解析 设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CDCF.42=k4k,k=2. CE=6,DE=4,EF=2. 在RtACE中,由勾股定理,有 AE=2,根据相交弦定理,得AEEB=DEEF. 2EB=42，EB=。 AB=AE+EB=.点评利用圆幂定理计算,就是利用圆幂定理列出含待求线段的方程,若方程中还有一个未知线段,设法先求出这条线段,不仅要注意利用圆幂定理,还要充分发挥相似三角形的性质和勾股定理的作用. 例2 已知圆内接四边形ABCD,延长AB、CD交于点E,延长AD、BC交于点F.FM,FN为圆的切线.分别以E、F为圆心,EM,FN为半径作孤,两孤交于K,如图.求证:EKFK.证明 连结EF,过B、C、E三点作圆交EF于H,连结CH.B、C、H、E共圆,1=2. A、B、C、D共圆, 1=3, 2=3. 故D、C、H、F四点共圆. 由切割线定理,得EM2=ECED=EHEF. FN2=FCFB=FHFE, ME2+FN2=(EH+FH)EF=EF2 又EM=EK,FN=FK, EK2+FK2=EF2. 故EKF为直角三角形, EKF=90,故EKFK.点评本题利用四点共圆,把隐含圆的圆找出来,然后利用圆幂定理,勾股定理的逆定理来解决此题.【好题妙解】佳题新题品味 例1 已知,如图,AEBC于点E,BDAC于D,AE、BD相交于点F.求证:AB2=AFAE+BFBD.证明 作BEF的外接圆,设圆心为O,交AB于M.连结FM,由切割线定理,得AFAE=AMAB. BEF=90,BF是O的直径. BMF=BDA, FBM=ABD, BMFBDA. ,BFBD=ABBM. AFAE+BFBD=AMAB+ABBM=AB2.点评 结论中的AFAE使我们联想到切割线定理.把线段AFE看成是以FE为弦的圆的割线,可过E、F、B作圆,交AB于M,则AFAE=AMAB;再设法求出BFBD,两式相加,本题是通过构建辅助图,利用切割线定理及相似三角形的性质,使问题得以巧解. 例2 如图,P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点,DP与AC、BC分别交于点E、F,EG是过B、F、P三点的圆的切线,G为切点.求证:EG=DE. 证明 ADBC,AEDCEF. DE:EF=AE:EC. 又APDC,AEPCED. AE:EC=EP:DE. 由、,得DE:EF=EP:DE, 即DE2=EFEP. 而EG是过B、F、P三点的圆的切线. EFP为此圆的割线. EG2=EFEP, DE2=EG2,故DE=EG.点评平方法是圆中证线段相等的重要方法,当要证相等的线段中有一条是圆的切线时,常采用这种方法,两线段的平方常由切割线定理,相似三角形的性质来证.中考真题欣赏例1 (2003年昆明市中考题)已知,如图,O及O外一点C,CA切O于点A,CB切O于点B,且ACB=90,过点B作O的割线交O于点D,交AC的延长线于点P,AC=3,PC=4.求O的弦BD的长. 解析 CA切O于点A,CB切O于点B, AC=BC=3,BCP=90,PC=4,PB=,PA2=PBPD,PA=7,PB=5,5PD=72, PD=(或PD=9.8). DB=PD-PB=-5=(或4.8)点评 本题利用切割线定理,使问题得解. 例2 (2003年四川省中考题)已知,如图,以正方形ABCD的AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF=4. 求:(1)cosF的值; (2)BE的长. 解析 (1)连结OE DF切半圆O于点E,OE为半径, OEEF,即OEF=90. ABCD是正方形,AB=AD,DAF=90.OEF=DAF. 又F为公共角,OEFDAF. ,即AF=2EF. DF切半圆O于点E,FBA为半圆O的割线, 由切割线定理有 EF2=FBFA=BF2EF. EF=2BF.BF=4. EF=24=8,AF=28=16. AB=AF-BF=16-4=12, FO=AB+BF=12+4=10. 在RtOEF中,cosF= (2)连结AE,DF切半圆O于点E, EAF=BEF.F为公共角, BEFEAF, .设BE=k,则AE=2k.AB为半圆O的直径,AEB=90.在RtAEB中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即(2k)2+k2=122.k0,k= ,BE=.点评本题利用三角形相似,切割线定理,勾股定理等将已知和未知的关系联系起来,从而使问题得以解决.竞赛样题展示 例1 (2001年TI杯全国初中数学竞赛)如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线,过点P作O的割线PAB,交O于A、B两点,与ST交于点C.求证: . 证明 连PO交ST于点D,则PDST,连SO,作OEPB,垂足为E,则E为AB中点.于是,PE=. C、E、O、D四点共圆, PCPE=PDPO.又RtSPDRtOPS. ,即PS2=PDPO. 而由切割线定理知,PS2=PAPB, 则PC=PAPB. 即.点评本例利用切线长定理、垂径定理、切割线定理构造图形来解题. 例2 (2002年山西太原市初中数学竞赛)如图,AB为O的直径,C为O上一点,延长BC至点D,使CD=BC,CEAD,垂足为点E,BE交O于点F,AF交CE于点P.求证:PE=PC. 证明 延长DA交O于点K,连结BK,OC. AB是O的直径, BKDA.又CEAD,CEBK,故1=2,又A、K、B、F四点共圆,有2=3, 1=3.PEFPAE, 因此,有PE2=PAPF.又为ABD的中位线, OCAD.则CEOC.可知CE为O的切线,故PC2=PFPA,PE2=PC2,即PE=PC.