附录几何命题描述.doc

第九章 附录:几何命题描述本附录详细介绍系统可以接受的几何命题的四种输入形式的具体定义。9.1 几何命题的代数形式Stat = pvs,mvs,ps,ds,CONC 其中pvs是命题中的自由变量表mvs是命题中的非自由变量表ps是代表命题中的等式形几何关系的多项式表ds是代表命题中的非等式形几何关系的多项式表CONC是命题的结论示例： ,x,x-1,x2-1其意义如下：决定以下代数命题是否正确（x-1=0） (x2-1=0).9.2 几何命题的谓词形式Stat = pvs,mvs,pts,ps,ds,CONC 其中Pvs是命题中的自由变量表Mvs是命题中的非自由变量表pts是命题中的点的表列ps是代表命题中的等式形的几何关系或几何谓词ds是代表命题中的非等式形的几何关系CONC是命题的结论 以下详细说明谓词及其表示的几何关系。首先我们说明在几何关系中用到的几何量及代数表达式 9.2.1 几何量与代数表达式 点是我们使用的唯一的基本几何对象。这里考虑的几何谓词都是关于点的。平面上的一个点用一个英文字母开头后跟数字、字母或下画线的一个长度最多为九的字符串。例如，A，B1，C_a1均为合法的点的表示法。面积area,A,B,C和area,A,B,C,D分别用来表示三角形ABC和四边形ABCD的带号面 积。所以我们有:area,A,B,C = area,B,C,A = area,C,A,B = -area,A,C,B= -area,C,B,A= -area,B,A,C;area,A,B,C,D = - area,C,B,A,D;勾股差三角形ABP和四边形ABPQ的勾股差分别定义为：pdiff,A,B P = (AB)2 + (BP)2- (PA)2。pdiff,A,B,P,Q = (AB)2 -(BP)2 + (PQ)2 - (QA)2。比例设A,B,P,Q是四个点，满足A,B,P,Q共线或AB/PQ。我们定义 ratio,A,B,P,Q 为有向线段AB与PQ的比值。所以有ratio,A,B,P,Q = - ratio,B,A,P,Q = ratio,B,A,Q,P = - ratio,A,B,Q,P。向量平面上从原点到点A的向量用 vec,A 来表示。vec,A,B = vec,B vec,A。全角直线AB与直线PQ形成的全角用 angle,A,B,P,Q表示。距离平方两点A,B的距离平方用sqdis,A,B表示。交比向量AB与PQ的交比用cratio,A,B,P,Q表示。cratio,A,B,P,Q = cratio,P,A,P,B cratio,Q,B,Q,A。有向弦圆上两点A与B之间的有向弦用chord,A,B表示。这个几何量仅用在作图法“圆”的消点过程中。三角函数在关于作图法“圆”的消点过程中，我们使用了以下四个三角函数：(sin A B), (cos A B), (sinA)和(cos A)。变量任何由字符、数字、符号和, 构成的字符串均作为变量。例如，r,w,a1,等均为变量。点的坐标点的坐标可以由用户指定也可以由软件自动生成。有两种类型的坐标。在证明中，一种坐标表为x1,x2,x3,，另一种坐标表示为u1,u2,u3,。代数表达式一个代数表达式是一个由几何量、变量、点的坐标及整数用算符，*，(，及)连接而成的表达式。两个几何量间的空格被当作乘号。例: r r + 1, rr +1, r + (比例 A B C D1)*s*(1+r)+2 均为合法的代数表达式。注意第一个表达式与r2+1是相同的表达式，但它不与第二个表达式相同。第二个表达式中的rr是一个变量，而不是r与r的乘积。9.2.2 几何谓词二维情形：设Pi=xi,yi, i = 1,2, ,为欧氏平面上的点。以下是我们要使用的几何关系。对于每一个几何关系，我们还将给出其等价的几何不变量形式或坐标形式。也就是说每一个几何关系都能转化成相应的代数多项式。coll或 COLL,P1 ,P2 ,P3 ： P1, P2, P3三点共线几何不变量形式：area P1 ,P2 ,P3 = 0。坐标形式：(x1-x2)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y2)para或 PARA,P1 ,P2 ,P3 ,P4: (P1=P2) 或 (P3=P4) 或 (共线 P1 P2 P3 P4) 或 (P1P2 / P3P4) 几何不变量形式：area P1 , P3 , P2 ,P4 = 0。