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第一章 静电场的基本规律本章首先介绍了电荷的基本概念，从实验事实出发，给出了库仑定律和叠加原理；从库仑定律和叠加原理出发，引入电场强度定义，证明了静电场的两个基本定理高斯定理和环路定理；举例说明了场强和电势的计算方法。本章的基本要求是：1、掌握点电荷、电场强度、电通量、电势等基本概念。2、正确理解：两个定律：（电荷守恒定律，库仑定律）；两个定理：（高斯定理，环路定理）；两个叠加原理：（电场强度叠加原理，电势叠加原理）。3、掌握场强的三中计算方法：叠加法，高斯定理法，电势梯度法。 电势的两种计算方法： 场强积分法，电势叠加法1 静电的基本现象和基本规律一、 两种电荷早在公元前六百年，人们就发现用毛皮磨擦过的琥珀能够吸引羽毛，纸片等轻小物体。后来发现，用毛皮或丝绸磨擦后的玻璃棒、火漆棒、硬橡胶棒等都能吸引轻小物体，这表明经磨擦后的棒下入了一种特别的状态，将处于这种状态的物体叫带电体，并说它们带有电荷，英文中electricity(电)就是从希腊字electron(琥珀)而来。1、电荷的种类：电荷有两种，同种电荷相斥，异种电荷相吸。美国物理学家富兰克林（BenjaminFranklin 1706-1790）首先以正电荷、负电荷的名称来区分两种电荷，这种命名法一直延续到现在。自然界中的电荷只有两种，一种与丝绸磨擦过的玻璃棒的电荷相同，叫正电荷；另一种与毛皮磨擦过的火漆棒的电荷 相同，叫负电荷。现在我们知道在原子内部质子带正电荷，电子带负电荷，中子不带电，由于正负电荷电量相等，所以整个原子对外不显电性。2、电荷的检验、验电器利用同性相斥的现象可制成验电器，它可检验物体是否带电。3、电荷间的作用： 同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。4、物体按导电性的分类，电荷的传递由日常生活，我们知道，并非所有物体都允许电荷通过。允许电荷通过的物体叫导体。不允许电荷 通过的物体叫电绝缘体（或电介质）。干燥的玻璃、橡胶、塑料、陶瓷、木材等是良好的绝缘体，金属、石墨、酸碱是良好的导体。人体、墙壁和地球也是导体，但导电性不如金属。干燥且未被电离的气体是绝缘体，被电离的气体是导体。介于导体和绝缘体之间且电性属非常特殊的材料，叫半导体。如锗和硅。半导体 是近代电子技术的重要材料，如二极管、三极管、芯片。物体之所以具有不同的导电性，是由物质的微观结构所定，金属导电是因为内部有许多自由电子，它们可以摆脱原子核的束缚而自由在金属内部运动，电解液的导电是因其内部有许多能作宏观运动的正、负离子。而在绝缘体内部，电子受原子核的束缚，基本上无自由电子，所以是绝缘性质。5、电荷守恒定律电荷的一个重要性质是它遵从电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统内(孤立系统)，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。6、电荷的量子性 实践证明在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，电荷的这个特性叫电荷的量子性。电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值，常以e表示。经测定库仑并把它叫做电子电荷。质子的电荷与电子电荷的绝对值相同，但电性相反。近代物理从理论上预言了基本粒子由若干种夸克组成，每一种夸克或反夸克可能带有的电量，然而至今单独存在的夸克尚未发现，现在认为夸克是禁闭的。 这表明，量子现象不仅在微观领域存在，而且在宏观领域也存在。事实证明，在许多宏观领域都存在量子现象。练习题1 判断下列说法是否正确，并说理由。（1）场中某点的场强的方向就是将点电荷放在该点时所受电场力的方向。（2）场强的方向可由定出，其中q可正可负 。（3）在以点电荷为心所作的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相等。2 一半球上均匀分布着正电荷，根据对称性，如何判断位于球心的场强方向？二、库仑定律电荷最基本的性质是与其他电荷相互作用，因而电荷之间相互作用的规律是电现象的基本规律。这方面的规律是由法国工程师库仑（Charles Auguste de Coulomb 1736-1806）于1785年在总结实验的基础上得出的，叫做库仑定律。