初中数学分类讨论教学研究.doc

初中数学分类讨论教学研究南汇区澧溪中学 张炜内容提要：初中数学中的分类讨论问题是近年来中考的热点内容之一。它是教学的难点，怎样在教学中实施分类讨论问题的教学？这是许多教师都在研究的课题。本文从抓住分类讨论的动因与讨论的方法入手，讲述了怎样在初中数学教学中实施分类讨论问题的教学。有关初中数学中分类讨论的动因本文归纳了以下几个方面：由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论；由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论；由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。知道了分类讨论的动因，可以得出分类讨论的方法。其中由于问题涉及到分类讨论思想的概念而需要对其进行分类讨论是最重要的分类讨论思想。在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一。要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力。分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，原因大多数是没有掌握好初中数学中的分类讨论思想。那么，怎样才能使学生掌握好初中数学中的分类讨论思想呢？明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类时要条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏。这是解答初中数学中分类讨论问题的基本方法。在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法。运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法，就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题就严密完整、叙述就条理分明。在初中数学中，有关涉及到分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂。这类问题有没有一种共性？解此类题目有没有一种切实可行的方法？实际上，初中数学中涉及到分类讨论的问题大多是以下四种情形的分类讨论，掌握好以下四种情形的分类讨论，学生就能知道分类讨论问题并不怎么神秘，当碰到问题时基本上能够抓住分类讨论的动因从容应答了。(说明：本文为叙述方便，把一些分情况讨论的问题也作为分类讨论问题。)一、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。在教学中，要让学生对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握。首先，教师应对初中数学中的概念有全面、系统、完整的认识，尤其是涉及到分类讨论思想的概念。在初中数学中的一些概念中，有许多概念涉及到分类讨论思想，作为一名初中数学教师更应对这些概念有正确、深入、透彻的理解，在讲授这些概念时要准确、科学，不能含糊不清或图一时的省力而随意篡改这些概念。曾听说过这样一个事例：某教师在讲授绝对值这一概念时，图一时的省力，教学生求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：|3|=3；|-0.5|=0.5；。 结果出现了象a=a这样的错解。究其原因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一概念的有了一个错误的认识：求绝对值只要去掉绝对值里面的负号。把学生引入歧途，害人不浅。实际上，绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也就是: a ( a0)|a| = 0 ( a = 0 ) -a ( a6时，O1与O2必有公共点；(D) 当O1O21时，O1与O2至少有两条公切线。(上海市2001年中考18题)运用以上提到的记忆两圆位置关系的方法就能迅速、准确的判断出四个选项中两圆的位置关系：(A) 内切；(B) 相交；(C) 相交、外切或外离；(D) 相交、外切或外离。这样问题也就迎刃而解，得正确答案：(ABD) 。在讲授一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式时，我们都知道要适当增加一些变式训练，及时反馈教学信息，以帮助学生牢固掌握一元二次方程根的判别式的三种分类情况：0一元二次方程有两个不相等的实数根；=0一元二次方程有两个相等的实数根；0，即k2时，有两个交点(-l，0) 、(1/(1-k) ，0) ；=0，即k=2时，有一个交点(-1，0) ；0，即(k-2)20，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为(-1，0) ；k1且k2时，与x轴交点为(-1、0) 、(1/(1-k) ，0) ；k=2时，与x轴交点为(-1，0) 。又如：如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有_个。(上海市1999年中考填空题第19题)A D EB C F本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：(1) 绕点C旋转，有一解；(2) 绕点D旋转，有一解；(3) 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点。这样就得出了本题的正确答案：有3个。由以上两例，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在教学中应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真审题的习惯。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。三、由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。例如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x (k0) (1) k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？(2) 设(1) 中的两个交点为M、N，试比较MON与90的大小。(外省市中考题)本题第(1)小题求得k16且k0；在解第(2) 小题时，由于0k16或k0这两种取值所得反比例函数的图像有两种情况，因此要根据参变量k的不同取值进行分类讨论。0k16时，两个交点在第一象限，MON90；k90。数学本身的产生与发展充满了朴素的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基本规律，如量变到质变等。本类分类讨论问题就是揭示了唯物辩证法中的量变到质变这一基本规律。在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统的分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维基础上的，教学中要注意培养学生一丝不苟的学习精神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的观点，充分发挥学生的聪明才智。四、由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。例如：已知一次函数y=-3x/3+33与x轴、y轴交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。（崇明县2002年中考模拟题）本题中PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB是等腰三角形有几种可能呢？我们可以按腰的可能情况加以分类：(1)PA=PB；(2)PA=AB；(3)PB=AB。先可以求出B点坐标(0，33) ，A点坐标(9，0) ，设P点坐标为(x，0) ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解：(-9，0) 、(3，0) 、(9+63，0) 、(9-63，0) 。（不合条件的答案已舍去）又如：半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16，求圆心距。(外省市中考题)本题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。实际上本题的图形是不确定的，有两种可能：(1) 两个圆心分别在公共弦的两侧；(2) 两个圆心在公共弦的同侧。分类画出图形，利用勾股定理，可分别解得圆心距为21或9。正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形。画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力。初中数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的分类讨论。抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。自觉地重视和加强分类讨