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含根式函数值域的几何求法函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。例1 求函数的最小值.解：由得：.令，消去x得：图1则点在的抛物线段上，又在直线上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，y取最大值，取y最小值。联立方程组，消去u整理得：，由=0，即：解得：. 原函数的最小值为.评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。例2 求函数的值域.分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。图2解：由 解得：.令，消去x得：则点在的园弧上，又在直线上，如图2，显然又 即为原函数所求的值域。例3 求函数的最小值.分析：当我们把化为：y时，容易联想到两点间距离。解：图3设P（x , 0），A（0, 2），B（3, 1），则问题转化为在x轴上找一点P，使得P到A、B两点的距离之和最小。如图3，易求得点A关于x轴的对称点A/ 的坐标为（0, 2），则：即为最小. .评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。例4 求函数的值域.解：由得：.图4u我们可以看到上式的右边表示过函数上自变量x相差2的任意两点的直线的斜率，如图4， B，C两点的坐标分别为 即：. 原函数的值域为.例5 求函数的最大值.解：由已知函数得：图5上式可看作抛物线上的点P到点A（3，2），B（0，1）距离之差的最大值，如图5.由可知：当点P在AB的延长线上的P/ 处时，y取最大值. .例6 求函数的值域.解：令，消去x整理得：，则，图6其中是半园A：（）上点到直线l：的距离，如图6，从圆心A作ACl于C交半园A于E，BDl于D，则 ， 即为所求函数的值域. 例7 求函数的最大值.分析：把原函数化为时，我们就容易联想到两点的斜率公式。解：由解得：.令，消去x整理得：，则.其中可看作是椭圆弧上点P与点Q（2，0）连线的斜率k，如图7易知：当直线过点Q且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。联立方程组，
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