坐标形式：(x1-x2)*(y3-y4)-(x3-x4)*(y1-y2) 注：这里的两线平行的概念包含了许多的特殊情形。当P1P2或 (P3=P4)及P1、P2、P3、P4共线时我们也称P1P2，P3P4平行。这样作的目的是为了得到简洁的代数表达式。perp或 PERP,P1 ,P2 ,P3 ,P4: (P1=P2) 或 (P3=P4) 或 (P1P2 P3P4) 坐标形式：(x1-x2)*(x3-x4)+(y3-y4)*(y1-y2) cong或 CONG,P1 ,P2 ,P3 ,P4: 线段P1P2与P3P4全等。几何不变量形式：sqdis,P1 ,P2=sqdis,P3 ,P4。坐标形式：(x1-x2)2+(y1-y2)2-(x3-x4)2-(y3-y4)2acong或 ACONG,P1 ,P2 ,P3 ,P4: 全角P2P1P3与全角P3P1P4全等。几何不变量形式:tan(P2,P1,P3)=tan(P3,P1,P4)或 coll,P1,P2,P3*perp,P1,P3,P1,P4= coll,P1,P3,P4*perp,P1,P2,P1,P3eqtang或 EQTANG,P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5 ,P6： 全角P1P2P3与全角P4P5P6全等。几何不变量形式: tan(P1P2P3)=tan(P4P5P6)或 coll,P2,P1,P3*perp,P5,P4,P5,P6 = coll,P5,P4,P6*perp,P2,P1,P2,P3tangent或 TANGENT,P1 ,P2 ,P3 ,P4：(P圆 P1P2)与(P圆 P3P4)相切几何不变量形式：（sqdis,P1 ,P3 sqdis,P1 ,P2 sqdis,P3 ,P4）2 = 4*sqdis, P1 ,P2*sqdis,P3 ,P4 cir或 CIR,P1,P2,P3,P4: 四点P1, P2, P3, P4共圆几何不变量形式：eqtang,P1,P3,P2,P1,P4,P2midx或 MIDX, P1 ,P2 ,P3： 点P1是P2,P3在x轴上的中点坐标形式：2*x1 - x2 - x3 midy或 MIDY, P1 ,P2 ,P3： 点P1是P2,P3在y轴上的中点坐标形式：2*y1 - y2 - y3eq_prod或 EQ_PROD,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8: 线段长度关系为 |P1P2|*|P3P4|= |P1P2|*|P3P4|几何不变量形式：sqdis,P1,P2* sqdis,P1,P2 =sqdis,P5,P6*sqdis,P7,P8area,var,P1 ,P2 ,.,Pn：变元var是n-2个三角形的有向面积和 几何不变量形式： var=(area,P1,P2,P3+ area,P1,P2,P3+.+ area,P1,Pn-1,Pn)crat,var,P1,P2,P3,P4: 变元var是P1P2,P3P4的交比 坐标形式：var*(x4-x1)*(x2-x3)-(x3-x1)*(x2-x4)dis,P1,P2: 线段P1P2的平方距离 坐标形式：(x1-x2)2+(y1-y2)2dis,P1,P2,var: 变元var是线段P1P2的距离。如果没有var，则同dis,P1,P2 几何不变量形式： var2=sqdis,P1,P2 displ,P1,P2,P3,var: 变元var是点P1到直线P2P3的距离。 几何不变量形式： var2*sqdis,P2,P3=coll,P2,P3,P12 xrat, var, P1 ,P2 ,P3 ,P4： 变元var是四点x轴坐标之差的比率坐标形式：var*( x3-x4) (x1-x2) yrat, var, P1 ,P2 ,P3 ,P4： 变元var是四点y轴坐标之差的比率坐标形式：var*( y3-y4) (y1-y2)eqx,P1,P2 : P1,P2的x轴坐标相等坐标形式：X1-X2eqy,P1,P2 : P1,P2的y轴坐标相等坐标形式：y1-y2nminus,pol1,pol2,.,poln : pol1,pol2,.,poln 为多项式（一般由本文中谓词形式表示） 结果为pol1-（pol2+.