第一讲 两个计数原理及排列组合.doc

新九章教育高三数学一对一讲义 第一讲 两个计数原理与排列组合主讲教师：谢彬教学重难点; 教学重点：两个计数原理，排列组合的概念、性质及公式的应用等教学难点：两个计数原理的应用及排列组合的计算等知识点归纳1分类计数原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法2分步计数原理做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同方法做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事有N种不同的方法二、典型例题解析题型一两个计数原理 例1(1)若a，bN*，且ab5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有_个 (2)集合P1,2,3，Q2,3,4,5，定义PQ(a，b)|aP，bQ，则集合PQ中元素的个数为()A4B6 C12 D20练习(1) 全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？(2)设集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM，P可以表示平面上多少个不同的点？第二象限内的多少个点？不在直线yx上的多少个点？例2(1)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同的住店方法？ (2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少？练习三封信投入到4个不同的信箱中，共有_种投法题型二两个计数原理的综合应用 例3(1)(09宁夏)7名志愿者中安排6人在周六、周日两 天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答) (2)(07浙江)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是_种(用数字作答)练习4张卡片的正、反面分别有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？例4(08全国卷)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A96B84 C60 D48练习已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A30种B10种 C16种 D24种达标练习1已知a1,2,3，b0,1,3,4，R1,2则方程所表示的不同的圆的个数有()A34224B34214 C(34)214 D34292有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A21种 B315种 C143种 D153种3(2012衡水调研)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有_种不同的夺冠情况4(2010湖北)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A56 B65 C. D654325为了应对金融危机，某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_二、排列和组合1两个概念(1)排列从n个不同元素中取出m个元素(mn)，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)组合从n个元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2、排列组合公式(1)排列： 规定：(2)组合： 规定：(3)重要性质： 利用组合公式 由二项式展开，得即可证明。二典型例题解析题型一排列数、组合数公式例1(1)求证： (2)求证：.(3)计算：练习 以下四个式子中正确的个数是()(1)Cnm；(2)AnmnAn1m1； (3)CnmCnm1；(4)Cn1m1Cnm.A1个B2个 C3个 D4个题型二排列应用题 例27位同学站成一排：(1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？练习(1)(2010北京卷，理)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92 CA88A72 DA88C72 (2)(2010山东卷，理)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种 C48种 D54种题型三组合应用题 例37名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？A，B必须当选；A，B必不当选；A，B不全当选；至少有2名女生当选；选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任练习有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？题型四排列、组合的综合应用 例4有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？练习(2010浙江，理)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人则不同的安排方式共有_种(用数字作答)总结1解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：(1)“16字”方针是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径即：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法2计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的3画示意图是寻找解题途径的有效手段三、排列、组合综合应用1、排列组合应用问题的解题方法：a)直接法:优先安排受限制的元素（或位置），再安排其它元素（或位置）分步 元素分析法 分类 位置分析法 直接法 元素分析法：以元素为主思维，先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素.位置分析法：以位置为主考虑，即先考虑特殊位置的要求，再考虑其它位置.优先法：解带有附加条件的排列、组合应用题，常常存在特殊元素或特殊位置，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或其它位置，这种解法叫做特殊优先法，它是解较复杂的排列、组合应用题的一种重要思考方法.视一法（捆绑法）：部分元素要连排在一起时，可将它们排列后视为一个元素再和其他元素排列，即为“捆绑法”.插空法：把甲、乙两类不同的元素排成一排，求甲类元素不排在一起的排列方法种数，一般用插空档法求解.这种解法的思路是，先把乙类元素进行全排列，然后在每一个排列的空档（包括排列的两端）中对甲类元素进行选排列，最后由乘法原理，便得到所求的结果.穷举法：把符合条件的所有排列和组合一一写出来.b)间接法: 间接法 （排除法）：解较复杂的排列、组合应用题，除了从正面考虑外，有时，我们也可从问题的反面入手，先求出不符合条件的排列、组合种数，然后从整体中减去这些不符合条件的种数，剩下的就是符合条件的种数.这种思考问题的方法叫做排除法.典型例题解析考点一、相邻与不相邻问题例1：某小组6个人排队照相留念： (1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？ (2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排， 有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种 不同的排法？考点二、定位问题例2：7人站成一排，甲不在左端，乙不在右端，共有多少种排法？考点三、标号排位问题例3：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填入一个数，则每 个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( ) A 6种 B 9种 C 11种 D 23种 练习：设有a、b、c、d、e、f六个元素排成一排列，按a、b、c、的次序排列有多少 种排法？考点四 分组分配问题例4：现有4套不同的练习题：1） 平均分给2名同学有多少种不同的分法？2） 平均分成2份，有多少种不同的分法？点拨：类似地，如果把A,B,C,D,E,F六个字母平均分成3份，出现重复 一般地，把4个元素平均分成2份，不同的分法有， 6个元素平均分成3份，不同的分法有, 8个元素平均分成4份，不同的分法有练习1：6本不同的书按下列方法分配，有多少种分法？ 分给3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；（各组元素数目确定，分配对象确定） 分给3人，1人1本，1人2本，1人3本；（各组元素数目确定，分配对象不固定） 平均分给3人；（各组元素数目相等，分配给具体对象） 全部分给5个学生，每人至少1本；（各组数目不相等，分配对象的数额不固定） 分给4个学生，每人至多2本，每人至少1本；（各组数目不相等，分配对象的数额不固定） 平均分成3组；（平均分组，无分配对象） 分成3组，一组3本，一组2本，一组1本；（非平均分组，无分配对象） 分成4组，一组3本，其余各组各1本；（部分平均分组，无分配对象） 全部分给了5个学生。点拨：分组分配问题主要有两类，分组后有分配对象和分组后无分配对象.分配对象的分组是指元素分组后，又分配给各具体对象，而分组是指元素数目的分组。注意均匀与非均匀，编号与不编号限制条件的分组问题.练习2：将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中； 恰有一个空盒的放法共有多少种？ 恰有2个空盒的放法共有多少种？考点五 几何问题例5：（97全国高考）四面体的顶点和各棱中共10个点，在其中取4个不共面 的点，不同的取法共有（ ）种. A 150 B 147 C 144 D 141练习1：（90全国）A,B,C,D,E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A,B可以不相 邻），那么不同的排法共有（ ）.A 24种 B 60种 C 90种 D 120种练习2：(99全国)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作 物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间 隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种（用数字作答）.练习3：有8本不同的书，其中文学书3本，科技书2本，其它书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则文学书放在一起，科技书也放在一起的不同排法共有 种.练习4：有六种不同的工作分配给6个人担任，每个人只担任其中一种工作，甲只能担任其中某两项工作，而乙不能担任这两项工作，问有多少种分配方法？ 达标练习1若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20种B19种 C10种 D9种2一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有_种选答方案3(09陕西)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162 答案C4从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2010年高考某考场的监考工作要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为()A30 B180 C630 D1080 答案A5三个工程队要承包5项不同的工程，每队至少承包一项，问共有多少种不同的承包方案6对于各数互不相等的正数数组(ii，i2，in)(n是不小于2的正整数)，如果pq时有ipiq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组(a1，a2，a2011)的“顺序数”是2011，则正数数组(a2011，a2010，a2，a1)的“顺序数”是()A2010 B2011 C2019044 D2021055 答案C7甲、乙、丙3 人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站