专题十：参数的取值问题的题型与方法.doc

专题十：参数取值问题的题型与方法（4课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例1已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：在不等式中含有两个变量及，其中的范围已知()，另一变量的范围即为所求，故可考虑将及分离.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题.，即，上式等价于或，解得.说明：注意到题目中出现了及，而，故若把换元成，则可把原不等式转化成关于的二次函数类型.另解：即，令，则，整理得，恒成立.设，则二次函数的对称轴为，在内单调递减.只需，即.(下同第一种解法)例2已知函数在定义域上是减函数，问是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？并说明理由.分析：由单调性与定义域，原不等式等价于对于任意恒成立，这又等价于 对于任意恒成立.不等式（1）对任意恒成立的充要条件是，即-(3)不等式（2）对任意恒成立的充要条件是，即或，-(4)由（3）、（4）求交集，得，故存在适合题设条件.说明：抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号.例3设直线过点，和椭圆顺次交于、两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量、，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线的斜率. 问题就转化为如何将转化为关于的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于轴时，可求得；当与轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于轴对称，点在轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例4当时，不等式恒成立，求的取值范围.xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.解：设：，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，显然，并且必须也只需当时的函数值大于等于的函数值.故，10.则原方程有解即方程有正根。 即解得.解法2（利用根与系数的分布知识）：4oxy即要求有正根,设.10.，即,或.时，得，不合题意；时，得,符合题意。.20. ，即或时，故只需对称轴，即.，综合可得.三、求参数的取值范围在解析几何中的应用解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法.在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值.充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）.研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章.解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值.而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题.1几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。2代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法.例9已知椭圆:和点，过作直线交椭圆于、两点，在线段上取点，使，求动点的轨迹所在曲线的方程及点的横坐标的取值范围.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线的变化引起的，自然可选择直线的斜率作为参数，如何将，与联系起来？一方面利用点在直线上；另一方面就是运用题目条件： 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程来转化.由、四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于，的方程（不含），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程.解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线的方程为：，代入椭圆的方程，消去得出关于的一元二次方程： （2） 代入（1），化简得： (3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点的轨迹方程为： （）.说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.例10已知，试讨论的值变化时，方程表示的曲线的形状.解：（1）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线； （2）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线； （3）当时，方程化为，它表示一个单位圆； （4）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆； （5）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆； （6）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的双曲线.五、强化训练1（南京市2003年高三年级第一次质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”依此规定， 能说明，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 2已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点到直线的距离为，试求的值及此时点的坐标.3设函数，若当0时，恒成立，求实数的取值范围.4已知关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.5试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标.六、参考答案1分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）2分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 直线l在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程 有唯一解解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程， ， 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断的奇偶性和单调性，不难证明，在R上是奇函数和增函数，由此解出.令，命题转化为不等式，-(*)恒成立时，求实数的取值范围。接下来，设，按对称轴与区间的位置关系，分类使，综合求得.本题也可以用函数思想处理，将（*）化为，1 当时，；（2）时，由函数在上是减函数，易知当时，,综合（1）、（2）知。说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。4分析：方程可转化成，从而得，注意到若将等号两边看成是二次函数xyl1l2l-20o及一次函数，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令，则如图所示，的图象为一个定抛物线，的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使和在x轴上有唯