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数字电子技术基础 第一章逻辑代数基础 第二章门电路 第三章组合逻辑电路 第四章触发器 第五章时序逻辑电路 第六章脉冲波形的产生和整形 第一章逻辑代数基础 1 1概述 1 2逻辑代数中的三种基本运算 1 3逻辑代数的基本公式和常用公式 1 4逻辑代数的基本定理 1 5逻辑函数及其表示方法 1 6逻辑函数的公式化简法 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 1 8具有无关项的逻辑函数及其化简 1 1概述 1 1 1数字量和模拟量 模拟量 时间上 数量变化上都是连续的物理量 表示模拟量的信号叫做模拟信号 工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路 数字量 时间上 数量变化上都是离散的物理量 表示数字量的信号叫做数字信号 工作在数字信号下的电子电路称为数字电路 1 1 2数制和码制 多位数码中 每位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制 数字电路中常用进制有十进制 二进制 i 0 n n是整数部分的位数 2 逢二进一 0 1 二 10 逢十进一 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十 基数 计数规则 数码 进制N 一 数制 任意进制数表达式的普遍形式 1 数制的基本知识 式中 S为任意数 N为进制 Ki为第i位数码的系数 Ni为第i位的权 3 11 2 10 1 01 0 00 3 011 5 101 6 110 4 100 7 111 2 010 1 001 0 000 2 不同位数的二进制数 3 数制转换 1 二 十 2 十 二 故 二进制数转换为十进制数 用 表达式展开法 例 将 11 10化为二进制数 用除2取余法 用 除2取余法 例 1011 2 0 22 1 21 1 20 1 23 11 2 5 余1 K0 2 2 余1 K1 2 1 余0 K2 余1 K3 十进制转换成二进制 8 0 2 1 11 10 将代码为1的数权值相加 即得对应的十进制数 其他进制一样 十进制小数转换成二进制小数十进制小数转换成二进制小数采用 乘2取整 顺序排列 法 具体方法是 用2乘以十进制小数 可以得到积 将积的整数部分取出 再用2乘以余下的小数部分 又得到一个积 再将积的整数部分取出 如此进行 直到积中的小数部分为零 或者达到所要求的精度为止 然后把取出的整数部分按顺序排列起来 先取出的整数作为二进制小数的高位有效位 后取出的整数作为低位有效位 例 把 0 8125 转换成为二进制小数 解 0 812521 6250 取整数 10 62521 250 取整数 10 25 顺序排列 20 50 取整数 021 00 取整数 1所以 二进制小数转换成十进制小数同样 二进制小数也可以转换成十进制小数 转换的方法还是按照公式展开法 例 将 1011 01 转换成十进制 解 其他进制的小数与十进制之间的转换也是类似的 只不过权变化了而已 同样 在转换过程中 我们也可以将其他进制的小数先转换成二进制 然后再转换成十进制 这样或许会简单明了一点 二 码制 内容见下表 例如 一位十进制数0 9十个数码 用四位二进制数表示时 其代码称为二 十进制代码 简称BCD代码 不同的数码不仅可以表示数量的大小 还可以表示不同的事物 用来表示不同事物的数码称为代码 编制代码遵循的规则叫做 码制 BCD代码有多种不同的码制 8421BCD码 2421BCD码 余3码等 十进制 编码种类 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 8421 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 A 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1110 1111 2421 2421码 B 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 5211码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111 余3循环码 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 步进码 00000 10000 11000 11100 11110 11111 01111 00111 00011 00001 2421 5211 对于恒权码 将代码为1的数权值相加即可得代码所代表的十进制数 余3码的编码规律 在依次罗列的四位二进制的十六种态中去掉前三种和后三种 所以叫 余3码 余3循环码的主要特点 相邻两个代码之间仅有一位的状态不同 因此将余3循环码计数器的输出状态译码时 不会产生竞争 冒险现象 余3码 余3循环码和步进码是无权码 8421 2421和5211BCD码是恒权码 例如 1001 8421BCD 1111 2421BCD 0111 1001 8421BCD 1011 1111 2421BCD 8 1 9 10 2 4 2 1 9 10 79 10 59 10 1 2逻辑代数中的几种基本运算 在正逻辑中 1表示事件的发生 0表示事件不发生 1表示条件具备 开关接通 高电平等 0表示条件不具备 开关断开 低电平等 逻辑代数 开关代数 布尔代数 