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东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案070推理与证明编写教师：薛玉财 审稿教师：高长玉一、知识梳理（一）推理：1. 推理一般包括 合情 推理和 演绎 推理；2.合情推理包括 归纳推理 和 类比推理 ； （1）归纳推理：从个别事实中推演出 一般结论 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是由 特殊 到 一般 .（2）类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 相似 或 相同 ，这样的推理称为类比推理.类比推理的思维过程由 一般 到 特殊 .3.演绎推理：演绎推理是 从一般性的原理出发 ，按照严格的逻辑法则得到 特殊情况下的结论 的推理过程；三段论常用格式为：M是P， ，S是P；其中是 大前提 它提供了一个一般性原理；是小前提 ，它指出了一个个特殊对象；是 结论 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（二）证明：1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法 从已知条件出发利用已有的性质或定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题 ；分析法 从 结论 出发，逐步寻找结论成立的 充分 条件，直到与已知一致2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 假设结论不成立 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.二、题型探究归纳推理考察例1 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。）类比推理考察例2 在中，若=90，则的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。解：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体，且，则此三棱锥的外接球的半径是演绎推理考察例3 有一段演绎推理是：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线不在平面内，直线在平面内，直线平面，则直线直线”，结论显然是错误的，这是因为 （ A ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误综合法证明考察例4 证明：证明：因为，所以，所以，同理，三式相加得分析法证明考察例5 的三个内角成等差数列，求证：.证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命题得证。三、归纳总结（1）高考强调对数学思维能力的考查，“合情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.（2）逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.四、课时作业（一）选择题：1在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等，且满足：如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高，则三人中成绩最低的是（ C ）（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）不能确定2一个正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是（ A ）（A） （B） （C） （D）3下面使用类比推理得出的结论正确的是（C）（A）“若则”类推出“若，则（B）“若”类推出“”（C）“若”类推出“”（D）“”类推出“4给出下面四个类比结论：实数若则或；类比向量若，则或实数有类比向量有向量，有；类比复数，有实数有，则；类比复数，有，则其中类比结论正确的命题个数为（B）（A）0 （B）1 （C）2 （D）35推理“正方形是平行四边形；梯形不是平行四边形；所以梯形不是正方形”中的小前提是（B）（A）（B）（C）（D）和6在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为（ C ）（A）1：2 （B）1：4 （C）1：8 （D）1：167已知数列满足：则与的值分别为（ A ）（A）1，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）0，08下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是A（1）（2） B（1）（3） C（1）（2）（4） D（2）（4）（二）填空题：9考察下列一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .10“是菱形的对角线，互相垂直且平分.”补充以上推理的大前提是 菱形对角线相互垂直平分 。11 已知，计算得，由此推测：当时，有 12若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积（三）解答题：13如图（1），在三角形中，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题证明如下：在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有因为面，所以又，所以于是14已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列证明：设等差数列的公差为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列高考资源网15在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是什么？并给出证明。16请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。解:推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ， 东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案071数学归纳法编写教师：薛玉财 审稿教师：高长玉一、知识梳理1数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）验证时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明时命题也成立其证明的方法叫做数学归纳法2数学归纳法学习要点：（1）理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可；（2）在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；（3）数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提 二、题型探究 题型1：与自然数有关的等式证明已知数列的前和为，其中且(1)求(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明解答：（1），又，则，类似地求得（2）由， 猜得：以数学归纳法证明如下：当时，由（1）可知等式成立；假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设得，所以因此，所以这就证明了当时命题成立.由、可知命题对任何都成立.例2 是否存在常数使等式对一切正整数成立?证明你的结论.解：分别用=1，2，3代入解方程组下面用数学归纳法证明.（1）当=1时，由上可知等式成立;（2）假设当时，等式成立，即则当时，左边=当时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的均成立.与自然数有关的不等关系证明例3 由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：（1）当时，猜想成立；（2）假设当时，猜想成立，即，则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立三、归纳总结1用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证时，并不一定是1（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由到时命题的变化（3）由假设时命题成立，证时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.四、课时作业（一）选择题：1利用数学归纳法证明“=， ()”时，在验证成立时，左边应该是 （ C ）(A)1 (B) (C) (D) 2某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ A ）（A）当时该命题不成立 （B）当时该命题成立（C）当时该命题不成立（D）当时该命题成立3如果命题对成立，则它对也成立，现已知对不成立，则下列结论正确的是（D）（A）对成立 （B）对且成立（C）对且成立 （D）对且不成立4用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ B ）（A）（B）（C）（D）5已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ B ）（A）时等式成立（B）时等式成立（C）时等式成立（D）时等式成立6凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（C）（A） （B） （C） （D） 7设，则（ D ）（A）（B）（C）（D）8数列中，表示前项和，且，2成等差数列，通过计算，猜想当时，的表达式是（ B ）（A）（B）（C） （D）1（二）填空题：9观察下列式子：则可归纳出_.(nN*)10设=+（nN *），= 11用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由（k1）不等式成立，推证时，左边应增加的项数是 2k12已知,则 ， ，由此猜想_.（三）解答题：13用数学归纳法证明：；提示：当时，左边=.14已知，数列的通项，记为的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论解：由n2n1知而，要比较与的大小，可先比较与的大小.取=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测. 下面用数学归纳法证明上面猜想：（1）当n=1时，不等式成立.（2）假设时，不等式成立，即.那么时，（）.又2（）2，=当时成立.综合（1）（2），nN*时成立由函数单调性可判定.15平面内有条直线中任意两条不平行，任意三条不共点，求证：这条直线把平面分割成块.证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又（12+1+2）=2，命题成立.