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近代物理专题 授课内容 波动观点与粒子观点的关系 1 波粒二象性描述 2 粒子性 光电效应 中子慢速剂 经典解释 黑体辐射 3 波动性 位置和动量的测量 测不准关系 中子慢速剂 晶体衍射 氢原子的大小 用测不准关系估算 原子能级及光谱 里兹 Ritz 组合原则 等离子振荡 1 均匀正电荷背景下的自由电子气模型 Drude 模型 2 自由电子气中的电荷密度波 CDW 3 自由电子气的密度振荡模式 等离子振荡 半经典量子理论 玻尔理论 波动观点与粒子观点的关系波动观点与粒子观点的关系 波粒二象性描述 波粒二象性是指一切物质同时具备波的特质及粒子的特质 波粒二象性是量子力学中的一个重要概念 在经典力学中 研究对象总是被明确区分为 纯 波动和 纯 粒子 前者的典型例子是光 后者则组成了我们 常说的 物质 1905 年 爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释 人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双 重性质 1924 年 德布罗意提出 物质波 假说 认为 一切物质 和光一样都具有波粒二象性 根据这一假 说 在 一切物质 的范围之内的电子也会具有干涉和衍射 衍射 等波动现象 这被后来的戴维孙 革末 晶 格衍射 实验所证实 波 和 粒子 的数学关系 物质的粒子性由能量 E和动量p 描述 波的特征则由频率 和波长 表达 这两组 物理量由普朗克常数h所联系 即 E p 历史回顾 在十九世纪末 日臻成熟的原子论逐渐盛行 根据原子理论的看法 物质都是由微小的粒子 原子构成 比如原本被认为是一种流体的电 由约瑟夫 汤姆孙的阴极射线实验证明是由被称为电子的粒子所组成 因 此 人们认为大多数的物质是由粒子所组成 而与此同时 波被认为是物质的另一种存在方式 波动论已经 被相当深入地研究 包括干涉和衍射等现象 由于光在托马斯 杨的双缝实验中 以及夫琅禾费衍射中所展 现的特性 明显地说明它是一种波动 托马斯 杨 Thomas Young 对光的干涉的实验研究 1803 年 不过在二十世纪来临之时 这个观点面临了一些挑战 1905 年 由阿尔伯特 爱因斯坦研究的光电效应展示 了光粒子性的一面 随后 电子衍射被预言和证实了 这又展现了原来被认为是粒子的电子波动性的一面 这个波与粒子的困扰终于在二十世纪初由量子力学的建立所解决 即所谓波粒二象性 他提供了一个理论框 架 使得任何物质在一定的环境下都能够表现出这两种性质 量子力学认为自然界所有的粒子 如光子 电 子或是原子 都能用一个微分方程 如薛定谔方程来描述 这个方程的解即为波函数 它描述了粒子的状态 波函数具有叠加性 即 它们能够像波一样互相干涉和衍射 同时 波函数也被解释为描述粒子出现在特定 位置的机率幅 这样 粒子性和波动性就统一在同一个解释中 之所以在日常生活中观察不到物体的波动性 是因为他们皆质量太大 导致德布罗意波长比可观察的限度要小很多 因此可能发生波动性质的尺度在日常 生活经验范围之外 这也是为什么经典力学能够令人满意地解释 自然现象 反之 对于基本粒子来说 它 们的质量和尺度决定了它们的行为主要是由量子力学所描述的 因而与我们所习惯的图景相差甚远 惠更斯和牛顿 早期光理论 最早的综合光理论是由克里斯蒂安 惠更斯所发展的 他提出了一个光的波动理论 解释了光波如何形成波 前 直线传播 该理论也能很好地解释折射现象 但是 该理论在另一些方面遇见了困难 因而它很快就被 艾萨克 牛顿的粒子理论所超越 牛顿认为光是由微小粒子所组成 这样他能够很自然地解释反射现象 并 且 他也能稍显麻烦地解释透镜的折射现象 以及通过三棱镜将阳光分解为彩虹 由于牛顿无与伦比的学术 地位 他的理论在一个多世纪内无人敢于挑战 而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘 直到十九世纪初衍射现象 被发现 光的波动理论才重新得到承认 而光的波动性与粒子性的争论从未平息 费涅尔 麦克斯韦和杨 十九世纪早期由托马斯 杨和奥古斯丁 简 菲涅耳所演示的双缝实验为惠更斯的理论提供了实验依据 这 些实验显示 当光穿过网格时 可以观察到一个干涉样式 与水波的干涉行为十分相似 并且 通过这些样 式可以计算出光的波长 詹姆斯 克拉克 麦克斯韦在世纪末叶给出了一组方程 揭示了电磁波的性质 而 方程得到的结果 电磁波的传播速度就是光速 这使得光作为电磁波的解释被人广泛接受 而惠更斯的理论 也得到了重新认可 爱因斯坦和光子 1 1905 年 爱因斯坦对光电效应提出了一个理论 解决了之前光的波动理论所无法解释的这个实验现象 他引入了光子 一个携带光能的量子的概念 2 在光电效应中 人们观察到将一束光线照射在某些金属上会在电路中产生一定的电流 可以推断是光将 金属中的电子打出 使得它们流动 然而 人们同时观察到 对于某些材料 即使一束微弱的蓝光也能 产生电流 但是无论多么强的红光都无法在其中引出电流 根据波动理论 光强对应于它所携带的能量 因而强光一定能提供更强的能量将电子击出 然而事实与预期的恰巧相反 3 爱因斯坦将其解释为量子化效应 电子被光子击出金属 每一个光子都带有一部分能量E 这份能量对 应于光的频率 即E h 这里 是普朗克常数 6 626 10 34 J s 