一次函数的面积问题.docx

一次函数的面积问题 翠苑中学 高珊珊一、内容简介本节课的主题：通过已学过在直角坐标系中求三角形的面积引入本节课要学习一次函数中的面积问题，引导学生从探究过程中总结出求面积的三种方法。关键信息：1、通过第四章的知识引入，引导学生体会、探究求一次函数中面积问题的过程。首先根据课前微学案学生做的情况，进行讲解点评，引出求面积的三种方法。通过学生自主、独立的研究问题，对于求一次函数的面积问题的方法进行汇总。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。二、学习者分析：在学习本课之前应具备的基本知识和技能：两直线的交点坐标。两直线平行的斜率关系。三、教学/学习目标及其对应的课程标准：（一）教学目标：1、经历探索求三角形面积的过程，培养学生的转化能力、数形结合思想。2、会求任意三角形的面积，熟练掌握三种解决方法。（二）知识与技能：经历从熟悉的知识转入新授课知识的过程，认识一次函数中的面积问题；掌握必要的运算，和解决问题的三种方法：割，补，等积变形；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、一次函数等进行描述。（三）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。（四）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。四、教育理念和教学方式：1.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。2.采用“解决问题探究交流得出结论强化训练当堂检测”的模式展开教学。3.教学评价方式：（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。（3）通过UMU课堂检测的准确数据，实时反馈学生学习的掌握情况。（4）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。五、教学媒体：多媒体、同屏技术、UMU互动平台六、教学和活动过程：一、发现问题求ABC的面积 如下为学生课前做的微学案通过这几个学生的微学案，你发现出错比较多的题目是哪个？原因是什么呢？二、解决问题1. 问题转化2求面积的三种方法：割、补、等积变形大部分学生都会采用“补”的方法来求三角形的面积，此种方法很容易想，计算繁琐。师：请问求三角形的面积方法有几种？生：割补师：请问，如何割呢？过A作AD平行于y轴交BC于点DSABC=SABD+SADC=12ADh1+12ADh2=12ADxC-xB=72此种方法也叫铅垂线法。此类型题目的本质为把三角形分成有一边平行有坐标轴，理由是平行于坐标轴的一边的长度即为横坐标之差或纵坐标之差。师：还有其他方法吗？生：等积变形。师：非常棒，如何求解呢？生：过点C作AB的平行线交x轴于点P，交y轴于点Q，因为ABPQ，所以kPQ=kAB=-12，又因为点C在直线上，所以直线PQ的表达式为：y=-12x+92，所以P点的坐标为（0，92），Q点的坐标为（9，0），根据平行线间的距离处处相等，得出SABC=SABP=SABQ=72总结： 当题目给你三个点的坐标时，你可以求出ABC的面积，但是当三个点的坐标不知道，而是给你三条直线的解析式，让你去求图中ABC的面积时，你要如何让去求呢？其实这个问题就是加了一个一次函数的背景，把点的坐标转化为直线解析式，解决的方法就是，求出直线的交点坐标，再去求三角形的面积。所以说求三角形的面积根本就是求三个顶点的坐标。本质：求三角形的面积根本就是求三个顶点的坐标。这里总结一下，求面积的三种方法：割，补，等积变形。各有利弊，可以选择自己觉得简单的方法求解。三、知识运用给学生一道练习练一下，学生是否掌握。练习：已知三条直线y=-3x+6，y=x+2，y=- 13x-2交于点A，B，C三点，求ABC的面积设计意图：本题主要考查这节课的主要内容求三角形的三种方法，学生是否可以掌握。由于时间关系，我直接给学生三条直线的交点坐标，让大家求面积。A（1,3），B（-3，-1），C（3，-3）学生的两种方法：四、拓展提升1、 一次函数y=kx+b的图象与x轴交于A（2，0），与y轴交于B点，SAOB=4，求这个函数解析式。设计意图：本题主要考查学生的逆向思维，三角形的面积，让学生去求一次函数解析式，这部分内容是学生的难点。给学生几分钟思考后，教师发现很多学生没有想法。因此教师通过几何画板，让学生明白y=kx+b是一条什么样的直线？通过几何画板的动态展示，学生明白这是一条过定点A（2,0）的动直线，在动的过程中你会发现有两种情况满足SAOB=4，根据面积得到12OAOB=4，所以得到OB=4，即得到B的坐标为（0,4）或（0，-4），再根据待定系数法可以求得两条直线为：y=2x-4，y=-2x+4总结：前面都是给你直线，让你求围成图形的面积，现在反过来给你三角形的面积，让你求函数解析式。这里通过几何画板的动态演示，让学生很清楚很直观的发现需要分类讨论，或者说b有两个。五、当堂检测（UMU互动平台）学生扫描二维码，题目会呈现在手机或Pad终端上，学生可以在终端上解题。