材料：复数运算及复数方程 - 新课程答疑材料——复数.doc

新 课 程 教 育 在 线 复数运算及复数方程一、复数概念与运算1. （1）复数的单位为i，它的平方等于1，即.（2）复数及其相关概念： 复数：形如a + bi的数（其中）； 实数：当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数：当时的复数a + bi； 纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数集C：全体复数的集合，一般用字母C表示.2、复数是实数的充要条件： z=a+biRb=0（a、bR）； zRz=； ZR3、复数是纯虚数的充要条件： z=a+bi是纯虚数a=0且b0（a、bR）； z是纯虚数或0Z+=0；z是纯虚数 z204、两个复数相等的定义：注意：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.5、模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：.6、复数加、减、乘、除法的运算法则：设，则； 7、 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数即z=a+bi，则，（a、bR），实数的共轭复数是其本身性质： 、 、，、 、 、（） 、 8、 复数的乘方： （2）对任何，及有 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. 复数集内解方程不能采用两边平方法.（3）常用的结论：， ， 若是1的立方虚数根，即，则 二、复数的几何性质1、加法的几何意义：设各与复数z1，z2对应，以为边的平行四边形的对角线就与z1+z2对应2、减法的几何意义：设各与复数z1，z2对应，则向量所对应的复数就是z2-z1，z1-z2的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离3、复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 4、曲线方程的复数形式：为圆心，r为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.5、绝对值不等式：设是不等于零的复数，则.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.三、 复数方程在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若0，则有二相等复数根（为共轭复数）.当不全为实数时，不能用方程根的情况.不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.四、例题解析例1、已知下列命题：（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比较大小；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）若 tsi=34i，则 t=3、s=4其中真命题为 例2、（07上海高考）对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 例3、使不等式成立的实数m A1 B0 C3 D复数无法比较大小例4、（10浦东二模）设为坐标原点，复数在复平面内对应的点分别为，则下列结论中不一定正确的是 （ ） A B C D 例5、设zC，|z|=1，则|z+i|的最大值为 例6、如果复数满足，那么的最小值 （ ）A1BC2 D例7、已知集合，若，则满足的关系是_例8、若23i是方程x2+mx+n0的一个根，则实数m，n的值为_例9、若非零复数满足,则的值是（ ）A1BCD例10、设是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程例11、若复数z满足（tR），求z的对应点Z的轨迹方程例12、（05上海高考）证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解例13、已知，且（1）求的最大值（2）复数z的实部与虚部的和的最大值例14、（10浦东二模）设复数与复平面上点对应.（1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且，求实数的值；（2）设复数满足条件（其中、常数），当为奇数时，动点的轨迹为. 当为偶数时，动点的轨迹为. 且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与