光束的颜色决定于光子的频率 而光强则决定于光子的数量 由于量子化效应 每个电子只能整份地接受光子的能量 因此 只有高频 率的光子 蓝光 而非红光 才有能力将电子击出 爱因斯坦因为他的光电效应理论获得了 1921 年诺 贝尔物理学奖 德布罗意波 1924 年 路易 德布罗意构造了德布罗意假说 声称所有的物质都有类波的属性 他将这个波长 和动量p写 为 p 这是对爱因斯坦等式的一般化 因为光子的动量为p Ec c真空中的光速 而 c 德布罗意的方程 三年后通过两个独立的电子散射实验被证实于电子 具有静止质量 身上 在阿伯丁大学 乔治 佩吉特 汤 姆孙将一束电子穿过薄金属片 并且观察到了预期中的干涉样式 在贝尔实验室 克林顿 戴维孙和莱斯特 革 末将他们的实验电子束穿过一个晶体 德布罗意于 1929 年因为这个假设获得了诺贝尔物理学奖 汤姆孙和戴 维孙因为他们的实验工作共享了 1937 年诺贝尔物理学奖 粒子性 光电效应 外光电效应 原理 外光电效应是指物质吸收光子并激发出自由电子的行为 当金属表面在特定的光辐照作用下 金属会吸收光 子并发射电子 发射出来的电子叫做光电子 光的波长需小于某一临界值 相等于光的频率高于某一临界值 时方能发射电子 其临界值即极限频率和极限波长 临界值取决于金属材料 而发射电子的能量取决于光的 波长而非光的强度 这一点无法用光的波动性解释 还有一点与光的波动性相矛盾 即光电效应的瞬时性 按波动性理论 如果入射光较弱 照射的时间要长一些 金属中的电子才能积累住足够的能量 飞出金属表 面 可事实是 只要光的频率高于金属的极限频率 光的亮度无论强弱 电子的产生都几乎是瞬时的 不超 过10 9秒 正确的解释是光必定是由与波长有关的严格规定的能量单位 即光子或光量子 所组成 这种解释 为爱因斯坦所提出 光电效应由德国物理学家赫兹于 1887 年发现 对发展量子理论及波粒二象性起了根本 性的作用 定量计算 在以爱因斯坦方式量化分析光电效应时使用以下方程 光子能量 移出一个电子所需的能量 被发射的电子的动能 代数形式 h Ekmax 其中h是普朗克常数 是入射光子的频率 h 0是是功函数 从原子键结中移出一个电子所需的最小 能量 Ekmax 1 2mvm 2是被射出的电子的最大动能 0是光电效应发生的阀值频率 m 是被发射电子的静 止质量 vm是被发射电子的速度 注 如果光子的能量 不大于功函数 就不会有电子射出 功函数有时又以 W 标记 这个方程与 观察不符时 即没有射出电子或电子动能小于预期 可能是因为某些能量以热能或辐射的形式散失了 内光电效应 原理 是光电效应的一种 主要由于光量子作用 引发物质电化学性质变化 内光电效应又可分为光电导效 应和光生伏特效应 光电导效应 当入射光子射入到半导体表面时 半导体吸收入射光子产生电子 空穴对 使其自生电导增大 光生伏特效应 当一定波长的光照射非均匀半导体 如 PN 结 在自建场的作用下 半导体内部产生光电压 中子慢速剂 经典解释 问题 在用铀 235 作燃料的反应堆中 铀 235 核吸收一个动能约为 0 025eV 的慢中子后 可发生裂变反应 放出能量和 2 3 个快中子 而快中子不利于铀 235 的裂变 为了能使裂变反应继续下去 需要将快中子减速 有一种减速的方法是用石墨 碳 12 作减速剂 设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞 没有机械能损失 1 求快中子与碳原子发生一次碰撞后的速度 v 与原来的速度 v0的比值 2 一个动能为 E0 2 5MeV 的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次 才能减速成为 0 025eV 的慢中子 解答 1 设中子与碳核的质量分别为m和M 碰前中子速度为v0 碰后中子与碳核的速度分别为v和V 碰撞前后动量 机械能均守恒 mv0 mv MV 1 2mv0 2 1 2mv 2 1 2MV 2 联立 v m M m Mv0 因为M 12m 得 v 11 13v0 2 经一次碰撞后中子的能量为 E1 1 2mv 2 11 13 2 E0 经2 3 n次碰撞后中子的能量依次为E2 E3 En 即 E2 1 2mv2 2 11 13 4 E0 En 1 2mvn 2 11 13 2n E0 因此 n lg E0 En 2lg 13 11 56 即快中子需要与静止的碳原子碰撞 56 次 才能减速成为 0 025eV 的慢中子 黑体辐射 热辐射 热现象是与温度有关的现象 热力学中的温度是通过热平衡来定义的 设想将一高温物体置于空腔 中 经过足够长时间后 物体和空腔腔壁将达到热平衡 物体和空腔腔壁间热平衡是通过电磁辐射达到的 热的物体 温度不为0K 能够辐射电磁波本身并不奇怪 设想物质是由分子 原子组成的 分子 原子中都有 正电和负电的部分 粗略看可看作是做无规则热运动的电偶极子的集合 因此热的物体一般而言应辐射出电 磁波 这种达到热平衡状态的电磁辐射我们称之为热辐射 处于热平衡的物质所发出的辐射 热辐射不会仅 包含某特殊频率的光 一般而言应是关于不同频率具有不同强度的电磁波的分布 1859 年基尔霍夫 Kirchhoff 利用热力学定律证明了基尔霍夫定律 对平衡态下的电磁辐射 物体表面上任 一表面积辐射的能量应等于吸收的能量 即 j I T 否则会发生能量的转移 使热平衡打破 其中 如图 j 谱发射系数 单位体积介质在单位时间沿某一给定方向的单位立体角所辐射的频率为 