+poln）nsum,pol1,pol2,.,poln : pol1,pol2,.,poln 同上，结果为pol1+pol2+.+poln nprod,pol1,pol2,.,poln : pol1,pol2,.,poln 同上，结果为pol1*pol2*.*poln npower,pol,n: pol为多项式, n 为正整数，结果为poln三维情形：设Vi=xi,yi,zi, i = 1,2, ,为欧氏空间上的点、向量或曲线。以下是我们要使用的几何关系。对于每一个几何关系，我们还将给出其等价的几何不变量形式或坐标形式。也就是说每一个几何关系都能转化成相应的代数多项式。向量的计算exprod,V1,V2 向量V1,V2的外积 , V1*V2 坐标形式: y1*z2-z1*y2,x2*z1-x1*z2,x1*y2-y1*x2inprod,V1,V2 向量V1,V2的内积 , V1.V2 坐标形式: x1*x2+y1*y2+z1*z2comprod,V1,V2,V3 向量V1,V2和V3的混合积 , V1.(V2*V3) 坐标形式:x1*(y2*z3-z2*y3)+y1*(x3*z2-x2*z3)+z1*(x2*y3-y2*x3)numprod,V1,p 向量V1和多项式p的数乘 , V1.p 坐标形式: x1*p,y1*p,z1*p vecplus,V1,V2,.,Vn 向量V1加向量V2,.,Vn , V1+V2+.+ Vn 坐标形式:x1+,.,+xn ,y1+,.,+yn ,z1+,.,+zn vecminus,V1,V2,.,Vn 向量V1减向量V2,.,Vn , V1-V2-.- Vn 坐标形式: x1-,.,-xn ,y1-,.,-yn ,z1-,.,-zn vecdiff,V1,ndefaut=1,vardefaut=0 向量V1关于变元var的第n阶导数坐标形式:Diff(x1,n,var),Diff(y1,n,var),Diff(z1,n,var)注： 函数Diff（v,n,var）返回v(变元或向量或多项式)关于变元var的第n阶导数vecneg,V1 向量V1的相反数 坐标形式:-x1,-y1,-z1向量的几何关系v_para,V1,V2 向量V1和V2平行 几何不变量形式：V1*V2=0v_perp,V1,V2 向量V1和V2垂直 几何不变量形式：V1.V2=0 cons_v,V1,V2,.,Vn 向量V1,V2,.,Vn都是常向量 几何不变量形式：Diff(V1)=,.,=Diff(Vn)=0cons_var,var2,.,varn 变元或多项式var2,.,varn都是常向量 几何不变量形式同上cons_dir,V1 向量V1方向固定 几何不变量形式：V1*V1=0v_norm,V1,var 变元var等于向量V1范数的平方 坐标形式: var-x12-y12-z12cons_len,V1 向量V1定长 坐标形式: x1*x1+ x1*x1+ x1*x1perp_fix_line,V1 向量V1垂直于给定的一条直线 几何不变量形式：wronskian(x1,y1,z1)=0注： para_fix_plane,V1 向量V1平行于给定的一个平面 同上co2_linear,V1,V2,V3 点V3在经过点V2平行于向量V1的直线上 几何不变量形式：V1*(V3-V2)=0fix_co2_linear,V1,V2 所有经过点V2平行于向量V1的直线过一定点几何不变量形式：wronskian(x1,y1,x1*y2-y1*x2)=wronskian(x1,z1,x1*z2-y1*x2)=wronskian(y1,z1,x1*z2-y1*y2)=0co3_linear,V1,V2,V3 点V1,V2和V3共线几何不变量形式：(V2-V1)*(V3-V1)=0fix_co3_linear,V1,V2 所有经过点V1和V2的直线过一定点 同 fix_co2_linear,V2-V1,V1co2_plane,V1,V2,V3 向量V3在经过向量V2以V1为法向量的平面上几何不变量形式：V1.(V3-V1)=0fix_co2_plane,V1,V2 所有经过向量V2以V1为法向量的平面过一定点几何不变量形式：wronskian(x1,y1,z1,x1*x2+y1*y2+z1*z2)=0 并且 perp_fix_line,V1!=0co3_plane,V1,V2,V3 向量V1,V2和V3平行于某个平面 几何不变量形式： V1.