库仑定律是点电荷与点电荷相互作用的规律。1、静电力 静止的带电体之间的相互作用力，叫做静电力，由实验知道对任意两带电体，它们之间静电力的大小和方向，不但与它们所带的电量以及相互之间的距离有关，而且还与它们的形状有关，也就是，当任一带电体的形状稍有变化时，静电力的大小和方向就会改变，这实际上反映出静电力与电荷在带电体上的分布有关，由此可见，影响静电力的因素比较复杂，所以我们首先来看点电荷的定义。2、点电荷点电荷是指这样的带电体：它的线度与距离比可以忽略，这里的距离是指相关研究点或相互作用的电荷之间。因此单个电荷不能说点电荷。例：粉笔、书本、课桌、门窗、大楼、地球等体积的带电体，在一定条件下都可以看作是点电荷。3、库仑定律库仑定律定律内容：真空中两个静止（或低速）点电荷作用力的大小与两个点电荷的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向在两个点电荷的连线上，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。数学表达式（矢量式）： 式中k = 9109（N m2/C2），0=8.8510-12（C2/ N m2）为真空中的介电常数。库仑定律表明静电力是r的平方反比，是有心力。库仑定律适用的条件：真空、相对于观察者静止、点电荷；现代科学证明小到分子原子内部，大到天体均适用。 4、电磁学单位制基本物理量长度 质量时间电流点荷简称MKSA制 mKgS A SI单位制CGS制cmgS静库高斯单位制5、静电力的叠加原理大量实验证明：若一个点电荷同时受到多个电荷q1、q2qi的作用，则该点电荷受的力等于各点电荷单独存在时对该电荷作用力的矢量合。即 对于连续的带电体，有 库仑定律及静电力的叠加原理是整个静电学的基础。 （1）利用库仑定律的平方反比性质及静电力的叠加原理可以导出描述静电场的重要定理之高斯定理； （2）利用库仑定律的有心性及静电力的叠加原理可以导出描述静电场的另一个重要定理安培环路定理。 两个定理合在一起完整的描述了静电场。 例位于太阳表面的一个质子受到太阳的万有引力，相当于多重的电子（位于太阳中心）对它的库仑作用力？（请查阅有关常数求解，并体会库仑相互作用与万有引力相互作用的量级差异。）练习题：相关文章：库仑定律的适用范围3 静电场1、场的概念：对电荷之间的相互作用进行分析，电荷之间的相互作用力是如何传递的，对此有三种解释：1-1“超距”作用：认为电荷之间的作用是直接的，不需要时间和介质。1-2“以太”为媒介作用：认为电荷之间的作用是通过一种特殊物质“以太”来传递的。1-3 间接作用：认为电荷之间的作用是通过一种特殊物质间接实现。这种这种物质称为电场。电荷间的作用：电荷 电场 电荷；近代物理大量实验事实证明，场的观点是正确的。电场物质性：电场是电荷间的作用媒质，是一种特殊的物质，与实物不同处是不可视、不可摸，但与实物一样具有能量和动量。电场特殊性质：电场是弥散的，形状受空间环境的影响；电场的可叠加性：不像实物两个不能同时处与同一位置。电场的描述：电荷产生电场，电场在空间要有分布，电场要有自身的性质，我们自然想到要找一个合适的物理量来描述电场，这个物理量要能体现电场本身的性质及场的空间分布情况。怎样寻找这个物理量呢？我们可以通过电场对处在其中的电荷有作用力的性质来测量电场，从而找到描述电场自身特点的物理量 电场强度矢量。在数学上，电场强度是一个空间矢量点函数。2、电场强度矢量（描述电场性质或特征的量）检验电荷：用来测量电场的电荷叫检验电荷（或试探电荷）；要求检验电荷的电量和线度必须足够小的点电荷，以至于其产生的电场不影响被测电场的分布。检验电荷在电场中的受力情况：在电场中同一点，不同电量的试探电荷在该点受力大小F不同（方向相同），但比值是一常矢量，与无关，故该比值反应了被测电场在该点的本身性质；在不同的点，试探电荷受力不同，其比值一般也不相同，这说明不同的点的电场性质不同。由上说明比值反应了电场的本身特性在空间的分布情况，因此可用此比值来定义一个描述电场本身特性的物理量。电场强度的定义：电场中某点的电场强度是一个矢量，其大小等于单位试探电荷在该点所受力的大小，其方向与正电荷在该点的受力方向一致。其数学表示式为 说明：是矢量，不仅有大小，又有方向；一般情况下，是空间分布的点函数，即，形成空间矢量场。特殊地，若空间各点的大小和方向都相同，称该电场为均匀电场。