的单位频率间隔中 的能量 用公式表示 dE j d d d dt I 辐射强度 单位时间沿辐射传播方向上单位立体角 穿过垂直于传播方向上单位面积的单位频率间隔内的 辐射能量 用公式表示 dE I cos dA d d dt 如果照到物体表面的全部能量总能都被物体吸收 则称之为黑体 或绝对黑体 即 1 1 辐射能量密度 单位体积中单位立体角单位频率间隔内的辐射能量 用公式表示 dE u d d d 如图 考虑围绕光线长度为cdt的一个圆柱 圆柱体积为 d dA cdt 则 dE u dAcdt d d I dA d d dt 于是 u I c 而处在热平衡态下的电磁辐射 应是均匀 空间 恒定 时间 和各向同性的 其辐射能量密度为 u 4 c I 是一个与物质无关的普适函数 2 辐射压力 单位面积 单位时间 在垂直于面元方向上传递的动量 即 dE I cos dA d d dt 携带动量dE c 辐射动量在面元法向的分量 dE c cos 1 c I cos2 dA d d dt 考虑各种方向的辐射 并除以 dA d dt 得到单色辐射压力 p 1 c I cos2 d 总辐射压力 p 1 c Icos2 d 1 3 4 c I 1 3u 3 由于电磁波辐射间无相互作用 所以在达到热辐射平衡时 辐射能量密度只能是温度的函数u T 辐射 场的总能量 内能 U Vu T 4 斯蒂藩 玻尔兹曼定律 热辐射定律 斯特藩 玻尔兹曼定律 即总辐射本领 u T T4 问题 利用斯特藩 玻尔兹曼定律估算 假设太阳和地球都是黑体 已知太阳表面温度是 6000K 估 算地球表面的温度是多少 解答 考虑太阳是辐射源 设太阳的辐射强度 各向同性 I 单位时间向空间发射的能量为 PSems I 4 RS 2 c 4 u T 4 RS 2 aTS 4 4 RS2 地球单位时间接受来自太阳辐射的能量 有效面积为A RE 2 PEabs PS 1 RE 2 4 D2 其中 是地球对太阳辐射的反射率 地球吸收太阳的辐射能量与地球辐射出的能量达到平衡 要求 PEabs PEems aT S 4 4 RS2 1 RE 2 4 D2 aTE 4 4 RE2 得到 TE TS 1 RS 2D 问题 2007 年第 38 届中学生国际物理竞赛第三题第一问 知识点 双星体系 电磁波辐射 黑体辐射 热点问题 日全食 背景知识 当两颗恒星由地球上观察时 在视线的方向上非常接近 以致仅以肉眼看起来像是只有 一颗恒星 但使用望远镜时就能分辨出来不是单独的恒星 像这样的恒星就称为双星 双星有两种 不同的类型 1 光学双星 如果两颗星只是从地球上观察在几乎相同的方向上 但两者之间真实的距离其实非 常遥远 也就是仅有方向是相同的 2 联星 binary star 如果两颗星不仅看起来在同方向上 两者之间也有引力上的关联 且在轨 道上互相约束的运转 并可以量度分离的距离 3 经过长时间的观察 通常是好几年 就可以区分出联星与光学双星 如果两颗星相对的运动是 线性的关系 可以很放心的假设这是恒星的自行运动 而这对双星是光学双星 如果相对的位 置角是逐渐改变 而且距离在最大和最小之间振荡著 这就是联星 4 第一颗被记录的双星是在 1650 年由 Giovanni Battista Riccioli 登录的大熊座开阳双星 当时仅 通报是双星 从此以后 对双星的搜寻就非常彻底与严谨 并且连视星等 10 等的恒星都被仔 细的检验 在北半球的星空 以 36 英吋的折射望远镜观察 9 等以上的恒星 大约每 18 颗就有 一颗是双星 5 2007 年第 38 届中学生国际物理竞赛第三题第一问 1 2 解答 双星中星体 1 单位时间辐射的能量 P1ems I1 4 R1 2 c 4 u T1 4 RS 2 aT1 4 4 R12 双星中星体 2 单位时间辐射的能量 P2ems I2 4 R2 2 c 4 u T2 4 R2 2 aT2 4 4 R22 当观察者使用探测仪器 接受面积为 A 观察双星时 1 如果双星体系与观察者不在一条直线上时 探测仪器接单位时间内收到的辐射能量为 Pabs 0 P1ems A 4 D2 P2ems A 4 D2 A 4 D2 P 1ems P2ems 2 如果双星体系与观察者在一条直线上 并且双星中的大星 1 遮挡小星 2 时 探测仪器接单位时 间内收到的辐射能量为 Pabs 1 P1ems A 4 D2 3 如果双星体系与观察者在一条直线上 并且双星中的小星 2 遮挡大星 1 时 探测仪器接单位时 间内收到的辐射能量为 Pabs 2 P1ems R1 2 R22 R1 2 A 4 D2 P2ems A 4 D2 A 4 D2 P1ems R1 2 R22 R1 2 P2ems 根据探测仪器给出的图形可知 T1 T2 Pabs 2 Pabs 0 0 63 Pabs 1 Pabs 0 0 90 于是 Pabs 0 Pabs 2 R1 2T14 R22T24 R1 2T 1 4 1 R2 R1 2 T2 T1 4 1 Pabs 2 Pabs 1 R1 2T14 R1 2 R22 R1 2 R2 2T24 R1 2T 1 4 1 R2 R1 2 1 T2 T1 4 联立求解 R1 R2 1 T1 T2 1 1 4 问题 斯特藩 玻尔兹曼定律推导 热力学 不要求掌握 解答 设黑体空腔内的辐射场的能量密度为u T 辐射场总能量U Vu 热力学基本方程 TdS dU pdV 选取 T 与 V 为独立变量 