(V2*V3)=0fix_co3_plane,V1,V2 所有包含原点和点V1,V2的平面过一定点几何不变量形式：wronskian(y1*z2-z1*y2,-x1*z2+z1*x2,x1*y2-y1*x2)=0co4_plane,V1,V2,V3,V4 点V1,V2,V3和V4在同一平面上 同 co3_plane,V2-V1,V3-V1,V4-V1fix_co4_plane,V1,V2,V3 点V1,V2和 V3决定的平面过一定点 fix_co2_plane,V1*V2,V3 并且 perp_fix_line,V1*V2!=0angle,V1,V2,var 变元var等于向量V1和V2的内积坐标形式: var-x1*x2+y1*y2+z1*z2 fix_angle,V1 向量V1和给定的一个方向的夹角是个常数几何不变量形式：wronskian(y12+z12)*x1-x1*(y1*y1+z1*z1),(x12+z12)*y1-y1*(x1*x1+z1*z1),(x12+y12)*z1-z1*(x1*x1+y1*y1)=0diff,v或 poly,ndefaut=1,vardefaut=0 变元v或多项式poly关于变元var的第n阶导数。空间曲线的几何关系curve,V1,var1,var2,var3 变元var2 和var3分别是曲线V1的曲率和挠率， var1 是曲线V1的切向量的平方几何不变量形式：var1-z12-y12-x12=0, var13*var22-(V1*V1).(V1*V1)=0, var13*var22*var3-V1.(V1*V1)=0 curve_arc,V1,var1,var2 变元var2 和var3分别是以弧长为参数的曲线V1的曲率和挠率 几何不变量形式： var12-x12-y12-z12 =0 var12*var2-V1.(V1*V1)=0 curve_norm,V1 曲线V1的主法向量几何不变量形式：(V1.V1)*V1-(V1.V1)*V1curve_binorm,V1 曲线V1的次法向量 几何不变量形式：V1*curve_norm,V1fix_line,V1 曲线V1是一条直线 几何不变量形式：同cons_dir,V1fix_plane或 FIX_PLANE,V1 曲线V1在一个平面内 几何不变量形式：V1.(V1*V1)=0 或 wronskian(1,x1,y1,z1)=0fix_plane_o或 FIX_PLANE_O,V1 曲线V1在过原点的一个平面内 几何不变量形式：wronskian(x1,y1,z1)fix_sph或 FIX_SPHERE,V1 曲线V1在一个球面上几何不变量形式：wronskian(x1,y1,z1,x1*x1+y1*y1+z1*z1)=0 并且 wronskian(x1,y1,z1)!=0fix_helix或 FIX_HELIX,V1 曲线V1是螺旋型曲线 几何不变量形式：V1.(V1*V1)=0 xy_circle或 XY_CIRCLE,V1 曲线V1在xy平面上的投影是一个圆几何不变量形式：wronskian(1,x,y,x2+y2)=09.3 几何命题的构造形式构造型几何命题是几何命题的一种很自然的描述。其特点是用关于直线与圆的作图语句来描述一幅几何图形，然后再求证这一图形中的一个几何性质。这一证明几何定理的过程与我们平时证明几何定理过程也是相符的。一般讲，拿到一个几何定理，我们总是先画出其图形，然后再进一步分析证明。在给出这类几何命题的严格定义以前，我们先给出几个实例。对于大部分读者，也许只需浏览一下这些实例就可以用它来描述几何问题了。当然，遇到具体问题时还可以到本节来查找一些细节。9.3.1 示例例1 ABCD是一平行四边形。证明其两对角线AC，BD互相平分。这一几何命题的构造型描述如下：图1EXAMPLE parallelogram HYPOTHESES:point A, B, C;inter,D,pline,C,A,B,pline,A,B,C;inter,O,line,A,C,line,B,D;SHOW: midpoint,O,A,C。一个构造型几何命题由四部分构成:1“EXAMPLE”这一关键字表示一个构造型几何命题的开始。2 一个构造型几何命题的第二个符号是该命题的名字。3 命题的“假设”部分是若干几何构造语句。4最后是命题的结论。现在解释例1的假设与结论:作图语句 point A,B,C 作出三个点A、B、C。