通过该定义即可知道电场力的计算。3、电场强度的计算（及静电场的叠加原理） 点电荷的电场强度将试探电荷放在点电荷的电场中，由库仑定律得受的电场的作用力为由电场强度的定义式得点电荷的电场强度为 由此式可知点电荷的场强具有球对称性。分立的点电荷组的电场强度计算若空间有多个点电荷，则这些点电荷在空间任一点产生的电场强度可由静电力的叠加原理及点电荷的场强公式求出，即 式中为第个点电荷产生场强。显然：点电荷组在空间任一点产生的电场强度等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。这就是静电场的叠加原理。连续的带电体的场强的计算连续的带电体的场强的计算由点电荷的场强公式及场强叠加原理式求得：电荷体分布的带电体的场强：设电荷体密度为，由点电荷的场强公式及场强叠加原理得： 面电荷分布的场强：设电荷面密度为，由点电荷的场强公式及场强叠加原理可得 线电荷分布的场强：设电荷线密度为，由点电荷的场强公式及场强叠加原理可得 4、场强计算举例例求均匀细带电棒的场强分布，设其电荷线密度为。分析：求电场分布的涵义：求空间任意一点的场强。 带电体各部分到取定的一点的矢径不同，为此要对连续分布的带电体取微元，使各微元可视为点电荷，利用点电荷的场强公式求解，再用场强叠加原理。但注意在叠加时的矢量性，为此又必须进行分解再合成。解：选取如图所示的坐标系和符号，取电荷元dy由点电荷的场强公式求dy在P点产生的场强求电场dE的x轴及y轴的分量 ， 统一积分变量，将变量和l统一到上，由图知，即 ， 积分将上二式分别带入积分式后得 ， 讨论：中垂面上的场强分布；一端的垂面上的场强分布；半无限长的端面上的场强分布；无限长带点直线的场强分布。对延长线上的场强上面的式子不适用（如何计算？）。 例求均匀带电圆环轴线上的场强（半径为R、电量为q）同例1的计算方法，利用对称性场强垂至于X轴分量为0，可求出p点的场强表示式为例求均匀带电圆面轴线上的场强（半径为R、面密度为）解：将圆盘分成若干个半径为r(rR、沿径向宽度为dr的小圆环，所带电量为dq=2rdr，dq在轴线上一点P产生的场强为 对r从0到R积分得讨论： R , 则为均匀电场；若，则由二项式定理得 代入后得 与点电荷的场强公式相同，说明了点电荷的相对性。练习题4 高斯定理定义了电场强度，计算了部分带电体的电场的分布，那么电场具有什么样的性质是我们应该深入研究的。高斯定理从一个侧面描述了电场的性质，它是以库仑定律和静电力的叠加原理为基础导出的一个通量定理。下面首先引入电通量的概念。1、电通量在流体力学中，我们引入了流量（即通过任意曲面的通量）的概念；在速度矢量场中，取面元dS，以n表示其法向的单位矢量，则通过dS的流量为：积分可求得通过任意有限曲面S的流量.通量的概念可以推广到任意矢量场，因此我们可以引入电场强度的通量，称为电通量。均匀电场E对垂直有向面元dS(dS=dSn0)的电通量d=EdS均匀电场E对非垂直有向面元dS(dS=dSn0)的电通量d=EdScos=E.dS （为E与dS的夹角） E对任意曲面S的电通量，E对闭合曲面S的电通量分别为： 注：立体角的概念：面元dS对一点所张的立体角为 闭合面S对其内任一点所张的立体角等于以该点为球心的球面所张的立体角，即 2、高斯定理是描述电场强度对任意闭合曲面的通量等于什么的基本定理，或叫通量定理，是静电场的基本方程之一。定理内容：静电场的电场强度对任意闭合曲面的通量等面内所包含的电量的代数和除以0 。高斯定理的证明： 点电荷在球面S的球心：点电荷偏离求心；以点电荷为中心，取一个球面，根据点电荷的电场分布和立体角即可证明。点电荷在任意闭合曲面内点电荷在闭合曲面外：正的通量等于负的通量，总通量为零。曲面内外均有多个电荷证明结束 高斯定理说明E是面内和面外电荷产生的总场强；q是面内所有电荷的代数和（不含面外电荷）；高斯定理说明静电场是有源场，电荷是电场的源（用数学表示为散度不为零）；高斯定理说明电场线起于正电荷终止于负电荷；高斯定理由库仑定律得来，是库仑平方反比定律的必然结果；若库仑定律不是平方反比，则高斯定理的等式右端将是r的函数,则在无电荷的地方将有电场线发出或终止；适用于一切电场（不论是否对称或场强是否随时间变化），是静电场的场方程之一，与后面的环路定理一起完整的描述了静电场；高斯定理不能说明静电场是有心力；当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求电场分布。