小学数学竞赛因数与倍数.doc

中小学1对1个性化辅导第一责任品牌 小学数学中国剩余定理 许荣波学法指导 在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”的情形，因此就产生了有余数除法。 比如838103，还可以记作83=810+3. 涉及到有余数的除法，我们需要区分一下几种情形： 1. 用同一个数分别除以不同的整数时，余数相同，这时可以先把这个相同的余数都减去，这样就转变成能整除的情形了，再运用最小公倍数的有关知识就能得到解决； 2. 用同一个数分别除以不同的整数时，余数不相同，但是缺少的数正好相同，这时可以先加上这个数，转变成都能整除的情形，再运用最小公倍数的有关知识也能得到解决。 3. 用同一个数分别除以不同的整数时，余数不相同，而且缺少的数也不相同，这时就比较复杂了，我们可以运用中国剩余定理来解决。 中国剩余定理最早出自我国古代的著名数学著作孙子算经中的“物不知数”一题：“今有物，不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这道题目所用的算法，被后人称为“中国剩余定理”，其核心仍是倍数与最小公倍数的有关知识。例题一 有一堆苹果，不论是分成5个一堆，还是8个一堆，最后都多出2个。这堆苹果至少有多少个？【分析与解答】因为每次都多出2个，所以拿走2个苹果，那么不论是分成5个一堆还是8个一堆，都没有剩余，这时苹果的个数就应该是5和8的公倍数。【5,8】=40, 40+2=42（个），所以这堆苹果至少有42个。试一试1 同学们做操，不论是排成6人一行，8人一行，还是15人一行，最后都正好少3人。问，至少有多少同学在做操？例题二 一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23。这个数最小是多少？【分析与解答】题目的意思也即相当于：这个数除以4缺2，除以10缺2，除以25也缺2。因此加上2后，除以4、除以10和除以25时，就都正好能整除了，这时就是4,10和25的公倍数。【4,10,25】=100, 100-2=98，所以这个数最小是98试一试2一个数，除以6缺1，除以8缺3，除以18余5,。问这个数最小是多少？例题三 一个数，除以8余3，除以11余2。这个数最小是多少？【分析与解答】由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的数也不相同，因此 不能直接利用最小公倍数来解决。 我们先看“除以11余2”这个条件，从小到大依次在所以满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3”的数。 2+11=13，138=15，不符合； 13+11=24, 248=3 不符合； 24+11=35, 358=43，符合条件。 因此这个数最小是35。试一试3一个数，除以5余4，除以9余7.这个数最小是多少？例题4一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个？【分析与解答】这个问题可以概括为：“一个数，除以4余1，除以9余4，除以11余9。这个数最小是多少？”我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的数，这只要依次加上11即可；然后在满足“除以11余9，且除以9余4”的数中，找出“除以4余1”的数，这需要依次加上11和9的最小公倍数即可。答案为229。试一试4一个数，除以3余2，除以5余4，除以8余3。这个数最小是多少？ 【课内习题】1. 一盒巧克力，7粒一数还余5粒，9粒一数又少2粒。这盒巧克力至少有多少粒？2. 一批书，包装成每包12本，剩下11本；每包18本，最后还缺1本；每包15本，最后剩下14本。这批书至少有多少本？3. 一个数，分别除以6,10和7，都正好余4.这个数最小时多少？4. 一个数，除以6余1，除以11余4.这个数最小是多少？5. 一盒棋子，3个一数剩下2个，5个一数剩下1个，7个一数生5个。这盒棋子至少有多少个？6. 一个数，除以5余2，除以6余4，除以7余3.这个数最小是多少？7.一袋糖果，平均分给15个小朋友，或者20个小朋友，最后都余下4颗。问这袋糖果至少有多少颗？8一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个；每30个装一箱，最后一箱少11个；每25个装一箱，最后还多出19个。这批苹果至少