学生答题过程，非常专注，学生答题的准确率等，都可以通过数据直观显现出来。七、课后反思 结合众多优秀老师的想法，又要考虑到学生的基础，我想到借用第四章已经讲过直角坐标系中的面积引入，学生熟悉，大部分同学都可以做对。在第四章中已知三个顶点坐标就可以求三角形的面积。而现在只不过在一次函数的背景下，给你两个点的坐标其实我们就可以求出直线的解析式。此时我把点的坐标去掉，直接给出直线的函数解析式，此时三条直线围成的三角形的面积如何求呢？要求三角形的面积，只要求三个顶点的坐标，这样就转化为第四章的已经学过的问题。这样学生就明白了，求三角形的面积就转化为求三个顶点的坐标。对比三个图形，你们认为哪图形的面积好求？这里我应该追问学生为什么第1,2题的面积好求。我发现第3题所有的学生都是利用补的方法求出来的，高老师讲过求三角形的面积有三种方法：割，补，转化。那这个图形你可以用割的方法求三角形ABC的面积吗？割补法求三角形的面积主要目的是把不规则的三角形转化为好求的三角形的面积（比如说有一边平行于坐标轴这样的三角形）这里我是由学生提怎么样割求三角形ABC的面积，让学生多说，这里林俐提出横割，下一个同学提出转化的思想，利用等积变形，把三角形ABC的面积转化为好求的三角形的面积，即有一条边平行于坐标轴的三角形。这里最好都让学生提出来，可能由于听课老师比较多，学生有些紧张，导致与y的交点坐标不会求了。这里总结一下，求面积的三种方法：割，补，等积变形。各有利弊，可以选择自己觉得简单的方法求解。但是割补是通法。给学生一道练习练一下，学生是否掌握。由于时间关系，我直接给学生三条直线的交点坐标，让你求面积，这里需要给学生时间让学生理解消化方法，然后把学生的答题过程通过同屏传到网上，学生讲解方便，其他学生也可以看到他讲的什么。前面都是给你直线，让你求围成图形的面积，现在反过来给你三角形的面积，让你求函数解析式。这里通过几何画板的动态演示，让学生很清楚很直观的发现需要分类讨论，或者说b有两个。最后的课堂检测通过umu互动平台，高老师把提前准备好的题目推送给学生，学生每人手里一个手机或paid，学生通过扫描二维码既可以得到检测题目，高老师给学生限制6分钟，这样提醒学生做题要注意效率，做完提交试卷学生马上可以知道自己的得分和每道题的正确答案。老师实时可以知道学生完成情况，并且可以细化到知道每一个学生的得分，还可以知道每道题的正确率，精确的数据就可以马上知道学生本节课掌握的如何，更有针对性的布置回家作业，学生也会更有针对性的复习。八、评课高珊珊老师一次函数中的面积问题一课，展示了一个优秀数学老师的风采，不仅使听课的学生学有所得，也使我们听课的老师感觉受益匪浅，我们认为这是一堂成功的数学课。这节课的内容考虑到学生的基础，面积结合一次函数之后其实不太好上，但是这节课无论是在现在的一次函数还是反比例函数或者二次函数都是很重要的，所以说这节课的内容对于学生来说既是重点，又是难点。如何突出重点，突破难点，成为了摆在老师和学生面前的一个问题。高老师在组内老大和姚老师等几位老师的建议下，又结合自身的优势，出色地完成了教学目标。具体来讲，主要有以下几点：1、教学设计好，教学流程清楚，环节紧凑、流畅，由易到难，层次分明，知识梳理清晰，既有对集体备课形成的教学案的使用吸收，又有个人的创新、独到之处，注重了基本数学方法的培养与基本数学思想的渗透，从待定系数法到数形结合思想、分类讨论的思想，从一般到特殊的思考方法，让学生从整体、系统的角度领悟在一次函数背景之下求面积的要点，从整体上处理教材内容，从系统上把握学习要求，整个设计把教学过程变成学生对知识的回顾过程，变成了学生自己探索提升的过程，让学生的能力得到了提高。上课精彩片段：（一）引入：用第四章在直角坐标系中求面积，学生会比较容易理解和接受，高老师在讲解的时候也让学生思考在一次函数中求三角形的面积就是转化为三个顶点的坐标，让学生思考求面积的方法，割，补，转化三种方法。这种引入的方法很传统，但在这节课中特别有效，让学生在原有基础上快速进入新课的学习状态，又不动声色地点出了本堂课的本质意义，既树立了学生尤其是中下等学生的学习信心，又无形中渗透了一种由易到难，迁移转化的数学学习策略。这其实比具体的数学知识更为重要。这个环节的处理简单应用了微学案（二）讲解求三角形的面积的割补法，要让学生明白为什么要分割或补，总结清楚。题目的设计有梯度，难度逐步提升，学生方面落实也很到位。2、新技术应用方面非常突出，技术和教学需求有机结合在一起，恰到好处的发挥了技术的优势，具体表现在：（一）同屏技术：在学生的导学作业中使用同屏技术呈现学生错误点和标准答案；在学生的练习中也通过同屏技术展示学生的答题过程，实现实时反馈。（二）几何画板：在拓展提升部分，由于此题逆向思维，高老师利用几何画板呈现，让学生感觉更加直观，容易理解。（三）umu互动平台：最后的课堂检测通过umu互动平台，高老师把提前准备好的题目推送给学生，学生每人手里一个手机或pad，学生通过扫描二维码既可以得到检测题目，高老师给学生限制6分钟，这样提醒学生做题要注意效率，做完提交试卷学生马上可以知道自己的得分和每道题的正确答案。老师实时可以知道学生完成情况，并且可以细化到知道每一个学生的得分，还可以知道每道题的正确率，精确的数据就可以马上知道学生本节课掌握的如何，更有针对