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08-09学年第二学期培训七下京华中学 齐欣第九章 角角是组成几何图形的重要元素，角的大小与图形的性质有密切的联系。是初中几何的基础。本章研究的内容是角的概念、表示、比较、相交线与角-对顶角、相交的特例-垂直。本章既是七上第一章基本的几何图形所研究的直线射线线段有关内容的继续和发展，同时也是为学习第十章平行线、第十五章平面图形的认识做充分的准备。9.1 角一、知识结构二、重点、难点分析（一）重点:角的概念及角的表示方法1角的定义是由实际生活中具有角的形象的物体抽象出来的，理解角的定义一定要明确角的边为射线，角也可认为是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置而形成的图形，这里的线动成角体现了运动变化的思想2角的表示法，小学没有介绍，这里首先说明用三个字母记角对此，要特别强调表示顶点的字母一定要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪一个角在讲用数字或希腊字母来记角时，可再让学生作些练习，说出所记的角怎样用三个字母来表示 （二）难点:周角、平角概念的理解（三）疑点:平角与直线、周角与射线的区别（四）解决办法:通过演示使学生正确理解平角、周角的概念，适当加以解释.三、师生互动活动设计1教师创设情境，学生进入2教师步步设问，提出问题，学生在回答问题、自己画图、观察图形的过程中掌握角的静态定义3教师指导，学生阅读、归纳四种表示角的方法4教师用电脑或教具直观演示展示角的旋转定义5反馈练习6师生讨论总结7测试如图所示，以点C为顶点的角有几个？怎样表示这些角？误解 以C为顶点的角有两个，表示为ACD与BCD错因分析与解题指导角是由有公共端点的两条射线所组成的图形，误解认为图中CO不是射线，困而ACO和BCO不能算是角，从而产生错误*课本上角的概念是有公共端点的两条射线组成的图形，或者看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形但角作为一种图形的概念，在具体图形中作为角的边可以用“线段”显示出来当角的顶点确定以后，应当认为这条“线段”确定了以顶点为端点的一条射线，这条“线段”的另一个端点在这条射线上本题的图中ACO和BCO的一条边就是用“线段”CO显示的，线段CO唯一地确定了一条射线CO，因而ACO和BCO是符合角的定义的两个角9.2 角的比较一、知识结构角的比较1、角的比较（1）叠合法（2）度量法（1）图形的关系（2）数量关系（1）定义（2）数量关系2、角的和差倍分3、角的平分线注意：在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关这是因为角的边是射线而非线段若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大二、重点：探究比较角的大小的方法。从图形和数量两方面认识角的和差倍分、角的平分线。难点：对学生几何视图能力的培养。9.3 角的度量本节教学的重点是角度计算中的进位制问题、互余与互补的概念；难点是互余与互补概念的理解和应用熟练掌握角的度量的相关知识可以为进一步研究相交线、平行线打下基础师生互动活动设计1通过教师演示，学生活动的方法创设情境，引出课题 2通过学生讨论，归纳总结出互余、互补的定义，并通过练习（1）以上定义中的“互为”是什么意思？（2）若 ，那么1、 2 、3 互为补角吗？（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？）对定义加以巩固【说明】对定义的理解，提出的三个问题很关键，让学生讨论发表自己的见解，比教师单纯强调“注意”效果要好得多，同时也培养学生全面分析、考虑问题的能力3通过教师出示问题，学生思考并相互叙述，最后教师加以点拨的方法完成第一个性质的逻辑推理，其他性质由教师出示问题，学生模仿完成，最后学生做反馈练习（见幻灯片）4通过教师提问、学生回答完成图表的方法进行本节课的小结9.4 对顶角一、知识结构二、重难点分析（1）本节课的重点是对顶角的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要用到。辨认对顶角的要领是：首先要有两条直线相交构成四个角的前提条件，再找其中有公共顶点且一个角的两边分别是另一个角两边反向延长线的两个角，就是对顶角。（2）本节的认知难点之一是在复杂图形中识别对顶角，要突破这个难点，首先要使学生结合图形明确对顶角的特征，接着通过例、习题使学生能在复杂图形中识别出基本图形.本节课的难点之二是对顶角性质的证明和书写格式.