用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题 参与逻辑运算的变量叫逻辑变量 用字母A B 表示 每个变量的取值非0即1 0 1不表示数的大小 而是代表两种不同的逻辑状态 补前面内容 2 与逻辑真值表 3 与逻辑函数式 4 与逻辑符号 5 与逻辑运算 AB Y 00 01 10 11 0 0 0 1 逻辑代数的三种基本运算 一 与逻辑运算 1 与逻辑定义 当决定某一事件的所有条件都具备时 事件才能发生 否则就不发生 这种决定事件的因果关系称为 与逻辑关系 或者叫逻辑乘 二 或运算 当决定某一事件的一个或多个条件满足时 事件便能发生 当所有条件都不具备时 事件才不发生 这种决定事件的因果关系称为 或逻辑关系 或者叫逻辑加 AB 01 10 11 Y 0 1 1 1 2 或逻辑真值表 3 或逻辑函数式 4 或逻辑符号 Y A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 5 或逻辑运算 1 或逻辑定义 00 三 非运算 条件具备时 事件不能发生 条件不具备时事件一定发生 这种决定事件的因果关系称为 非逻辑关系 或者叫逻辑反 5 非逻辑运算 4 非逻辑符号 3 非逻辑函数式 2 非逻辑真值表 A Y 0 1 1 0 1 非逻辑定义 四 几种最常见的复合逻辑运算 1 与非 2 或非 3 同或 4 异或 5 与或非 真值表和逻辑图见书中介绍 1 3逻辑代数的基本公式和常用公式 10 1 0 A 0 11 1 A 1 2 1 A A 12 0 A A 3 A A A 13 A A A 4 14 5 A B B A 15 A B B A 6 A B C A B C 16 A B C A B C 7 A B C A B A C 17 A B C A B A C 8 18 9 19 试证明 A AB A 1 列真值表证明 2 利用基本公式证明 A BC AB C 二 推广举例 AB 00 01 10 11 A AB 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 A 0 0 1 1 A AB A 1 B A 1 A 常用公式的证明与推广 一 证明举例 VCD 分配率A B C AB AC 0 1率A 1 1 反演规则 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点 1 保持运算的优先顺序不变 必要时加括号表明 如例1 2 变换中 几个变量 一个以上 的公共非号保持不变 如例2 利用反演规则 可以非常方便地求得一个函数的反函数 解 解 将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 原变量 反变量 反变量 原变量 所得新函数表达式叫做L的反函数 用表示 例1求函数的反函数 例2求函数的反函数 1 5逻辑函数及其表示方法 1 5 2逻辑函数的表示方法 例 某一逻辑电路 对输入两路信号A B进行比较 一 真值表表示法 A B Y 00 01 10 11 0 1 1 0 真值表表示法 逻辑函数式表示法 逻辑图表示法 波形图表示法 卡诺图表示法等 试表示其逻辑关系 A B相异时 输出为1 相同时 输出0 输入 输出 状态表表示法 1 5 1逻辑函数 二 逻辑函数式表示法 一 最小项 1 二变量的全部最小项 AB 最小项 编号 00 01 10 11 AB m0 m1 m2 m3 2 三变量的全部最小项 ABC 最小项 编号 000 001 010 011 100 101 110 111 m0 ABC m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 3 四变量的全部最小项 编号为m0 m15 在n变量逻辑函数中 若m是包含n个因子的乘项积 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次 则称m为该组变量的最小项 略 把输出和输入之间的逻辑关系写成基本逻辑运算或其组合形式 就得到了所需的逻辑函数式 二 逻辑函数式表示法 Y 已知 所以 三 逻辑图表示法 把各变量之间的逻辑关系用图形符号来表示 A B Y 四 波形图表示法 A B Y 五 卡诺图表示法 在本章第七节中讲 各种表示法间的转换既然同一个逻辑函数可以用不同的方法描述 那么 这些方法之间必能互相转换 怎么转换 大家可以自己归纳 书中也有介绍 1 5 3逻辑函数的两种标准形式 最小项之和形式 最大项之积形式 这里 重点介绍最小项之和形式 一 最小项 标准形式 最小项的性质 2 全体最小项之和为1 3 任意两个最小项的乘积为0 1 在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1 4 具有相邻性的两个最小项可以合并 并消去一对因子 例如 将它们合并 可消去因子 二变量全部最小项有m0 m3共4个 三变量全部最小项有m0 m7共8个 四变量全部最小项有m0 m15共16个 只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项 BC 二 最大项 在n个变量逻辑函数中 若M为n个变量之和 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次 则称M为该组变量的最大项 最大项的主要性质在输入变量的任何取值下必有一个最大项 而且只有一个最大项的值为0 全体最大项之积为0 任意两个最大项之和为1 