作图语句 inter,D,pline,C,A,B,pline,A,B,C 作出一个点D。这个点是通过点C而平行于直线AB的直线pline,C,A,B与通过点A而平行于直线BC的直线pline,A,B,C的交点。作图语句 inter,O,line,A,C,line,B,D 作出直线AC与直线BD的交点O。命题的结论是：O是线段AC的中点。例2 (垂心定理) 证明三角形的三条高相交于一点。该点称为这一三角形的垂心。这一几何命题的构造型描述如下：图 2EXAMPLE ORTHOCENTER HYPOTHESES:point,A,B,C;foot,D,A,B,C;foot,E,B,A,C;inter,F,line,D,A,line,E,B;inter,G,line,A,B,line,C,F;SHOW： perp,A,B,C,F.作图语句 point,A,B,C 作出三个点A、B、C。作图语句 foot,D,A,B,C 作出一个点D，D是从点A向直线BC所作垂线的垂足。作图语句 foot,E,B,A,C 作出一个点E，E是从点B向直线AC所作垂线的垂足。作图语句 inter,F,line,A,D,line,B,E 作出直线AD和直线BE的交点F。作图语句 inter,G,line,A,B,line,C,F 作出直线AB和直线CF的交点G。命题结论是：AB垂直于CF。例3 (Ceva定理) ABC是一个三角形，D是任意一点。直线DA，DB，DC交三角形三边BC，AC，AB于E，F，G。证明BE/EC CF/FA AG/GB = 1。这一几何命题的构造型描述如下：图 3EXAMPLE CevaHYPOTHESES:point,A,B,C,D;inter,E,line,A,D,line,C,B;inter,F,line,B,D,line,C,A;inter,G,line,C,D,line,A,B;SHOW:ratio,B,E,E,Cratio,C,F,F,Aratio,A,G,G,B = 1。作图语句 point,A,B,C,D 作出四个点A、B、C、D。作图语句 inter,E,line,A,D,line,C,B 作出直线AD和直线BC的交点E。作图语句 inter,F,line,B,D,line,C,A 作出直线BD和直线CA的交点F。作图语句 inter,G,line,C,D,line,A,B 作出直线CD和直线AB的交点G。命题结论是：BE/EC CF/FA AG/GB = 1。由上例知道，几何命题的结论可以是一个代数关系式。例4 （Pappus定理） 设A，B，C，与E，F，G分别为两直线上三点。P=AFBE, Q = AG EC, R = CFBG。证明P、Q、R三点共线。这一几何命题的构造型描述如下：图 4EXAMPLE PappusHYPOTHESES:point,A,B,E,F,R;inter,P,line,A,F,line,B,E;inter,C,line,A,B,line,F,R;inter,G,line,E,F,line,B,R;inter,Q,line,A,G,line,E,C;SHOW:coll,R,P,Q。作图语句point,A,B,E,F,R 作出五个点A、B、E、F、 R。作图语句 inter,P,line,A,F,line,B,E 作出L线AF与直线BE的交点P。作图语句 inter,C,line,A,B,line,F,R 作出直线AB与直线FR的交点C。作图语句 inter,G,line,E,F,line,B,R 作出直线EF与直线BR的交点G。作图语句 inter,Q,line,A,G,line,E,C 作出直线AG与直线EC的交点Q。命题的结论是：三点P、Q、R共线。例5 (Simson定理)。A，B，C，D为一圆(O)上四点。证明由D向ABC三边所作垂线之垂足共线。这一几何命题的构造型描述如下：图 5EXAMPLE Simson HYPOTHESES:point,A,B,C;ccenter,O,A,B,C;on,D,O,A;foot,E,D,A,B;foot,F,D,A,C;foot,G,D,B,C;SHOW:coll,E,F,G。作图语句 point,A,B,C作出三个自由点A、B、C。作图语句 ccenter,O,A,B,C 作出三角形ABC的外心O。作图语句 on,D,O,A 作出P圆(O,A)上一点D。作图语句 foot,E,D,A,B作出点D向直线AB所作的垂足E。