3、高斯定理的应用之一-求对称电荷分布的场强分布球对称的电场分布；面对称的电场分布；轴对称的电场分布；各种情况的叠加：球对称的电场的叠加（含挖洞）；面对称的电场的叠加（含挖洞）；轴对称的电场的叠加（含挖洞）；利用高斯定理的解题步骤、对称分析；、选择合适的高斯面； 要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将E提到积分号外；要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cos提到积分号外； 要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积；求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷；、利用高斯定理求电场分布。场强的计算的归类:棒类组合；平面类组合；球类的组合；各类之间的组合。要牢记的基本公式：点电荷的场强公式；带电棒的场强公式；带点环轴线上的场强公式；带电圆面轴线上的场强公式；无限大带点面的场强公式、无限大带点板的场强公式；球面、球体、求壳的场强公式；无限长带电线、柱面、柱体、柱壳的场强公式；带点面、球体、柱体内挖洞后的场强的计算方法（异性电荷叠加法）等。高斯定理从力的观点描述了静电场的性质，但不能体现场的有心性。从静电场的有心性可以导出静电场的另一个重要定理 静电场的环路定理，该定理从另一个侧面描述了静电场的性质，是静电场的又一个场方程，他和高斯定理一起完整的描述了静电场。练习题 5 电 场 线电场线：形象描述电场空间分布的曲线；实际上并不存在。为了描述电场方向的分布，规定：电场线上任一点的切线方向等于该点场强的方向；为了描述电场大小的分布，规定：垂直穿过单位面积的电场线的根数等于电场强度的大小。性质1：起于正电荷，终止于负电荷；性质2：电场线不闭合。 静电场是矢量场，静电场中各点的场强，不仅方向可以不同，而且大小一般是空间坐标的矢量函数。为了使电场的分布形象化，表达某一点电场的方向和大小可以采用电场线（E线）的概念。 首先，规定电场线上任意一点的切线给出该点场强的方向，即上式的说明：，由这个矢量末端给出电场线（曲线），若把这条曲线画在三维直角坐标系，则上式为切线方程。其次，使通过单位截面的电场线数目正比于场的大小。电场线不会中断，不会相交，不会形成闭合曲线。它发自正电荷而终止于负电荷。电场线较密集处，电场强度也较大。下面，我们来求点电荷周围的电场线方程。点电荷的电场为：在xy平面，有 这样得到曲线族的方程为练习题附带内容：电场线概念的不足6 静电场的环路定理1、电场力做功的性质点电荷的电场对在其中运动的电荷做功的性质。下图为一点电荷q的电场，设一试探电荷q0沿曲线路径从A到B，则q的电场对q0做的功为结论：点电荷的电场对在其中运动的电荷所作的功与路径无关，只与起点与终点的位置有关。 点电荷组的电场对在其中运动的电荷做功的性质设空间有点电荷q1、q2、q3、q4-，产生的电场分别为E1、E2、E3-，则E=E1+E2+E3+-，当q0在其中运动时,场力的功为由于上式各项的功与路径无关，故总功也与路径无关。结论：静电场力做功与路径无关，只与起点与终点的位置有关。2、静电场的环路定理由于电场力做功与路径无关，静电场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。这就是静电场的环路定理，是做功与路径无关的又一表达形式，是静电场有心性的具体体现，说明静电场是无旋场，和高斯定理一起说明静电场是有源无旋场，二者完整的描述了静电场。但环路定理不能说明静电场的平方反比规律。做功与路径无关的场叫有势场，可引入电势能、电势差、电势的概念。3、电势能差、电势差、电势由于静电场力做功与路径无关，则可引入运动的电荷q0与电场之间的电势能的概念，电势能仅与位置有关，故q0在电场中从A到B运动时静电场力做的功等于体系在A、B两点的电势能差，即可以看出，电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。还可以看出，功和电势能差与运动电荷q0成正比，但二者与q0的比值与q0无关，反映了电场本身的又一特性，我们可将这个比值定义为A、B两点的电势差。电势差 电势 电场中A、B两点的电势差UAB定义为由上式可知UAB的物理意义为： UAB等于