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第四节 行列式按行(列)展开分布图示 引例 余子式与代数余子式 例1 引理 行列式按行（列）展开 例2 例3 应用按行（列）展开法则计算行列式 例4 例5 例6 例7 例8 拉普拉斯定理 例9 例10 内容小结 课堂练习 习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1 在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式, 记为, 再记称为元素的代数余子式.引理 一个n阶行列式D , 若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即或 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即或 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质: 或 其中，二、行列式的计算直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例1 设有5阶行列式: .(1)其余子式其代数余子式(2)其余子式, 其代数余子式例2求下列行列式的值:（1） （2）解 (1) (2) 例3 (E01) 试按第三列展开计算行列式解 将按第三列展开，则有 其中 所以 例4 (E02) 计算行列式 解 例5 (E03) 计算行列式 解 例6 (E04) 求证 .证 例7 (E05) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.当时(1)式成立. 假设(1)式对于时成立，则例8 设 D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解 注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即 又按定义知, 例9 用拉普拉斯定理求行列式 的值.解 按第一行和第二行展开 例10 计算阶行列式(其中未写出的元素为0).解 把中的第行依次与第行,第2行对调(作次相邻对换),再把第列依次与第列, ,第2列对调,得以此作递推公式,得课
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