作图语句 foot,F,D,A,C作出点D向直线AC所作的垂足F。作图语句 foot,G,D,B,C作出点D向直线BC所作的垂足G。命题的结论是：三点E、F、G共线。例6 (Feuerbach定理)。通过ABC三个中点的圆称为三角形的九点圆。证明三角形的九点圆与三角形的内切圆相切。这一几何命题的构造型描述如下：图 6EXAMPLE FeuerbachHYPOTHESES: point,A,B,I; incenter,C,A,B,I; foot,F,I,A,B; midpoint,C1,A,B; midpoint,A1,B,C; midpoint,B1,C,A; ccenter,N,B1,C1,A1; SHOW: tangent,I,F,N,A1.作图语句 point,A,B,I 作出三个点A、B、I。作图语句 incenter,C,A,B,I 作出一个点C，使得点I是三角形ABC的内心(或旁心)。作图语句 foot,F,I,A,B 作出一个点F。点F是从点I向AB所作的垂足。作图语句 midpoint,C1,A,B 作出一个点A1。点A1是线段BC的中点。作图语句 midpoint,A1,B,C 作出一个点B1。点B1是线段AC的中点。作图语句 midpoint,B1,C,A 作出一个点C1。点C1是线段AB的中点。作图语句 ccenter,N,B1,C1,A1 作出一个点N。点N是三角形B1C1A1外心。命题的结论是：以I为圆心过点F的圆与以N为圆心过点A1的圆相切。注： 通过点A1、B1、C1的圆称作三角形ABC的九点圆。因此，Feuerbach定理说明了一个三角形的内切圆、旁切圆和它的九点圆相切。9.3.2 点，线，圆点 点是我们使用的唯一的基本几何对象。其它的几何对象，如直线、圆、三角形等均表示为点的函数。平面上的一个点用一个英文字母开头后跟数字、字母或下画线的一个长度最多为九的字符串。例如，A，B1，C_a1均为合法的点的表示法，直线 下面列出GEX作图语句中所使用的直线:line,U,V 过点U和V的直线。pline,W,U,V过点W且与直线UV平行的直线。tline,W,U,V过点W且与直线UV垂直的直线。aline,U,V,P,Q,R是一条通过点U的直线。该直线与UV构成 的全角与全角 PQ,QR相等。圆我们使用三种圆:cir,O,U 一个以O为圆心且通过点U的圆。ccir,O,U,V 以O为圆心以UV为半径的圆。9.3.3 作图语句一个作图语句可以从一些已知的点作出一个新的点。例如，已知两个点则可以作它们的中点。对每一个作图语句，我们将给出其几何关系形式的定义，同时给出其非退化条件。非退化条件是为了保证作图语句能作出真正的点。例如，当我们作两线交点时，非退化条件就是这两线不能平行。以下分类列出作图语句：作自由点的语句作半自由点的语句作交点的语句作比值的语句作三角形的特殊点的语句作常数的语句自由点以下列出作自由点的作图语句：自由点 A B . H：作出自由点A，B，.，H。圆 A B . H：作出一个圆上的点A，B，.，H。注： 圆这一作图语句只能在面积方法和向量方法中使用。而且应该是除“自由点”语句外最先使用的语句。半自由点 以下列出作半自由点的作图语句：on,P,line,A,B: 在几何体o上取点P。具体有如下形式：在L线上取点on,P,line,A,B：在直线AB上取点P。几何关系形式：coll,P,A,B。非退化条件：A B。在P线上取点on,P,pline,A,B,C：在pline,A,B,C上取一点P。几何关系形式：PARA,P,A,B,C。非退化条件： BC在T线上取点on,P,pline,A,B,C：在tline,A,B,C上取一点P。几何关系形式：perp,P,A,B,C。非退化条件： B C在A线上取点on,Y,aline,A,B,P,Q,U：在aline,A,B,P,Q,U上取一点Y。几何关系形式：ccong,Y,A,B,P,Q,U。非退化条件：A B, P Q, Q U。在P圆上取点on,P,cir,A,B： 在圆cir,A,B上取一点P。几何关系形式：cong,P,A,B,A。非退化条件：AB在R圆上取点on,P,ccir,A,B,C：在圆ccir,A,B,C上取一点P。几何关系形式：cong,A,P,B,C。非退化条件：BC交点以下列出作交点的作图语句:L线与L线交点inter,Y,line,A,B,line,P,Q：作直线AB与PQ的交点。即，Y= line,A, Bline,P,Q。