乘法公式（1）.doc

3.4乘法公式(1)湖州市第五中学教育集团 朱威教学目标：1.知识技能目标：理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，掌握利用平方差公式简化整式计算的方法。2.过程方法目标：经历探索平方差公式的过程，体会数形结合、转化的思想，尝试探索n次方差。3.情感态度目标：增强学习数学的信心，感受到数学服务于生活的乐趣。教学重点与难点：重点：理解并运用平方差公式进行整式的计算和简便运算。难点：平方差公式的几何解释和探索其广泛的应用。教学理念及学法指导：本着“生本教育”的理念，我力求始终以学生为主体，在教学中落实“四基”，特别是“基本活动经验”的积累。在本课中我的教学主要以问题的形式展开，引导学生沿着“发现公式、理解公式、运用公式、拓展公式”的主线展开学习，在动口、动手、动脑的活动中形成“探索发现归纳验证应用拓展”这一研究数学新问题的思考方法，并紧密联系生活，通过剪纸、多米弄骨牌等初一学生喜欢的内容吸引学生注意力。课前准备：班级学生进行分组（便于讨论），准备多媒体课件，每组一张正方形纸片，剪刀。教学过程:一、热身抢答：师：前两天我们新学习了整式的乘法，掌握了更多本领，让我们来比一比谁算的最快？ 112108 = 59.860.2=预设：大部分同学动笔计算，部分预习过的同学能脱口而出答案。两部分得到相同答案后，请先得到答案的同学讲一讲是如何计算的：10298=（100+2）（100-2）=10000-4=9996师：大家听明白了吗？今天我们一起学习了3.4乘法公式（1）以后，大家都能和这位同学一样很快得出以上题目的答案了。【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】（设计意图：通过“热身抢答赛”创设情境，引发学生学习的兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。）二、温故知新：问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题。再观察、分析（3）、（4）的左边算式和右边的结果，你能从中发现什么规律吗？(1) = xy5x3y15(2) (x+3)(x5) = x25x+3x15 = x22x15 (3) (x+3)(x3) = x23x+3x9 = x232(4)(x+2y)(x2y) = x22xy+2xy4 y2 = x2（2y）2发现：左边是相同两个数（或式）的和以及差，右边是这两个数的平方差。（或者描述为：左边是两个二项式相乘，且两二项式中有一项完全一样，另一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。）归纳公式：文字叙述：两个数的和与这两个数的差等于这两个数的平方差.问题2：再仔细观察以上4个算式，思考在平方差公式中的a、b只能是数吗？根据公式完成表格：生：1.字母a、b可以是数，也可以是单项式、多项式（整式）；2.计算过程中要注意符号和括号（整体思想）。（设计意图：以一组既有关联又有区别的问题为载体，通过寻找共性、发现规律、猜想公式，从而经历从特殊到一般、具体到抽象的过程，探索平方差公式的同时，体会归纳的数学思想。）问题3：如何证明对所有的a、b都成立呢？（如何证明公式成立？）图证明：问题4：还有哪些证明这个公式成立的方法？你可以动手剪一剪、拼一拼纸片来证明等式成立吗？【投影】操作步骤：（1）请先用a、b的代数式表示图中阴影部分的面积。（2）你能将其拼成其他图形，并表示其面积吗？【小组动手操作，讨论得出结论，并展示】 预设：展示1: 展示2: 展示3:、展示4：图 图展示1：先剪成两个长方形再将它们拼成一个如图所示的图形，它的长和宽分别为(a+b)、(ab)。所以得到等式：(a+b)(ab)=a2b2。展示2：先剪成两个一样的梯形，每个梯形的上底为b，下底为a，高为(ab)。所以得到等式：(a+b)(ab)=a2b2。师：裁剪拼凑中，我们利用“面积法”验证了新学的平方差公式：(a+b)(ab)= a2b2。注意：面积法中a、b的取值有没有范围，我们的平方差公式中的a、b呢？总结：用几何证明的时候a与b都是大于零的数，而我们公式中的a与b可以正、可以负，可以为数字，也可以为式，可以是单项式也可以是多项式。（设计意图：设计几何证明，除了更直观地证明等式成立外，还反映了平方差公式在实际问题中也客观存在，体现了数学的实际的意义。）三、新知应用：1.练习：下列式子中哪些可以用直接用平方差公式（并找算式中的“a”和“b”）： (1) (a+8)(a-8) (3) (2+a)(a-2) (4) (3x+5y) (3x-5y) (5) (-4k+3)(-4k-3) (6) (1-x)(-x-1)(7) (-x-1)(x+1) （设计意图：进一步揭示公式的结构特征，强化理解公式。）预设：学生自己总结归纳，两二项式中完全一样的那项为a，互为相反数的那项为b。2. 例1 利用平方差公式计算：(1)(3x+5y)(3x-5y) (2) (-3x+5y)(-3x-5y) (3) (5y+3x)(-5y+3x) (4) (3x-5y)(-3x-5y)【1、2教师板书，后两题选中等学生来板书，下面同学纠错并总结】（设计意图：达到灵活应用公式的目的。（3）（4）中容易将a和b弄反，通过纠错并总结加深印象，降低错误率。）再探公式： 总结步骤：练习： (5) (-4k+3)(-4k-3) (6) (1-x)(-x-1) 3.回到开头问题，揭示速算秘密：10298=（100+2）（100-2）=10000-4=9996例2 用平方差公式简便计算：（1）11298；（2）59.860.2 【学生黑板板书】（设计意图：首尾呼应，揭示了学习乘法公式的最终目的是为了简便计算。）四、总结反思 【小组讨论，展示收获，提出疑问】平方差公式：1.口诀：两数的和乘以两数的差等于这两个数的平方差。2.a与b可以正、可以负，可以为数字，也可以为式，可以是单项式也可以是多项式。3.规律：两二项式中相同的那项为a，互为相反数的两项的绝对值为b。4.可以用几何方法来证明乘法公式，数形结合的思想。（设计意图：学生通过分享学习过程中的挫折和经验，构建自己的知识体系，同时提出存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的。）五、拓展提高：【展示的小动画】师:你见过“多米弄骨牌”吗？今天老师就开展示一下数学中的“多米弄骨牌”。例4 用平方差公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1分析：直接算很麻烦，借“力”在算式前乘以（21），即1，原算式的值不变，而整个算式能用平方差公式计算解答过程如下： 原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（221）（22+1）（24+1）（28+1）+1=216练习：仿照上述方法计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）的值。（设计意图：用多米弄骨牌制造悬念，再次激发学生学习热情，并通过动手计算巩固平方差公式的同时，展示了该公式的奇妙之处。）六、理解应用：【独立完成，教师巡视错误，同桌互查互纠】用平方差公式计算： (4)(xy)(yx)(x2 y)（设计意图：及时获知学生对新知掌握情况，学生自己及时反馈查漏补缺。）七、课后促学：必做题：作业本3.4乘法公式(1)。选做题：仔细观察，探索规律： （x1）（x+1）=x21 （x1）（x2+x+1）=x31 （x1）（x3+x2+x+1）=x41 （x1）（x4+x3+x2+x+1）=x51