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浅议逆向思维在几何证明题中的应用习水县桃林乡沙溪附中 任德波 几何证明在初中各年级都有不同形式、深浅程度不一的题型，七年级讲究一些基本定理的产生、应用，证明的难度不大；八年级开始有所增强，开始就证明三角形全等，再用轴对称加以巩固并产生一些定理，又通过四边形得以拓展，可以证明相关的线段相等、倍分，角相等、倍分等情况；九年级更是利用旋转、中心对称得到充分的提升，又通过圆把七八年级的知识进行了概括，更全面的把握，最后应用相似把知识达到了顶峰。下面举例谈谈初中阶段应用逆向思维进行几何证明。 例1：如图1，有一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC把ACD翻至ACD,AD与BC相交于点E,判断AEC的形状并说明理由. 分析：要判断AEC的形状，先应知道三角形有哪些形状，从角在大小可分为锐角三角形、直角三角形、CDABDE图 1钝角三角形，从边的关系可分为等腰三角形、等边三角形两类特殊的三角形，还可结合两种三角形得等腰直角三角形。于是可利用掌握的情况对AEC进行假设，其中锐角三角形和钝角三角形不够特殊，应着重判断是不是直角三角形或等腰三角形、等腰直角三角形或等边三角形等。 如果AEC是等腰三角形，则EAC=ECA即可，而ACD是ACD沿AC翻折的，可知DAC=EAC,同长方形纸片ABCD可得ADBC,则有DAC=ECA,所以EAC=ECA,AEC为等腰三角形。那是不是等腰直角三角形，AEC=ABE+BAE,而ABE=90，AEC不可能是90，所以不可能是等腰直角三角形；等边三角形呢？条件不成立。分析准确了，再按照分析的顺序倒着写回去，证明过程便可得到。以上证明过程可为：证明：长方形ABCD的对边ADBC, DAC=ECA,ACD是ACD沿AC翻折得到的DAC=EACEAC=ECAAEC是等腰三角形至于其它情况，不必写出来。 在九年级仍有证明类似的问题，这时已经在圆的内容中了。同样也可用逆向思维得到解决。例2、如图2，ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若MAC=ABC.（1） 求证：MN是半圆的切线（2） 设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DEAB于E,交AC于F.M 求证：FD=FG.ABGDCFEN图 2分析：（1）MN是切线，则MNAB,怎样才能达到这目的呢？看角吧。CAB+CAM=90便可，而AB是半圆的直径，ACB=90,则有CAB+CBA=90又已知MAC=ABC，则有CAB+CAM=90（2）要证FD=FG,则证FCG=DGF;要证FCG=DGF，分别看这两角所在的三角形或与之相等的角，其中DEAB，DEB是直角三角形，ACB=90,DGF=CGB,这样只需证明DBE=CBD即可，而D是弧AC的中点可得DBE=CBD。由此问题迎刃而解。证明：（1）AB是直径，CAB=90 CAB+ABC=90. MAC=ABC, MAC+CAB=90,即MAAB. MN是半圆的切线.（2） D是弧AC的中点 DBC=ABD
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