要证明两角相等，这对于刚学习推理证明的学生来说并非易事教学时要引导学生回忆至今为止已经学过的关于两个角相等的方法，使学生自己联想到“同角的补角相等”这个定理，从而受到启发获得证明的思路可先结合图形用文字语言叙述推理过程，然后再“翻译”成符号语言的几何推理格式要特别注意使学生明确每一步推理的根据师生互动活动设计1通过实例创设情境，引导学生进入课题2通过演示实验和学生讨论、总结对顶角概念3通过学生研讨、练习巩固完成性质的讲解4通过学生总结完成课堂小结5通过随堂练习，检测学生学习情况【练习设计说明】第1题是直接利用对顶角相等的性质得出，第2、3题是结合图形利用对顶角相等的性质，第4题是两条直线相交的一种特殊情况，为下节课讲两直线互相垂直埋下伏笔9.5 垂直重点：垂直的概念和性质、判定难点：垂线（段）的画法和性质的理解运用师生互动活动设计1通过创设情境，复习基础知识，引入课题2通过教师引导提问，学生思考、互相叙述和纠正，教师点拨，练习巩固新课3通过师生互答完成归纳小结（1）垂直定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的里线，它们的支点叫做垂足提出以下问题帮助学生理解定义（投影显示，投影片1）（1）“有一个角是直角”是指四个角中的哪一个角？（2）“互相垂直”是什么意思？（3）相交的两条直线都垂直吗？【设计说明】用教具演示“两条直线互相垂直”这个概念的产生过程，使学生形成对概念的感性认识再回过头来进行定义，并且从演示过程中看到垂直是两条直线相交的一种特殊情况，认识了事物间的发展变化的辩证关系，提出问题帮助学生理解概念，比教师单纯“强调”效果更好（2）垂直判定：AOC=90，ABCD（垂直的定义）垂直性质：ABCD（已知），AOC90（垂直的定义）学生活动：用AOD、BOD或BOC让学生重复练习正、反两步推理【设计说明】让学生自己尝试学习，可充分发挥学生的积极性、主动性，对垂直定义做正、反两方面的推理可加深学生对定义的理解，一方面为了渗透符号推理格式，熟悉符号的使用；另一方面可加深学生对定义的理解，定义既可以作判定用，又可以当性质用【设计说明】在前边练习的基础上，学生自己解决并不难，教师要完全放手，开阔学生思路，学生可能出现多种解法，口算、算术解法、列方程等，找一个用方程解决的学生板演，因为这种方法更具有一般性，并通俗易懂，学生易于接受解这类综合性的题，要求学生能结合图形，发现几何对象在数量上的明显关系及隐含关系并会用代数手段进行计算，另外对几何对象的位置关系要会紧扣定义判断例1、如图，在一张半透明的纸上画一条直线l ，在直线l上任取一点P，在直线l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线.这样的直线能折出几条？为什么？过Q点呢？分析：本问题让学生动手操作，使学生通过用折纸的方法作垂线，进一步体会垂线的存在性和唯一性.*例2.画图题：（1）分别过P点画直线AB的垂线.（2）分别过C点画线段AB的垂线.3)分别过P点画角两边的垂线分析：让学生在理解概念的基础上，多动手练习画垂线，进一步体会垂线的惟一性，同时培养学生的动手操作能力.在此再次使学生明确画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.例3、（1）在线段DA、DB、DC中 最短，在线段BA、BE、BD中 最短. （2）点B到直线AD的距离是 ，点D到直线AB的距离是 .*例4、如图已知：OAOD，OCOB，COD=60，求AOB的度数分析：本题使学生感受到两线互相垂直的位置关系，可以转化为角的数量关系.同时本题学生可能会采用多种方法解答，教师应对此给予鼓励，同时说明引导学生分析每一种方法的长处.方法1先分别求出AOC与BOD的度数，再用三个角AOC、CDD、DOB的和求AOB的度数（本方法可利用同角的余角相等）方法2先求AOC的度数，用AOC与COB两个角的和求AOB的度数或先求BOD的度数，用AOD与BOD两个角的和求AOB的度数方法3直接用AOD与BOC的和减去重叠部分COD亦可学习垂直应把握的几个概念 1、垂直与垂线 垂直是两条直线的位置关系，垂线是指直线-图形。2、垂线与垂线段垂线是直线，不能比较大小和度量，垂线段是线段，可以度量.垂线和垂线段都是几何图形，垂线上一点与垂足之间的线段叫做垂线段.且垂线段是垂线的一部分.3、垂线与斜线垂线和斜线是以两条直线相交是否成直角来区分的4垂直与铅垂线垂直是两条直线的位置关系，只与两条直线相交所成的角度有关.如图1中的直线m与直线n垂直.铅垂线是指与水平线垂直的直线。如图2中直线a垂直于直线b，则直线a为铅垂线.铅垂线是垂线的特殊情况. 图1图2图3 5、垂线段与点到直线的距离垂线段是一条线段，是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一种数量关系.不能认为点到直线的距离就是垂线段.