电磁场电磁波期末复习题.doc

1-5 设标量，矢量，试求标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数。解 已知梯度那么，在点处F 的梯度为因此，标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数为1-8 若标量函数为试求在点处的梯度。解 已知梯度，将标量函数F代入得再将P点的坐标代入，求得标量函数F 在P点处的梯度为1-22 已知圆球坐标系中矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，eq，ef均为变矢，所以不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为将矢量A的各个分量代入，求得。矢量A的旋度为利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，求得该矢量在直角坐标下的表达式为利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系求得其在圆柱坐标下的表达式为。1-23 若标量函数，试求，及。解 1-24 若 试求，及。解 ；（此处利用了习题26中的公式） ；将矢量的各个坐标分量代入上式，求得2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-7xyzProadly解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生的合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为2-10 已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求及区域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷，在x 0区域中产生的电场强度。位于x = 1平面内的无限大面电荷，在x 1区域中产生的电场强度。由电场强度法向边界条件获知，即由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为2-17 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图2-17obaPrdro解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量， 再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18 已知介质圆柱体的半径为a，长度为l，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为，试求介质中束缚xyza习题图2-18Ply电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。解 建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为的圆盘在其轴线上的电场强度为因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域中的电场强度。解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E习题图2-20E2en2en1解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得；已知，那么由上式求得已知介质表面的束缚电荷，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为2-28 一平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为。试求： 接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能； 断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。dl/2KVl/2ee 0习题图2-28解接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外的电场强度是相等的，即电场强度为。但是介质内外的电通密度不等，介质内，介质外。两部分极板表面自由电荷面密度分别为，电容器的电量电容量为电容器储能为若接上电压时，移去介质，那么电容器中的电场强度为电通密度为极板表面自由电荷面密度为电容器的电量为电容量为电容器的储能为断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量不变，电场强度为电通密度为 极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为电容量为电容器的储能为 xozybajc习题图3-213-21 已知长方体金属腔的内部尺寸为，如习题图3-21所示。若侧壁及底板均接地，上盖电位为j，试求腔内的电位分布函数。解 已知直角坐标系中电位函数满足的拉普拉斯方程为应用分离变量法，令求得 ； ； 式中 。为了满足和的边界条件，X(x)必须为正弦函数，即式中。为了满足和的边界条件，Y(x)也必须为正弦函数，即式中。由此求得为了满足和的边界条件，Z(z)只能是双曲正弦函数，故其级数解为因，得式中利用正弦函数的正交性，当n = s，m = t时，上式右边积分才不为零。另由上式左边可知，只有当和都为奇数时，才不为零，因此令，则最后求得4-2 设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b，填充媒质的电导率为。根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。解 设。