第二单元 导数与微分.doc

第二单元 导数与微分的 导 数一、导数的概念 1、定义： 2、几何意义：过（x0,f(x0)）点的切线的斜率，即。 切线方程： 法线方程： 3、可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。如y=x，在x=0处不可导。 4、左、右导数：（左导） （右导） 5、导数存在的充要条件： （分段函数必须用此讨论） 6、极限、连续、可导之间的关系：在x0处，可导连续极限存在，反之不真。二、导数公式： 1.； 2.3. 4. 6.9. 10.11. 12.13. 14.15. 16.三、导数的四则运算 设，都是可导的函数，则有：和差法则: 乘法法则： 特别地，（c是常数）；除法法则： 四、复合函数微分法 设函数在处有导数，函数在点的对应点处也有导数，则复合函数，在点处有导数，且 五、隐函数求导法 设 y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定，求y / 时，将方程中的y看作中间变量，先对其求导，再对x求导，解出y /即可。x=(t)六、由参数方程确定的函数的求导法则y=(t) 设y=y(x)由 所确定，(t) 、(t)可导，且 /(t)0，则有： 七、对数求导法 幂指函数的导数，可化成隐函数lny = vlnu,按隐函数求导法求其导数。八、高阶导数 1、显函数：一阶一阶的往上求，直至满足要求。 2、隐函数： 3、参数方程所表示的函数：均是对t求微分） 或 微 分一、概念：二、微分与导数的关系：导数 微分三、微分基本公式：（略，见导数基本公式）四、微分的四则运算（1）（2），特别地，（C为常数）（3）五、复合函数的微分法则设 则复合函数的微分为：六、微分用于近似计算例1 设f(x)在x = x0处可导，且f /(x0)= 2,求。 解： 例2 设y=f(x)满足，求f /(0)（求x0=0时的导数) 解： 所以 例3 设f(x)在x=2处可导，且f /(2)=1,求 （x0=2） 解： 例4 设f /(x0)=1,f(x0)=0,求 （化成分式，添项） 解： 例5 设y=f(x)在点x=1处可导，且求f(1)。（利用可导与连续关系求函数值） 解： 因y=f(x)在点x=1处可导，可知f(x)在x=1处必连续，由定义知 例6 设f /(1)=1，求 （相应于区间1，x的增量） 解： 例7 设 解： 例8 设 解： 例9 求曲线y=1+sinx在点（0，1）处切线的斜率k。 解：y /=cosx，y /(0)=1，所以 k=1. 例10 设y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1确定，求 解：等式两端同时求导得：sin(x+y)(x+y) /+y /=0,即 sin(x+y)(1+y /)+y /=0，解得 例11 求由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数y /。 解：等式两端同时求导得： 所以 例12 设函数，求y / (对数求导法) 解：等式两端同时取对数得：ln y = sinx lnx 两端关于x求导得： 所以 例13设函数y=y(x)由参数方程x=cost,y=sint-tcost确定，求y/，y/。 解： （参数方程的导数） 例14 设 解： ln (1-x) , -1x0 例15 讨论f(x)= 在x=0处的连续性与可导性。 解： 而f(0)=ln(1-0)=0,所以f(x)在x=0处连续。 由=1，可知，故f(x)在x=0处可导。 例16 设，其中f /(x)存在，求y /。 解： 例17 设 解： 所以 f/(-1)=0 例18 设 解： 例19 设，求y /. (先化简，再求导) 解： 例20 设方程y=sin(x+y)确定了函数y=y(x),求y/ (用微分法) 解： 0 , x = 0 例21 设函数f(x)= 问x=0处可导吗？ 解：该分段函数在x=0两侧的函数表达式虽相同，而的极限不同，要分左右导数讨论。 所以，在x=0处左右导数不相等，故导数不存在。 例22 设y=f(x)由参数方程x=ln(1+t2) , y = t-arctant确定，求 （06、14） 解： 例23 设函数y=y(x)是由参数方程x=cost, y=sint-tcost所确定，求 （05、14） 解： 例24 设函数y=y(x)由方程确定，求 解：两端对x求导得： （07、14） 所以，又当x=0时y=0 故 ，用x=0,y=0及y/(0)=1代入得： 例25 函数f(x)是可导函数，下列各式中正确的是（ A ） A、 B、 C、 （08、2） D、 （在0，x区月份间上） 例26 函数y=y(x)由方程x=t-sint,y=1-cost所确定，求 （08、14） 解： 例27 计算的近似值。 解：选，x0=100, x=100.1, 则 代入公式：f(x)f(x0)+f/( x0)(x-x0)得：x2+x, x0 x2-x, x1ax3+bx2+cx+d, 0x1例28 已知f(x)= 在（-，+）内处处可导，试求a、b、c、d的值。 解：分段点为x=0及x=1, f(x)在x=0处连续 (可导必连续) 因f(0)=0, 所以d=f(0)=0 又因f(x)在x=1处连续 ,即a+b+c=0 由于f(x)在x=0可导， （讨论x=0的导数取由0增大到x ） 所以 故c=1 由于f(x)在x=1可导，（讨论x=1的导数取由1增大到x ） 所以 ，故 由、联立解得：a=2, b=-3,c=1 所以，当a=2, b=-3,c=1，d=0时f(x)在（-，+）内处处可导。例29 若y=x2+ax+b与2y=-1+xy3在点（1，-1）处相切，求常数a,b.