如图3，点C到直线AB的距离不是垂线段CD，而是垂线段CD的长度.第十章 平行线平行线既是对线与角的进一步学习，也是为今后继续学习数学，尤其是对几何图形的学习打下坚实的基础。在初中阶段，几乎所有图形方面的学习都脱离不了相交线与平行线的知识，对本章内容掌握的深度对今后的数学学习有着至关重要的作用。本章重点内容：平行线的性质与判定。本章难点内容：平行线性质与判定的应用；几何推理思路、及推理格式的书写。10.1同位角在两条直线相交所得的四个角的位置及大小关系知识的基础上，进一步研究一条直线与两条直线相交得到的八个角的位置关系.本节的认知难点为在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角。（1）结合图形理解三类角的意义.本文首先是通过让学生观察、分析、讨论、对比、归纳等环节理解同位角的意义，并掌握同位角的基本图形，从而为在复杂图形中识别同位角打好基础.内错角、同旁内角的认识过程也是如此.（2）通过从图形中分离出基本图形，不仅使学生学习到抓基本图形的方法，还可以使学生在今后的学习中也逐渐掌握这种“化繁为简”的方法.（3）不设置过于复杂的图形和问题，原因是要使本节课内容成为学生继续学习的“一块基石”，而不是“绊脚石”。师生互动设计：1创设情境，复习导入： 提出问题，请学生思考：（1）两条直线相交形成几个角？（2）1与3，2与4是什么角？它们在数量上有什么关系？（3）1与2，l与4是什么角？它们在数量上有什么关系？（4）若一直线EF与两条直线a、b分别相交于两点，也可以说成是直线a、b被EF所截，那么在交点处共形成几个角？2. 教师进一步说明：在这八个角中，有公共顶点的两个角的关系前面已经学过，今天，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系.3.认识同位角（1）问题1：分析图中1和5的位置关系有什么特点？教师引导学生讨论、归纳得出：它们均在a、b的同侧（上方），在截线l的同侧（左侧）,我们可以说它们的位置相同，故称之为“同位角”.（2）问题2：你还能在图中找到同位角吗？一共有几对？学生可根据上一问题的讨论进一步感受同位角的意义，并能正确找出另外三对同位角，即2与6、3与7、4与8.教师可利用课件把四对同位角分离出来.并让学生观察、分析这几个图形的特征：都形如F形.（这种从图形中分离出简单图形的训练，可以有效地帮助学生掌握识图技能，从而扫除学生在认识内错角、同旁内角时可能存在的障碍.）（3）问题3：下列图形中的1和2是同位角吗？为什么？（一看三线，二找截线，三看位置来分辨）本问题考察学生是否理解“同位角”的意义以及变式图形的识别能力.注：以上关于“同位角”的内容，应作为本节课的重点，以便“举一反三”.4.类似上述方法使学生认识“内错角”、“同旁内角”.5.归纳总结： 在使学生初步认识三类角以后，进一步提出问题：（1）这三类角的共同特征是什么？（2）内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？提出问题后首先让学生对上述问题展开讨论，学生在讨论过程中可以对同学所发表的意见进行评判，最后教师进行归纳总结(见课件)通过此表表使学生进一步明确：在识别三类角时，要在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解.10.2 平行线和它的画法本节从实例中概括出平行线的概念，给出了平行线的记法和它的画法，平行公理。 【教法说明】画平行线是几何画图的基本技能之一，在以后的画图中常常会遇到，要求学生使用工具，不仅能养成良好的学习习惯，也能培养学生严谨的学习态度【教法说明】学生对垂线的惟一性比较熟悉，通过对惟一性的回顾，学生能够用类比的思想，把自己动手得到的实验结论采用准确的几何语言描述出来，这样不仅培养了学生善于类比的思想，同时也训练了学生语言的规范性103 平行线的性质本节内容的重点是平行线的性质教材上明确给出了“两直线平行，同位角相等”推出“两直线平行，内错角相等”的推理过程为学生创设了一个学习推理的环境，对逻辑推理能力是一个渗透因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要学生对推理证明的过程，开始可能只是模仿，但在逐渐地接触过程中，能最终理解证明的步骤和方法，并能完成有两步推理证明的填空设计1、如图，工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山，为了降低施工难度，工程师决定绕过这座山，如果第一个弯是左拐300，那么第二个弯应朝什么方向。才能不改变原来的方向。通过实例，让学生从具体的实例中发现数学问题，进而寻求解决问题的方法，使学生懂得数学来源于现实，服务于现实生活，同时也调动了学生的积极性，提高了学生的兴趣。2、理清两条直线平行，同位