则 dS S T V dT S V T dV 代入热力学基本方程 dU T S T V dT T S V T p dV U T V dT U V T dV 对比得 U V T T S V T p T p T V p 利用了麦氏关系 即能态方程 U V T T p T V p 对于各向同性辐射场 p 1 3u T U u T V 代入能态方程得 u T T 1 3 du T dT 1 3u T du T u T 4 dT T 最终得到斯特藩 玻尔兹曼定律 u T aT4 问题 假设行星际空间充满了很小的 平均比重为 的 尘埃 颗粒 颗粒大致呈球形 半径为R 1 证明对于任何大小的尘埃颗粒 指向太阳的万有引力与离开太阳的辐射压力之比与颗粒到太阳 的距离无关 2 在地球轨道上的太阳辐射强度是1374W m 2 设吸收截面是 R2 求半径R为何值时 辐射压 力和万有引力刚好平衡 解答 关键点 热辐射定律 考虑太阳是辐射源 设太阳的辐射强度 各向同性 I 单位时间向空间发射的能量为 PSems I 4 RS 2 c 4 u T 4 RS 2 aTS 4 4 RS2 常数 颗粒单位时间接受来自太阳辐射的能量 有效面积为A RE 2 PEabs PSems 1 RE 2 4 D2 RE 2 IE IE PSems 1 4 D2 PSems 1 4 D2 IE 其中 是颗粒对太阳辐射的反射率 D是颗粒距太阳的距离 IE是颗粒受到的辐射强度 于是颗粒单位时间接收来自太阳的动量即为辐射压力 冲量定理 利用光子的能动量关系 E pc得 F P t PEabs c PSems c 1 RE 2 4 D2 即太阳的万有引力与离开太阳的辐射压力之比为 为颗粒的质量密度 单位为Kg m 3 GMSmE D2 PSems c 1 RE 2 4 D2 4GcMSmE PSems 1 RE 2 4GcMS 4 3 RE 3 PSems 1 RE 2 与 D 无关 RE 1 3 16 PSems 1 GcMS 1 3 16 4 D2 IE GcMS 1 3 4 D2 IE GcMS 如果地球轨道上的太阳辐射强度是 IE 1374W m 2 取参数 D 1 5 1011m c 3 108m s MS 2 0 1030Kg G 6 67 10 11m3 Kg 1 s 2 估算得到 RE 1 3 4 1 5 1011 2 1374 6 67 10 11 3 108 2 0 1030 5 79 10 4 m 波动性 位置和动量的测量 测不准关系 1 粒子束穿过狭缝的衍射 1 假设我们有一个单缝 一些具有一定能量的粒子从很远的地方飞来 也就是说它们全都大致水平地飞来 我们将集中注意动量的垂直分量 从经典的意义上说 所有这些粒子都具有一定的水平动量 比如说p0 所以从经典意义上说 粒子穿过狭缝前的垂直动量py是确定知道的 图中的粒子既不向上也不向下运动 因为它来自很远的地方 当然它的垂直动量就是零了 2 现在我们假设这个粒子通过宽度为 B 的狭缝 当它从 B 缝穿过后 我们就以一定的精确度 即 B 得知 它的垂直位置y值 也就是说 在位置上的测不准量 y约为B 重要的物理信息是 口述 在粒子穿过狭 缝前 它们的垂直位置是不知道的 当粒子穿过狭缝时 我们就定位了它的垂直位置 粒子跑出狭缝后 就有可能不笔直地飞行 粒子出射的图样散开 其张角 定义为是第一极小值的角度 就是对粒子出射 的最后角度的不确定性的一种量度 这就是衍射效应 3 整个图样是怎样散开的呢 也就是说粒子有一定的往上或往下运动的可能性 其动量具有向上或向下的 分量 我们设垂直动量py的散布等于p0 第一极小值出现在 角上 这时 从狭缝的一边传出的波必 须比从另一边传出的波多走过了一个波长 因此 B 这样 py p0 B 这里的 是粒子的德布罗 依波长 既p0 h 于是我们得到下列规则 垂直动量的测不准量与垂直位置上的测不准量的乘积约为 普朗克常数h y py h 2 光束穿过狭缝的衍射之定量计算 不要求掌握 1 电磁场传播 光的波动性 真空中的麦克斯韦方程组 E 0 E B t B 0 B 0j r 1 c2 E t 考虑无限大 各向同性均匀 电磁场远离辐射源 这时 0 j r 0 于是 E 0 E B t B 0 B 1 c2 E t 因为 E t B 1 c2 2E t2 利用矢量恒等式 F F 2F 得 2E 1 c2 2E t2 2B 1 c2 2B t2 这就是电磁波传播方程 情形 1 平面电磁波 E E z t B B z t 波动方程的单频简谐波 单色平面波 解 E E 0ei k r t B B 0ei k r t 波矢量k 大小k c 垂直于传播平面 E 0 B 0互相垂直 位于传播平面内 情形 2 球面电磁波 E E r t B B r t 波动方程的单频简谐波 球面波 解 E E 0 ei k r t r B B 0 ei k r t r 波矢量k 大小k c 垂直于传播平面 径向传播 E 0 B 0互相垂直 位于传播平面内 2 惠更斯 菲涅尔原理 波前上每一个面元都可视为子波的波源 在空间某点 P 的振动是所有这些子波在该点产生的相干振动的 叠加 光束穿过狭缝的衍射 1 夫琅和费衍射 如图 a 单缝衍射 根据惠更斯 菲涅尔原理 单色相干平面光源在屏 P 分布 E i E 0e i te ikxsin 狭缝中子波源分布 f x 1 2a H a 2 x H a 2 x 所有子波源叠加 E f E i i f x E 0e i