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 另外 编号相同的最大项和最小项之间还有这样的关系 二 逻辑函数的最小项之和形式 AB m0 m2 m3 例2 Y AB C可化为 m1 m3 m5 m6 m7 m3 m2 m0 Y AB m6 m7 m3 m5 m1 m7 1 6逻辑函数的公式化简法 一 最简标准 二 常用的最简形式 逻辑函数式中 包含的或运算的项最少 每一项中包含与运算的因子最少 则此函数式为最简函数式 有与 或式和与非 与非式 AB C AB C 最简与非 与非式 将与 或式取两次非可得与非 与非式 最简与或式 二输入四或门74LS32一片 只需要 二输入四与非门74LS00一片 按与 或式AB C设计此逻辑电路 需两块芯片 二输入四与门74LS10一片 三 逻辑函数的公式化简法 常用的公式化简方法 利用基本公式和常用公式 再配合并项法 吸收法 配项法等 1 逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的 可以有多种形式 并且能互相转换 例如 与 或表达式 或 与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与 或 非表达式 其中 与 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式 2 逻辑函数的最简 与 或表达式 的标准 3 用代数法化简逻辑函数 1 并项法 运用公式将两项合并为一项 消去一个变量 例 1 与项最少 即表达式中 号最少 2 每个与项中的变量数最少 即表达式中 号最少 4 配项法 2 吸收法 3 消去法 运用吸收律A AB A 消去多余的与项 例 例 运用吸收律消去多余因子 先通过乘以或加上 增加必要的乘积项 再用以上方法化简 例 在化简逻辑函数时 要灵活运用上述方法 才能将逻辑函数化为最简 例化简逻辑函数 利用A AB A 利用 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示 并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻 所得图形叫n变量全部最小项的卡诺图 一 卡诺图 n变量全部最小项的卡诺图 1 一变量全部最小项的卡诺图 一变量Y F A Y A 0 1 A Y A 0 1 m0 m1 全部最小项 A 卡诺图 A B Y 0 1 0 1 m0 m1 m2 m3 Y AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 Y A BC 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m4 m5 m3 m2 m7 m6 2 二变量全部最小项的卡诺图 Y F A B Y AB C 00 01 11 10 0 1 m0 m1 m4 m5 m3 m2 m7 m6 3 三变量全部最小项的卡诺图 Y F A B C Y AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 m0 m1 m4 m5 m3 m2 m7 m6 m12 m13 m8 m9 m15 m14 m11 m10 Y ABC D 000 001 011 010 100 101 111 110 0 1 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m8 m9 m11 m10 m12 m13 m15 m14 4 四变量全部最小项的卡诺图 Y F A B C D 注意 左右 上下 在卡诺图中 每一行的首尾 每一列的首尾 的最小项都是逻辑相邻的 卡诺图 1 1 1 1 1 1 0 0 二 用卡诺图表示逻辑函数 1 把已知逻辑函数式化为最小项之和形式 2 将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1 其余方格中填0 即 逻辑函数应为卡诺图中等于1的那些最小项相加 方法一 解 根据函数式直接填卡诺图 方法二 1 1 1 1 1 0 0 1 1 例 用卡诺图表示之 1 1 7 2逻辑函数的卡诺图化简法 化简依据 逻辑相邻性的最小项可以合并 并消去因子 化简规则 能够合并在一起的最小项是2n个 如何最简 圈的数目越少越简 圈内的最小项越多越简 特别注意 卡诺图中所有的1都必须圈到 不能合并的1必须单独画圈 上两式的内容不相同 但函数值一定相同 Y1 A C Y1 A B 此例说明 一逻辑函数的化简结果可能不唯一 例1 画矩形圈 Y2 例2 将Y2 m0m2m4m6m8 m15 化简为最简与或式 此例说明 为了使化简结果最简 可以重复利用最小项 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 例3 用圈0法化简Y2 解 若卡诺图中1的数目远远大于0的数目 可用圈0的方法 A 而且 当需要将函数化为最简的与或非时 采用合并0的方式最为适宜 因为得到的结果正是与或非形式 例4 用卡诺图将逻辑函数 化简为最简与或式 1 1 解 由表达式画出如图所示的卡诺图 化简后得 注意 1 图中的虚线圈是多余的 应去掉 如果要按照虚线来画 则矩形圈不是最少 所得结果也不是最简 2 图中的卡诺图 是利用了四角相邻性 1 8具有无关项的逻辑函数的化简 1 8 1无关项 在实际的数字系统中 会出现这样一种情况 函数式中没有包含的某些最小项 写入或不写入函数式 都不影响原函数的值 不影响原函数表示的逻辑功能 这