回归分析在数模竞赛中的应用-3.doc

四、广义线性回归应用的实例下面看几个广义线性回归在数模竞赛中应用的实例。例9（2003年华东地区数模竞赛题）向量场问题有一个正方形的平面区域，在区域中的每一点上，都定义了一个向量，它们构成了一个向量场。现在已知其中个点上的向量数据，要求给出向量场的解析表达式。都是坐标点的函数，所以本题也就是要求两个函数表达式， 。 题目中给出了两个数据表。Table1中的数据点是整齐的网格点，向量值变化也很有规律，可以很容易地求出的表达式： ， 。 这是没有任何误差的精确表达式。Table2 中的数据点是散乱的，不是整齐的网格点。0.65540.44630.01290.08840.20100.83540.0220-0.14640.89360.52640.05010.21040.78000.2820-0.04010.0692从图像可以看出，Table2数据的函数图像与Table1数据的函数图像十分相似，大致上是一个下列形式的双曲抛物面函数： 。由于数据有一些误差，不能完全精确地满足上述方程，所以我们可以把它看作一个回归分析问题，的回归方程分别为： ， 。其中是待定未知常数。令，就可以把它们化为线性回归方程： ， 。 用计算机软件可以很方便地求出问题的解。我们求得： ， ， , ， ， ， 。所以的表达式为：， 。例10（1991年国际数模竞赛A题）估计箱水流量小镇上有一个高40英尺、底面直径57英尺的圆柱形水箱，每天向小镇上的居民供应生活用水。每隔一段时间测量一次水箱中的水位，测得数据如下（其中有两次水泵开动向水箱中加水的过程，在加水过程中没有水位记录）：编号时刻（秒）水位（0.01英尺）编号时刻（秒）水位（0.01英尺）103175154663633502331631101649953326036635305417539363167410619299418572543087513937294719605743012617921289220645542927721240285021685352842825223279522718542767928543275223750212697103228426972479254水泵开动1135932水泵开动2582649水泵开动1239332水泵开动2685968347513394353550278995333971443318344528932703340要求估计所有时刻（包括水泵开动期间）流出水箱的水流量的变化情况，并估计一天的总用水量。 这个问题的最困难之处是有两次水泵开动加水的过程，加水过程中加了多少水，因为加水使水位变化了多少，全都不知道。 为了简化问题，我们先不考虑加水过程，假定自始至终只有水流出，没有水加入。 设在时刻，水箱中水位为，水箱中的总水量为，其中，是水箱的底面直径。 在时刻，流出水箱的水流量 。反过来，则有 ， 。其中，是时的水位。 由于小镇上每天的用水情况周而复始，每天的流量变化几乎都是相同的，所以可以认为流量 是以一天时间 秒为周期的周期函数。我们知道，任何以 为周期的周期函数，都可以展开为下列形式的Fourier级数： 。 作为近似，我们取级数前面的这5项。对它积分后可得： 。 这是一个可以化为线性的广义线性回归方程。 令，上式就化为 ，用线性回归就可以求解。 以上是在不考虑加水过程的情况下得到的结果。下面我们进一步把加水过程考虑进去。设加水速度是均匀的，第一次加水和第二次加水过程中，水位上升的速度分别是两个未知常数和。第一次加水，相当于在水位函数式上加上一项，其中 。第二次加水，相当于在水位函数式上加上一项，其中 。 把两次加水过程考虑进去，回归方程成为 。令，上式就化为线性回归方程 。 用计算机软件可以求得未知参数的估计，。 把这些值代入回归方程，作出水位 随时间 变化的函数图像如下：从图像可以看出，用广义线性回归求出的回归方程函数曲线与观测值点符合得很好，回归效果是十分令人满意的。表达式中的水位 的变化，实际上包括两部分：一部分是由于小镇用水引起的水位的下降，一部分是由于水泵加水引起的水位的上升。从回归方程中去掉代表加水过程的两项： 和 ，就得到了在不考虑加水过程的情况下纯粹因为小镇用水引起水位 随时间 变化的函数表达式： 。再对它求导，就得到在不考虑加水过程的情况下流量随时间 变化的函数式： 。 流量随时间 变化的函数图像为要求出一天24小时即 秒的总用水量，可以将 和 代入（去掉加水过程的）水位 的函数式，求出一天开始时的水位和一天终了时的水位 ， ，水位之差是 。得到这么一个简单的结果，其实并不奇怪。因为，在水位 的函数表达式中，除了 以外，其他各项都是以一天时间 为周期的周期项，经过一个周期 以后，这些项的值又返回到了初始状态，前后一减，自然就消去了。然后，用下式就可以计算出一天的总用水量：（英尺）（加仑）（米） 。5 拟线性回归（Quasi-linear Regression）并不是任何回归问题都可以化为线性的，下面看一个例子。例11 炼钢炉的炉龄与产量对炼钢炉的炉龄 和产量 进行观测，得到下列数据：234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76 从下面的图像可以看出，产量 随着炉龄 的增大而增大，但它不会无限增大下去，而是逐渐趋于一个极限，所以，可以认为，与之间有下列关系： ，其中是未知常数。 这个回归方程，虽然与线性回归方程很相似，但是却无法用变量代换化为线性。 类似的情形还有很多，例如： ， ， ，等等，像这样的回归，就称为拟线性回归。 拟线性回归的一般形式为： 设自变量 与因变量 之间，有下列关系： ，其中 是未知常数，是形式已知的函数，含有一个未知参数， 是表示误差的随机变量， 。对 ， 进行 次观测，得到观测值： ， 。求 的估计 ，使得下式达到最小： 。 是 的函数，所以，这是一个多元函数求最小值的问题，我们可以通过求偏导数、解下列方程组的方法，来确定 的最小值点: 从这个方程组中消去 ，得到一个只含有 的方程 。 是一个复杂的一元方程，无法用解析方法求精确解，但是可以用数值方法求近似解。例如可以用“两分法”求解。 先用试探的方法找到两个值和，使得和的符号恰好是一正一负，然后看区间 中点上的函数值 ：如果 与 正负异号，则将