te ikxsin dx E 0e i t e ikxsin a 2 a 2 dx 光强分布 I I0 e ikxsin a 2 a 2 2 I0 sin2 a sin a sin 2 衍射暗纹 asin 2n 2 n 1 2 3 衍射亮纹 asin 2n 1 2 n 1 2 3 中心亮纹 asin 0 b 双缝干涉 E f E i i f x E 0e i te ikxsin dx e iksin d 2 a 2 eiksin d 2 a 2 光强分布 I 4I0 e ikxsin a 2 a 2 2 cos2 d sin 4I0 sin2 a sin a sin 2 cos2 d sin c 光栅 I I0 e ikxsin a 2 a 2 2 e ikndsin 2 I0 sin2 a sin a sin 2 e ikndsin 2 2 菲涅尔衍射 如图 a 单缝衍射 根据惠更斯 菲涅尔原理 单色相干平面光源在屏 P 分布 E i E 0e i t 狭缝中子波源分布 f x 1 2a H a 2 x H a 2 x 由于狭缝的约束 这时E E x z t 这时电磁波方程 2E 1 c2 2E t2可写成 2E x2 2E z2 1 c2 2E t2 方程的单频解 E E 0ei kxx kzx t E 0ei k r t 代入得能量守恒 kx 2 kz2 k2 以 2 的光程 0 x 做参考 这时 1 的光程 k1r1 k0r0 k 1 r 1 k 0 r 0 且 r 1 r 0 x 考虑近轴近似 k 1 k 0 1 的光程写为 k 0 x k0 xx kxsin 所有子波源叠加 E f E ieik r 0 i eikxsin f x E 0e i teik r 0eikxsin dx E 0e i teik r 0 eikxsin a 2 a 2 dx 光强分布 I I0 eikxsin a 2 a 2 2 I0 sin2 a sin a sin 2 b 双缝干涉 E f E ieik r 0 i eikxsin eik 1 r 1 eik 2 r 2 利用近轴近似易得光强分布 I I0 E ieik r 0 i eikxsin 2 eik r 0 eik d 2sin e ik d 2sin 2 4I0 sin2 a sin a sin 2 cos2 d sin 中子慢速剂 晶体衍射 1 粒子波在晶体上的反射 1 晶体是一块厚厚的东西 它全部由排列得很好的相同 原子 组成 对于一束给定的粒子束 怎样布 置 原子 的排列才能在某个给定的方向上得到强的反射极大值呢 为了得到强的反射 来自所有 原 子 的散射都必须是同相位的 同相波的数量和反向波的数量不能相等 不然波就会相互抵消掉 2 考虑两个平行平面 如图 从这两个平面散射的波 假若其波前所经过的距离为波长的整数倍 则 散射波的位相相同 可以看出 距离差为2dsin 这里d是两平面间的垂直距离 于是相干 同位相 反射的条件是 2dsin n n 1 2 如果晶体中的 原子 刚巧分布在遵从上式的平面上 并且d必须是相邻平面的距离时 那么就会出 现强反射 3 如果最靠近的两个平面间的距离小于 2 就会发生有趣的事 上式对n就没有解 因此 如果 大于相 邻平面之间距离的两倍 就不会产生衍射图样 粒子束将直接穿过材料 而不散开或者有所损失 2 中子慢速剂 产生中子的核反应堆中的中子显然是粒子 假如我们引导这些中子使它们进入一根长石墨棒 它们就会扩 散 并且缓慢地穿过石墨棒 如图 它们之所以扩散是因为被石墨晶体中的 原子 弹开 粒子性 更严格地说 是由于晶面的衍射 波动性 结果表明 假如我们取一根长石墨棒的话 从远端跑出的中 子都具有长的波长 实验上 假如我们把中子强度作为波长的函数的话 只有在波长大于某个极小值时才 出现如图曲线 换句话说 我们可以用这种方法得到极慢速的中子 只有最慢的中子才会通过石墨棒 没 有被石墨棒的晶面所散射 就象可见光线通过玻璃一样径直穿过石墨棒 没有向两边散射出去 这个事实 证明了中子具有波动性 核反应堆放出的低能中子已被用于检验重力引起的量子干涉 如图 由A入射的中子沿着等长的两条路径 ABCEF和ABDEF 在E点再次回合而发生干涉 三个相互平行的能使中子衍射的切片是从一块单晶上切下 来的 为了改变引力位能的影响 整个系统能够绕直线ABD转动 如果转动角为 当路径ABCEF在水平 面内时 0 1 证明由于引力的影响 在E点的位相差能够表示成 qsin 其中 q K S2sin2 是中子波长 K是适当常数 与中子质量M 重力加速度g 普朗克常数h以及其它数值因子有关 试确 定常数K 这里假设和中子动能相比 引力位能差非常小 2 在实验中用的中子波长是1 45埃 相应的动能是多少电子伏特 3 如果S 4 厘米 22 50 1 45 埃 当 从 900变到900时 在F处的中子计数器能记录到多少个 极大 中子的质量为939MeV c2 hc 6 19 10 11MeV cm 解答 关键点 波粒二象性 位相的物理定义 p k h a 设PBD和PCE是沿着路径BD和CE的动量 于是根据能量守恒 PBD 2 2M PCE 2 2M u 重力势能差 PCE 2 2M MgSsin2 sin 根据对称性 BC段和DE段位相差相等 于是两条路径ABCEF和ABDEF的位相差 kBDS kCES S P BD PCE 考虑 u PBD 2 2M 展开 PBD PCE 2 2M u 1 2 PCE