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第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算1. 定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使对于V中的任意向量，V中都有唯一的与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为 ，称y为x在变换T下的象，而x为y的原象（或象源）. 若变化T还满足则称T为V的一个线性变换或线性算子.例1 二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换.【证】设 ，可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换 ， 所以T是线性变换。例2 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间，其基可选为，微分算子是上的一个线性变换。【证】显然对而言是变换， 所以是上的线性变换.2. 性质（1）线性变换把零向量仍变为零向量，即；（2）负向量的象为原来向量的象的负向量，即；（3）线性变换把线性相关的向量组仍变为线性相关的向量组.【证】线性变换 （1）；（2）；（3）设向量组线性相关，即存在一组不全为零的数 使 ，则 ，所以线性相关.注意：线性无关的向量组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与向量组和线性变换有关.3. 线性变换的运算（1）恒等变换（单位变换）：；（2）零变换：；（3）变换的相等：设是的两个变换，若，有，则称与相等，记为；（4）线性变换的和：； （5）线性变换的数乘：.负变换： .（6）线性变换的乘积：.（7）逆变换：设是的变换，若存在线性变换，使， 即 ，则称为的逆变换，记为，称为可逆变换.注意：以上定义的都是线性空间的线性变换.（8）线性变换的多项式：线性变换的幂：规定： ；正整数幂：=；负整数幂：，其中为可逆变换；设，则 也是的线性变换，称其为线性变换的多项式.二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。设是线性空间的一个线性变换，且是的一个基，存在唯一的坐标表示 ，因此，要确定线性变换，只需确定基向量在该变换下的象就可以了.1. 定义：把称为在基下的矩阵.2. 定理：设是的一个基，在该基下的矩阵分别为，则有（1）（2）（3）（4）推论1. 设为纯量t的m次多项式，为线性空间的一个线性变换，且在的基下的矩阵为，则 ， 其中， .推论2. 设线性变换在的基下的矩阵为，向量在该基下的坐标为，则在该基下的坐标满足 .【证】， ，所以 .3. 相似矩阵（1）定义：设，如果存在数域上的阶非奇异矩阵，使得，则称与相似，记为.（2）定理：设线性变换在的两个基及下的矩阵分别为和，且，则，即和为相似矩阵.【证】 ，因为 ，所以.三、线性变换及矩阵的值域和核1. 定义：设是线性空间的
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