凯莱-哈密顿定理.doc

凯莱哈密顿定理维基百科，自由的百科全书跳转到： 导航, 搜索在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟凯莱与威廉卢云哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。明确地说：设 A 为给定的 矩阵，并设 In 为 单位矩阵，则 A 的特征多项式定义为：其中 det 表行列式函数。凯莱-哈密顿定理断言：此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。凯莱-哈密顿定理的重要推论之一是矩阵的极小多项式整除其特征多项式，这在寻找约当标准形时特别有用。目录隐藏 1 例子 2 定理证明 3 抽象化与推广 4 外部链接 编辑 例子举例明之，考虑下述方阵：其特征多项式为此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理：A2 5A 2I2 = 0 此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：A2 5A 2I2 = 0 A2 = 5A + 2I2. 例如，为了计算 A4，可以反复利用上述关系式：A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2 A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A A4 = 145A + 54I2. 此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。注：一般而言，若 矩阵 A 可逆（即：），则 A - 1 可以写成 A 的幂次和：特征多项式有如下形式将方程式 p(A) = 0 同乘以 A - 1，便得到-R| 编辑 定理证明以下考虑布于域 上的矩阵。凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。克莱姆法则断言：若 S 是 矩阵，而 cof(S) 表其余因子矩阵，则取 S: = tIn A，便得到 (tIn A)cof(tIn A)t = pA(t)In。此式对所有 t 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环 kt 内成立。设 M: = kn，矩阵 A 赋予 M 一个 kt-模结构：。考虑 kt-模 ，我们有 kt-模之间的“求值态射”：固定 ，对 Mt 中的等式右侧取 eA 后得到 pA(A)m，左侧取 eA 后得到 。明所欲证。一个简单的证明： 令：由:得：将上式左边按t进行多项式展开得：将上式右边展开得：因两多项式，他们的对应项系数相等得：在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得：得证编辑 抽象化与推广前述证明用到系数在 kt 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 R 上的任何有限生成自由模 M（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。编辑 外部链接 PlanetMath 上的证明 取自“/zh-cn/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86”3个分类: 线性代数 | 矩阵论 | 数学定理查看 条目 讨论 编辑本页 历史 不转换 简体 繁體 大陆简体 港澳繁體 马新简体 台灣正體 个人工具 试用测试版 登录创建账户 搜索窗体顶端 窗体底端导航 首页 分类索引 特色内容 新闻动态 最近更改 随机页面 帮助 帮助 社区入口 方针与指引 互助客栈 询问处 字词转换 IRC即时聊天 联系我们 关于维基百科 资助维基百科 工具箱 链入页面 链出更改 上传文件 特殊页面 可打印版 永久链接 引用此文 其他语言 Bosanski Catal Deutsch English Espaol Franais Hrvatski Magyar Italiano 日本語 Polski Portugus Slovenina / Srpski Svenska 本页面最后修订于2010年4月14日 (星期三) 06:00。 本站的全部文字在知识共享 署名-相同方式共享 3.0协议之条款下提供，附加条款亦可能应用。（请参阅使用条款）Wikipedia和维基