M u PCE 于是 PBD PCE M u PCE M u h M u 2 最后得到 M2g S2 2 2 sin2 sin K M2g 2 2 b 动能为 P2 2M hc 2 1 2Mc2 6 19 10 11 2 1 45 10 8 2 1 2 938 兆电子伏 0 039 电子伏 c 从sin 1到sin 1 极大值的数目为 N 2 2 M2g S2 2 2 sin2 2 Mc2 2 S hc 2 g c2 sin2 2 938 2 4 6 19 10 11 2 1 45 9 8 10 6 9 1020 0 707 20 6 26届决赛第六题 如图所示的两块平行薄板 由理想导体构成 板间距为d y方向无限延伸 两板间沿 垂直于y方向传播的电磁波沿x正向以行波形式传播 其电场可表述为 E E0sin 2 z z sin 2 x x t 式中 为圆频率 t为时间 z和 x为待定参量 这种结构的组合可以制成实用的微波发射天线 用来代替 传统的巨大抛物面天线 可以大幅度降度天线成本 1 证明 z只能取如下值 z 2d m m 1 2 3 2 当m 1时 求 x 3 如将一系列板间距相等而长度不等的理想导体板相对于沿y方向无限延伸的线状波源 与纸面交于O点 平行对称叠排 板的右端对齐 而板的长度有一定分布 此结构与纸面相交的截面图如图B所示 则 在这一结构的右端可输出沿x方向传播的平面电磁波 试给出满足这一要求的板堆在xOz截面内左侧边 缘 如图B所示 所满足的曲线方程 取m 1 已知波源到板堆左端的水平距离为L 解答 关键点 波粒二象性和电磁波相干条件 1 由于是理想导体 对于任意的x 边界条件满足 E z 0 0 E z d 0 sin 2 d z 0 2 d z m z 2d m m 1 2 3 即z方向形成驻波 2 电磁波满足波粒二象性 p k E 而电磁波的传播速度为光速 E pc c px 2 pz2 kc c kx2 kz2 c 2 x 2 2 z 2 x 1 2 c 2 m 2d 2 3 要使点源辐射后产生平行传播的平面电磁波 则要求的板堆内传播的电磁波必须是相干的 同位相 上课时给图 即要求 L c R c L Rcos vx R c L Rcos kx R c L Rcos 2 x 即要求 R L 1 1 c d 2 1 1 c d 2 cos 氢原子的大小 用测不准关系估算 假定有一个氢原子 要测量电子的位置 我们肯定不能精确地预言电子的位置 不然根据测不准关系动量的扩 散将会达到无限大 每当我们观察电子时 它是在某处 它在各个不同地方都有一定出现的几率 这些位置不 可能全都在原子核处 我们假定位置有一定的扩展 其大小约为a 这就是说 电子离原子核的距离通常约为a 它 由原子总能量取极小值来确定a的数值 由于测不准关系 动量的散布约为ha 即电子的动量p ha 于是动能约为 1 2mv 2 p2 2m h2 2ma2 这时静电势能为 1 4 0 e2 a 如果a变小 势能就变小 而由于测不准关系 所需的动量也就越大 动能就越大 总能量为 E h2 2ma2 1 4 0 e2 a 原子本身会进行安排 以取得某种择衷办法使能量尽可能地小 这时 dE da h2 ma3 1 4 0 e2 a2 0 求得 a 值为 a0 4 0 h2 me2 0 528 10 10米 埃 这是一个特殊的距离称为玻尔半径 也就是说原子的大小约为埃的数量级 这时原子的能量 E0 1 4 0 e2 2a0 1 4 0 2 me2 2h2 13 6 电子伏 负能量 当电子在原子中时的能量比自由状态下的能量小 这就是说 电子是受束缚的 要把电子 踢出去 需要能量 即要电离一个氢原子大约需要13 6 电子伏的能量 13 6 电子伏也是一个特殊的数字称为一个里德伯 能量 也是氢原子的电离能 原子能级及光谱 里兹 Ritz 组合原则 1 上面估算了最低能量状态的原子 但是它还可以具有其它状态来表征多种运动形式 量子理论告诉我们 在稳定状态下 原子只可能有确定的能量 如图 当电子是 自由电子 时 它处于能量为正时 它可以 具有任何值 并能以任何速率运动 但是束缚能不能取任意值 只能取一组允许值中的某一个能量 2 现在称这些能量的允许值为E0 E1 E2 E3 如果原子本来处于E1 E2等 激发态 之一时 它不会永远保持 这种状态 迟早 它会掉掉到较低的状态中去 并以光的形式辐射出能量 发射出的光的频率可由能量 守恒关系来确定 例如从能量E3到能量E1的跃迁所释放的光的频率 31 E3 E1 这就是原子的一个特征频率 确定了一条发射谱线 另一个可能跃迁是从E3至E0 这时就有一个不同的频 率 30 E3 E0 还有可能性 如果原子已被激发到E1态 它可能掉回到基态E0 而发射出的光子的频率是 10 E1 E0 它们之间存在关系 30 31 10 一般来说 如果我们找到了两条谱线 可以预期在频率之和 或之差 处将找到另一条谱线 而且通过找 到这样 一系列能级 使每条谱线对应于其中的某一对能级的能量差 这称为里兹组合原则 等离子振荡 导体中 自由电子 的波粒二象性 均匀正电荷背景 1 导体中的 自由电子 在没有外场的作用下做无序运动 由于泡利不相容原理的限制 使得这些 自由电 子 的运动状态与理想气体完全不一样 自由电子 即使在零温时仍然在做高速的无序运动 而最活跃 的 自由电子 对物理特性有贡献 的动能对大部分实际材料来说一般为1 0 10 0eV 它对应的德布罗 意波长将在 