几何关系形式：coll,Y,A,B 且coll,Y,P,Q。非退化条件： AB不平行于PQ。L线与P线交点inter,Y,line,A,B,pline,P,Q,R：作line,A,B与pline,P,Q,R的交点。即，Y = line,A,Bpline,P,Q,R。几何关系形式：coll,Y,A,B 且PARA,Y,P,Q,R。非退化条件：AB不平行于QR。L线与T线交点inter,Y,line,A,B,tline,P,Q,R：作line,A,B与tline,P,Q,R的交点。即，Y = line,A,Btline,P,Q,R。几何关系形式：coll,Y,A,B 且 coll,Y,P,Q,R。非退化条件：AB不垂直于QR。P线与P线交点inter,Y,pline,A,B,C,pline,Q,U,V：作pline,A,B,C与pline,Q, U,V的交点。即， Y = pline,A,B,Cpline,Q,U,V。几何关系形式：PARA,Y,A,B,C且PARA,Y,Q,U,V。非退化条件：BC不平行于UV。P线与T线交点 inter,Y,pline,A,B,C,tline,Q,U,V：作pline,A,B,C与tline, Q, U,V的交点。即，Y = pline,A,B,Ctline,Q,U,V。几何关系形式：PARA,Y,A,B,C 且 perp,Y,Q,U,V。非退化条件：BC不垂直于UV。T线与T线交点 inter,Y,tline,A,B,C,tline,Q,U,V：作tline,A,B,C与tline, U,V的交点。即，Y = tline,A,B,Ctline,Q,U,V。几何关系形式：perp,Y,A,B,C 且 perp,Y,Q,U,V。非退化条件：BC不平行于UV。L线与P圆交点 inter,Y,line,A,B,cir,P,Q：作line,A,B与cir,P,Q的交点。即，Y = line,A,Bcir,P,Q。几何关系形式：coll,Y,A,B且cong,Y,P,Q,P。非退化条件：A B且P Q。P线与P圆交点 inter,Y,pline,A,B,P,cir,Q,U：作pline,A,B,P与cir,Q,U的交点。即，Y = pline,A,B,Pcir,Q,U。几何关系形式：PARA,Y,A,B,P且cong,Y,Q,U,Q。非退化条件：B P且Q U。T线与P圆交点 inter,Y,tline,A,B,P,cir,Q,U：作tline,A,B,P与cir,Q,U的交点。即，Y = tline,A,B,Pcir,Q,U。几何关系形式：perp,Y,A,B,P 且 cong,Y,Q,U,Q。非退化条件：B P且Q U。P圆与P圆交点 inter,Y,cir,A,B,cir,P,Q：作cir,A,B与cir,P,Q的交点。即，Y = cir,A,Bcir,P,Q。几何关系形式：cong,Y,A,B,A且 cong,Y,P,Q,P。非退化条件： A B且P Q。L线与R圆交点 inter,Y,line,A,B,ccir,P,Q,R：作line,A,B 与ccir,P,Q,R的交点。即Y = line,A,Bccir,P,Q,R。几何关系形式： coll,Y,A,B且cong,Y,P,Q,R。非退化条件：AB，QR。P圆与R圆交点 inter,Y,cir,A,B,ccir,P,Q,R： 作cir,A,B与ccir,P,Q,R的交点。即，Y = cir,A,Bccir,P,Q,R。几何关系形式：YAAB，YPQR非退化条件：AB， QR。R圆与R圆交点 inter,Y,ccir,A,B,C,ccir,P,Q,R： 作ccir,A,B,C与ccir,P,Q,R的交点。即，Y = ccir,A,B,Cccir,P,Q,R。几何关系形式：YABC，YPQR非退化条件：BC， QR。比例构造语句以下列出有关比值的作图语句：中点 midpoint,P,A,B：作出线段AB的中点P。几何关系形式：midpoint,P,A,B。对称点 sym,P,A,B：在直线AB上作出点B关于点A的对称点P。几何关系形式：midpoint,A,P,B。L比例 lratio,P,A,B,(e_1),（e_2）：作出直线AB上一点P,它使得ratio,A,P,A,B = e_1/e_2。其中e_1和e_2均为代数表达式。几何关系形式：coll,P,A,B 且ratio,A,P,A,B = e_1/e_2。