点评几何图形中有直径这一条件,常添加辅助线,构成直径上的圆周角是直角,使其构成直角三角形.全能训练A卷1.如图,O的直径AB=10,P是OA上一点,弦MN过点P,且AP=2,MP=2,求弦心距OQ.2.如图,已知AB是O的直径,P是O外一点,PDAB于D,交O于E.PA交O于C,BC交PD于F.求证:DE2=DFDP.3.已知:如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为E,弦AQ交CD于点P.如果AB=10,CD=8,求:(1)DE的长;(2)AE的长;(3)APAQ的值.4.如图书馆，A、B、C、D在同一圆上，BC=CD，AC、BD交于E。若AC=8，CD=4，且线段BE，ED为正整数，求BD的长。5.如图,PAB为过圆心O的割线,且PA=OA=4,PCD为O的另一条割线,且PC=DC.求:(1)PC的长;(2)SPAC:SPDB.6.如图,ABC是O的内接三角形,BAC的平分线交BC于D,交O于E. 求证:ABAC=AD2+BDDC.B卷1.如图,点C是O外一点,过点C作O的切线CB和CD,切点分别为点B、D,连结曲 BO并延长交O于点E,交CD的延长线于点A,若AD=mAE,且tan,求m的值.2.ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2P100,记mi=APi2+BPiPiC(i=1,2,100)求m1+m2+m100的值.3.如图,ABC内接于O,AB是O的直径,PA是过点A的直线,PAC=B.(1)求证:PA是O的切线;(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于点F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求AB的长和tanECB.4.如图,PA为O的切线,A为切点,PBC为割线,APC的平分线PF交AC于点F,交AD于点E. (1)求证:AE=AF; (2)若PB:PA=1:2,M是BC上一点,AM交BC于点D,且PD=DC,试确定点M在BC上的位置,并证明你的结论.5.如图,ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC,已知圆过点C且与AC相交于点F,与AB相切于AB的中点G.求证:ADBF.6.如图,AB、AC分别是O的切线和割线. (1)求证:AB2=ADAC;(2)若C=45,BDA=60,CD=,求切线AB的长.A卷答案：1.连结ON.PAPB=PMPN,而PM=2,PA=2,PB=AB-PA=8,28=2PN,PN=4,MN=6.又OQMN,QN=MN=3 .在RtOQN中,OQ=.2.连BE,EA,则DE2=DABD.又RtBDFRtPDA, ,即BDDA=DFDP,DE2=DFDP3.分两种情形:第一种情形(1)点E在OA上时,AB为直径,CDAB于点E,CD=8,DE=CD=4;(2)连结OD,在RtOED中,OD=AB=5,DE=4,OE=3,AE=2;(3)连结BQ.如图,AB为O的直径,Q=90,而PEAB,AEP=90,BAQ=PAE.APEABQ.,即APAQ=AEAB,APAQ=210=20. 第二种情形: 点E在OB上时,如图,(1)DE=4;(2)AE=AO+OE=8;(3)APAQ=AEAB=80.4.BC=CD,BAC=CAD.CAD=CBD,BAC=CBD,BCE=ACB.BCEACB.BC2=ACCE.BC=CD=4,AC=8,CE= =2.AE=AC-CE=8-2=6.由相交弦定理有BEED=ECEA=26=12.BE、ED均为正整数,BE、ED的可能值分别为1,12或2,6或3,4.由三角形三边之间的关系得BE、DE为3、4,BD=7.5.(1)设PC=x,则PD=2x.由切割线定理的推论有PAPB=PCPD.即4(4+8)=x2x2.x=,x=2,即PC=2;(2)四边形ABCD内接于O,PCA=PBD,P=P.PACPDB.SPAC:SPDB=PC2:PB2=(2)2:122 =1:6.6.连结EC,由ABDAEC,ABAC=ADAE=AD(AD+DE)=AD2+ADDE,由相交弦定理,得ADDE=BDDC,ABAC=AD2+BDDC.B卷答案：1.连结OC、OD,AD2=AEAB,AD=mAE,=m.又OCB=OCD,tan=tanOCB= , .又AODABC,=3,m=3.2.以A为圆心,2为半径作圆,如图,延长APi,分别交A于D、E.由相交弦定理,有BPiPiC=PiEPiD=(AE+PiA)(AD-PiA)=(2-APi)(2+APi)=4-APi2,APi2+BPiPiC=4,故m1+m2+m100=400.3.(1)AB为O的直径,ACB=90,CAB+B=90.PAC=B,PAC+CAB=90.PA为O的切线.(2)设CE=6k,ED=5k,AE=2x,EB=3x(k0,x0).CEDE=AEBE,即6k5k=2x3x,x=k.AE=2k,BE=3.FA为O的切线,FA2=DFCD,FAD=ACF,FAE=90.FA2=EF2-AE2.DFCF=EF2-AE2.DF(DF+11k)=(DF+5k)2-(2)2解得DF=5k,DF=DE,即D为EF的中点.连结AD,AD=DF=DE,AFD=FAD=ACD,DAO=AED.AF=AC,AC=8.由FA2=DFCF,得82=5k(5k+5k+6k),得k=,AB=AE+EB=5k=10.AED=DAE=ECB,tanECB=tanAED=2.4.(1)证AEF=AFP;(2)设PB=k,则PA=2k.由PA2=PBPC,得PC=4k.PD=DC=2k=PA.可证PFAM,由(1)中AE=AF,可得BAM=MAC.M是BC中点.5.作DE