100nm 至 1000nm 范围内 1245eV 1nm 而大部分材料由正电荷 原子核 组成的晶格 尺度在 1nm 范围 因此对 自由电子 来说 它们无法分辨晶格的具体组成形状 即晶体衍射效应不会 出现 自由电子 的波动性不明显 导体中的 自由电子 的粒子性表现的非常突出 2 导体中的 自由电子 无法分辨正电荷的具体位置 在处理正电荷 原子核 效应时采用均匀正电荷背景 在空间铺上均匀正电荷分布 以确保导体的电中性 模型来简化原子核的效应就显得非常合适 德鲁德 Drude 模型 1 德鲁德模型在 1900 年由保罗 德鲁德 Drude 提出 以解释电子在物质 特别是金属 中的输运性质 这 个模型是分子运动论的一个应用 假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理 很像一个钉球 机 其中电子不断在较重的 相对固定的正离子之间来回反弹 电子的运动方程 电子的运动可以通过引入一个有效的阻力来描述 在时间t t0 dt 电子的平均动量是 p t0 dt 1 dt p t0 f t dt 为弛豫时间 从它最后一次碰撞将平均运动了 秒 f t 是电子受的外力 也就是平均来说 1 dt 个 电子将不经历另外一次碰撞 而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献 整理便得 出以下的微分方程 d dt p t f t p t 其中 p t 表示平均动量 m 表示有效质量 q 表示电子的电荷 2 直流电场 由于泡里不相容原理的限制 电子的速度足够大 而且是无序运动 使得 p t 0 假设外加电场E 既是 均匀的又是恒定的 使得它们在碰撞之间 平均时间 内 沿着电场方向仅仅积累了很小的净动量 p t 这时 p t 称为漂移速度 于是电子的运动方程为 d dt p t eE p t 这是一个非齐次线性微分方程 它的通解为 p t e E C 稳态解对应于C 0 及 d dt p t 0 于是 p e E 像上面一样 平均动量可以与平均速度有关 而这又可以与电流密度有关 p m v j v ne v ne m p 利用欧姆定律 其直流电电导率 0定义为 j 0E ne 2 m E 25届复赛 零电阻是超导体的一个基本特征 但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制 为克服这 一困难 最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦 温度T 4 2K 中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈 超导转换温度TC 7 19K 中电流的变化 设铅丝粗细均匀 初始时通有I 100A的电流 电流检测仪器 的精度为 I 1 0mA 在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化 根据这个实验 试估算对 超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大 设铅中参与导电的电子数密度n 8 00 1020m3 已知电 子质量m 9 11 10 31kg 基本电荷e 1 60 10 19C 采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据 解答 关键点 粒子性与飘移运动模型 背景知识介绍 自由电子电导率 漂移运动模型 在外场的作用下 自由电子沿着外场方向作定向漂移运动 设漂移速度为v d 自由电子除漂移运动外的 其它运动相互抵消 对电导没有贡献 自由电子在运动过程中会发生相互碰撞 简化为 设每经过 弛 豫时间 时刻 自由电子会因为与 缺陷 发生一次碰撞 统计模型 碰撞后漂移速度一次性全部消 失 不再对电导有贡献了 这时利用自由电子动力学方程和动量定理得 d P t dt P t f t 其中P t 为自由电子的 统计 平均动量 为弛豫时间 f t 为自由电子所受的外场作用力 对于稳态 d P t dt 0 在恒定的外电场中电场力 f t eE 于是自由电子的平均漂移速度 v d P t eE m m是自由电子质量 于是电流密度并利用欧姆定理 微分形式 j env d ne2 m E E 金属的电导率 ne2 m 为弛豫时间 即电子动量衰减的时间 P P t I I I t I 于是电导率 ne2 m I t I 电阻率 1 m ne2 I I t 根据题目给出的条件 t 365 24 3600s I 1 0mA I 100A n 8 00 1020m3 m 9 11 10 31kg e 1 60 10 19C 估算出电阻率为 1 40 10 24 26届决赛 磁场会影响电子的运动 从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离通常我们熟悉的欧姆 定律 本题所要研究的问题即为一例 设xOy平面内有面密度 单位面积中的电子数 为n的二维电子气 平 面内沿x轴正方向存在均匀电场E E 为x轴正方向单位矢量 垂直于平面的z方向存在均匀磁场 磁感 应强度为B Bk k 为z轴正方向单位矢量 已知平面内的电子运动受到的散射阻力与速度v 成正比 可等 效地用一时间参量 描述为 mv m为电子质量 试求在稳态沿x和y方向的电流密度 大小为垂直于电流 