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中小学1对1个性化辅导第一责任品牌 小学数学中国剩余定理 许荣波学法指导 在整数除法运算中,除了“能整除”的情形外,更多的是“不能整除”的情形,因此就产生了有余数除法。 比如838103,还可以记作83=810+3. 涉及到有余数的除法,我们需要区分一下几种情形: 1. 用同一个数分别除以不同的整数时,余数相同,这时可以先把这个相同的余数都减去,这样就转变成能整除的情形了,再运用最小公倍数的有关知识就能得到解决; 2. 用同一个数分别除以不同的整数时,余数不相同,但是缺少的数正好相同,这时可以先加上这个数,转变成都能整除的情形,再运用最小公倍数的有关知识也能得到解决。 3. 用同一个数分别除以不同的整数时,余数不相同,而且缺少的数也不相同,这时就比较复杂了,我们可以运用中国剩余定理来解决。 中国剩余定理最早出自我国古代的著名数学著作孙子算经中的“物不知数”一题:“今有物,不知其数:三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”这道题目所用的算法,被后人称为“中国剩余定理”,其核心仍是倍数与最小公倍数的有关知识。例题一 有一堆苹果,不论是分成5个一堆,还是8个一堆,最后都多出2个。这堆苹果至少有多少个?【分析与解答】因为每次都多出2个,所以拿走2个苹果,那么不论是分成5个一堆还是8个一堆,都没有剩余,这时苹果的个数就应该是5和8的公倍数。【5,8】=40, 40+2=42(个),所以这堆苹果至少有42个。试一试1 同学们做操,不论是排成6人一行,8人一行,还是15人一行,最后都正好少3人。问,至少有多少同学在做操?例题二 一个自然数,除以4余2,除以10余8,除以25余23。这个数最小是多少?【分析与解答】题目的意思也即相当于:这个数除以4缺2,除以10缺2,除以25也缺2。因此加上2后,除以4、除以10和除以25时,就都正好能整除了,这时就是4,10和25的公倍数。【4,10,25】=100, 100-2=98,所以这个数最小是98试一试2一个数,除以6缺1,除以8缺3,除以18余5,。问这个数最小是多少?例题三 一个数,除以8余3,除以11余2。这个数最小是多少?【分析与解答】由于这个数除以8和11的余数不相同,而且缺少的数也不相同,因此 不能直接利用最小公倍数来解决。 我们先看“除以11余2”这个条件,从小到大依次在所以满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3”的数。 2+11=13,138=15,不符合; 13+11=24, 248=3 不符合; 24+11=35, 358=43,符合条件。 因此这个数最小是35。试一试3一个数,除以5余4,除以9余7.这个数最小是多少?例题4一堆糖果,4个一数多1个,9个一数多4个,11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?【分析与解答】这个问题可以概括为:“一个数,除以4余1,除以9余4,除以11余9。这个数最小是多少?”我们可以从满足“除以11余9”的数中,找出“除以9余4”的数,这只要依次加上11即可;然后在满足“除以11余9,且除以9余4”的数中,找出“除以4余1”的数,这需要依次加上11和9的最小公倍数即可。答案为229。试一试4一个数,除以3余2,除以5余4,除以8余3。这个数最小是多少? 【课内习题】1. 一盒巧克力,7粒一数还余5粒,9粒一数又少2粒。这盒巧克力至少有多少粒?2. 一批书,包装成每包12本,剩下11本;每包18本,最后还缺1本;每包15本,最后剩下14本。这批书至少有多少本?3. 一个数,分别除以6,10和7,都正好余4.这个数最小时多少?4. 一个数,除以6余1,除以11余4.这个数最小是多少?5. 一盒棋子,3个一数剩下2个,5个一数剩下1个,7个一数生5个。这盒棋子至少有多少个?6. 一个数,除以5余2,除以6余4,除以7余3.这个数最小是多少?7.一袋糖果,平均分给15个小朋友,或者20个小朋友,最后都余下4颗。问这袋糖果至少有多少颗?8一批苹果,每24个装一箱,最后一箱少5个;每30个装一箱,最后一箱少11个;每25个装一箱,最后还多出19个。这批苹果至少

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