非退化条件： A B。注：如果e_2=1,则可以省略e_2。这时本作图语句变成“L比例 P P1 P2 r”，它与作图语句“L比例 P P1 P2 (r) (1)”相同。此外，如果e_1和e_2都有，则我们需要使用括号把它们分别括起来。例如，“L比例 P P1 P2 r r”与“L比例 P P1 P2 (r2) (1)”是相同的，但与“L比例 P P1 P2 (r) (r)”不相同。M比例 mratio,P,A,B,(e_1),(e_2)：作出直线AB上一点P,它使得ratio,A,P,P,B = e_1/e_2。其中e_1和e_2均为代数表达式。几何关系形式：coll,P,A,B且ratio,A,P,P,B = e_1/e_2。非退化条件： A B。P比例 pratio,Y,A,B,C,(e_1),(e_2)：作出直线pline,A,B,C上一点Y,它使得ratio,A,Y,B,C = e_1/e_2。其中e_1和e_2均为代数表达式。几何关系形式：PARA,Y,A,B,C 且 ratio,A,Y,B,C = e_1/e_2。非退化条件：B P。T比例 tratio,Y,A,B,C,(e_1),(e_2)：作出直线tline,A,B,C上一点，它使得4SYBAC/PBCCB=YA/BC=e1/e2。其中e1和e2均为代数表达式。几何关系形式：perp,Y,A,B,C且4SYBAC/PBCCB=YA/BC=e1/e2。非退化条件：B C。反演点 inversion,Y,A,B,C：作出点A关于圆cir,B,C的反演点Y。几何关系形式：inversion,Y,A,B,C。非退化条件：B C。调和点 harmonic,Y,A,B,C：作出一点Y使得(YA,BC)形成一个调和对。几何关系形式：harmonic,Y,A,B,C。非退化条件： A B且B C。正向正方形psquare,P,A,B：作出一点P,使得PA = AB, PA AB，並且从PA到BA的方向是反时针方向。几何关系形式：perp,Y,A,A,B且4SPAB=PABBA。非退化条件：AB。反向正方形nsquare,P,A,B：作出一点P,使得PA = AB, PAAB，並且从PA到BA的方向是顺时针方向。几何关系形式：perp,P,A,A,B且4SPAB=-PABBA。非退化条件： A B。正三角形 petriang,P,A,B：作出一点P，使得PAB为一个等边三角形，且並且从PA到BA的方向是反时针方向。几何关系形式：cong,P,A,P,B且8SPAB=PABBA。非退化条件： A B。三角形的特殊点以下列出作三角形的特殊点的作图语句：垂足 foot,P,A,B,C：P是从点A向直线BC作的垂足.本作图语句与inter,P,line,B,C ,tline,A,B,C等效。重心 centroid,P,A,B,C：作三角形ABC的重心P。几何关系形式：3 * V(P) = V(A) + V(B) + V(C)。垂心 ocenter,P,A,B,C： 作三角形ABC的垂心P。本作图语句与inter,P,tline, B,C, A,tline,A,B,C等效。外心 ccenter,P,A,B,C：作三角形ABC的外心P。反内心 incenter,P,A,B,C：作点P使得C是三角形ABP的内心(或旁心)。几何关系形式：ccong,P,A,C,C,A,B 且ccong,P,B,C,C,B,A。非退化条件： AC 不垂直 CB。常数作常数的语句只有一条：常数 p(r)：其中p(r)是关于变量r的多项式。本作图语句作出一个满足p(r)=0的常数。在用复数证明定理时常用到这一语句。9.3.4 构造型几何命题构造序列 一个构造序列是一列由已知的点作出新点的作图语句的序列。任何一个构造序列都必须以作图命令“自由点”或“圆”开始。例如，point,A,B,C; inter,D,pline,C,A,B,pline,A,B,C;inter,O,line,A,C,line,B,D;是一个作图序列。而point,A,B; inter,D,pline,C,A,B,pline,A,B,C;inter,O,line,A,C,line,B,D;不是一个作图序列。这是因为第二个作图语句中的点C没有在前面某一个语句作出。8.3.1节中的所有例子的假设部分都是一个构造序列。构造型几何命题一个构造型几何命题具有以下形式：EXAMPLE NAMEHYPOTHESES:c1;c2;cn