方向单位长度上的电流 jx和jy 将结果用电子电荷量绝对值e n m E 及 表示出 eB m 解答 关键点 粒子性与飘移运动模型 当电子运动速度足够低的情形下 运动电子无法分辨晶格的具体组成形状 即晶体衍射效应不会出现 电子的波动性不明显 电子的粒子性表现的非常突出 在外场 电场和磁场 的作用下 电子沿着电场和磁场的作用下作定向漂移运动 设漂移速度为v 电 子除漂移运动外的其它运动相互抵消 对电流没有贡献 电子在运动过程中会发生相互碰撞 与杂质 或缺陷 不是晶格 粒子性 简化为 设每经过 弛豫时间 时刻 电子会因为与 杂质或缺陷 发 生一次碰撞 统计模型 碰撞后漂移速度一次性全部消失 不再对电流有贡献了 这时利用电子动力 学方程和动量定理得 d P t dt P t f t 其中P t 为电子的 统计 平均动量 为弛豫时间 f t 为自由电子所受的外电场和磁场作用力 对于稳态 d P t dt 0 在恒定的外电场和磁场中受力 洛伦兹力 f t e E v B 于是飘移电子的动力学方程为 mv e E v B 1 这里外场 E E B Bk v vx vyj 利用矢量运算 E v B E vx vyj Bk E vyB vyBj 代入 1 得 eE evyB mvx evxB mvy 易解得 vx e E m 1 2 2 vy e 2E m 1 2 2 根据电流密度的定义 j nqv 即得 j x nevx ne2 E m 1 2 2 jy nevy ne2 2E m 1 2 2 24届复赛 地球赤道表面附近处的重力加速度为g0 9 8m s2 磁场的磁感应强度的大小B0 3 0 10 5T 方向沿经线向北 赤道上空的磁感应强度的大小与r3成反比 r为考察点到地心的距离 方向与赤道附近的 磁场方向平行 假设在赤道上空离地心的距离r 5Re Re为地球半径 处 存在厚度为10km的由等数量的 质子和电子的等离子层 层内磁场可视为匀强磁场 每种粒子的数密度非常低 带电粒子的相互作用可以 忽略不计 已知电子的质量me 9 1 10 31kg 质子的质量mp 1 7 10 27kg 电子电荷量为e 1 60 10 19C 地球的半径Re 6 4 106m 1 所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动 另一方面因受地球引力和磁场的共同作用会形 成位于赤道平面内的绕地心的环行电流 试求此环行电流的电流密度 2 现设想等离子层中所有电子和质子 它们初速度的方向都指向地心 电子初速度的大小ue 1 4 104m s 质子初速度的大小up 3 4 102m s 试通过计算说明这些电子和质子都不可能到到达地球 表面 解答 背景知识介绍 地球磁场知识 磁偶极矩产生的磁场 地球磁场等效于一位于地心磁矩为m的磁偶极矩 如图 在地球表面P r 点产生的磁场 B r A r 0 4 3 m r r r5 m r3 0H r 即 Hr mcos 2 r3 H msin 4 r3 与地磁纬度 的关系是 2 用磁倾角i表示 Hr Hsini H Hcosi tani Hr H 2 cos sin 2 sin cos 2tan 于是在地磁北极处地磁的垂直分量 Hn mcos 2 r3 m 2 r3 地磁赤道处地磁的水平分量 Ht msin 2 4 r3 m 4 r3 所以赤道上空的磁感应强度的大小与r3成反比 即有 B Re r 3 B0k 这里k 垂直于赤道平面 由于等离子层中电子和质子的密度 很低 速度 很慢 其德布罗意波长 很长 电子和质子在 运动过程中遭遇散射的几率非常 低 可以看成理想电子和质子的运动 利用漂移运动模型的自由电 子运动方程 d P t dt P t f t 其中与散射有关的弛豫时间 考虑稳态即有 f t 0 我们仅考虑漂移运动v d P t 赤道平面内等离子层中的电子和质子的运动等效于匀外磁场下的圆周 运动 漂移运动 力平衡条件 m Re r 2 g0 m vd 2 r qvdB vd 2 g0 Re 2 r Re 3B0q mr2 vd 取近似 由于漂移速度vd足够小 vd 2可忽略 于是 vd mg0Re 2r B0q 漂移速度 vd e 9 2 10 6 m s vd p 1 7 10 2 m s 环形电流密度 j nq vd p vd e 2 8 10 14 A m2 对初速度方向指向地心的粒子 圆周运动的速率 v ux 2 ud2 等离子层中的电子和质子的平衡轨道半径偏移分别为 Re 0 33m Rp 14 8m 即虽然粒子具有引力方向的初速度 但由于粒子还受到磁场的作用 电子和质子在地球半径方向的最大 下降距离为 2Re 0 66m Rp 29 6m 远小于等离子层的厚度 10Km 所考察电子和质子仍在等离子层内 赤道平面 运动 人造地球卫星的质量为10kg 平均截面积为0 5m2 在200km高的圆形轨道上运动 那里空气分子的平均自 由程可达数米 空气密度约为1 6 10 10kg m3 气体分子与卫星的碰撞当成是非弹性的 但分子并不是真 正粘附到卫星上 而是以较低的相对速度离开它 在粗略的假设下 计算卫星由于摩擦所受的减速力 此 摩擦力如何随速度而变化 由于卫星受到净力作用 卫星的速率是否减小 核对具有圆形轨道的卫星速度 与高度之间的关系 解答 关键点 空气分子与卫星碰撞之前是杂乱无章的热运动 无定向飘移速度 即 P 0 当卫星与之碰 撞后 空气分子具有了定向飘移速度 根据题目 P