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为求得同轴线中的电位及电场强度分别为则单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为那么，单位长度内同轴线的漏电导为4-5 已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。试求与两个表面之间的电阻。YXdabfr(r,f)0习题图4-5解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为该方程的解为令求得常数。那么，电场强度为电流密度为电流强度为由此求得两个表面之间的电阻为4-6 若两个同心的球形金属壳的半径为及，球壳之间填充媒质的电导率，试求两球壳之间的电阻。解 对于恒定电流场，因，可令。将其代入，得建立球坐标系，上式展开为该方程的解为那么，求得电流密度为两球壳之间的电流为两球壳之间的恒定电场为两球壳之间的电位差为求得两球壳之间的电阻为yz-w/2w/2IodxJxP5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求处的磁感应强度。dyyzyo习题图5-8(a)习题图5-8(b)解 宽度为，面密度为的面电流可看作为线电流，其在P点产生的磁场为 由对称性可知，z方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b）所示，则 YZPah0IX习题图5-9因此，在处的磁感应强度为zzdr05-10 当半径为a的均匀带电圆盘的电荷面密度为，若圆盘绕其轴线以角速度旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。解 如习题图 5-10所示，将圆盘分割成很多宽度为的载流圆环dI，它在处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知因为习题图5-10因此5-18 已知均匀绕制的长螺线管的匝数为N，长度为L，半径为a，电流为I，如习题图5-18(a)所示。试求： 螺线管内部中点o处的磁感应强度；orRxzyPIdl习题图5-18(b)f 螺线管外部P点的磁感应强度，图中。PoNL2ad习题图5-18(a)解 螺线管可看作是线密度为的圆柱面电流，如图习题图5-18(b)所示。由题5-9的结果得知，电流为的电流环在中点o处产生的磁感应强度为那么，螺线管在中点o处产生的总磁感应强度为 为了计算螺线管外的场强，可将螺线管看作为由N个同轴电流环组成。已知在xoy平面内，单个电流环I在点产生的矢量磁位为 式中，。考虑到，那么因此 当电流环位于xoy平面时，r = d，那么，在处产生的磁感应强度为考虑到，对于P点而言，可以认为每个电流环均处于xoy平面内。因此，P点磁感应强度增加N倍，即XI2xa cdbdxdsm0YI106-2 一个面积为的矩形线圈位于双导线之间，位置如习题图6-2所示。两导线中电流方向始终相反，其变化规律为，试求线圈中感应电动势。习题图6-2解 建立的坐标如图6-2所示。在内，两导线产生的磁感应强度为则穿过回路的磁通量为则线圈中的感应电动势为6-3 设带有滑条AB的两根平行导线的终端并联电阻，导线间距为0.2m，如习题图6-3所示。若正弦电磁场垂直穿过该回路，当滑条AB的位置以规律变化时，试求回路中的感应电oRBxyBA0.2m习题图6-3流。解 建立的坐标如图6-3所示。令并联电阻位于处，在t时刻回路的磁通量为那么，回路中的感应电动势为因此回路中的感应电流为zA0BadaI6-5 两个半径均为的圆环导线沿Z轴同轴地放置，如习题图6-5所示。若线圈A中通过恒定电流I，线圈B以速度v向正Z方向运动，且间距，试证线圈B中的感应电动势为 习题图6-5解 线圈A在线圈B处产生的磁感应强度为因为，可以认为线圈B处于位置，则线圈B内的磁感应强度为穿过线圈B的磁通量为则线圈B中的感应电动势为由于，那么考虑到，求得6-8 若无限长直导线与边长为a 的等边三角形线框平行放置，电流方向如习题图6-8所示。计算直导线与三角形线框之间的互感。解 建立的直角坐标如图6-8所示，令长直导线位于z轴。那么，无限长z向电流在平面内y 0区域中产生的磁感应强度为B1产生的磁通与线框电流交链的磁通链为因此，直导线与线框之间的互感为6-12 若宽度为w的无限长带状电流与无限长线电流平行放置，如习题图6-12所示。若带状电流密度，线电流为I，试求两者之间的作用力。解 已知无限长线电流产生的磁感应强度为 将无限长的带状电流分为很多宽度为dx，长度为无限长的条形电流，这些条形电流强度为JS0dx。那么，根据题6-11结果，线电流对位于x处的反向条形电流的斥力为由对称关系可知，x方向上的合力为零。那么，两者之间的作用力为即7-4 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解 由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流，则位移电流为，求得e1m1s1e2m2s2d1d2V习题图7-87-8 若平板电容器中填充两层媒质，第一层媒质厚度为d1，第二层媒质厚度为d2，极板面积为S，电容器的外加电压，试求两种媒质参数分别为下列两种情况时：； 。；。电容器中的电场强度，损耗功率及储能。解 设两种媒质中的电场强度分别为和，由于两种媒质均为非理想介质，则电容器中将有传导电流，且其在两媒质的分界面上应该连续，即，而，则有：即得，损耗功率为系统的储能为当时，则电容器中传导电流中断，媒质中存在位移电流，两媒质之间的分界面上逐渐积累表面电荷，最后导致媒质中的电场为零。此时，。损耗功率为零，系统能量仅储藏在媒质中，即。7-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。解 由，可得其复值为因真空中传导电流为零，得即能量密度的平均值能流密度的平均值7-14 已知真空中时变电磁场的电场强度在球坐标系中的瞬时值为式中，试求磁场强度的复数形式、储能密度及能流密度的平均值。解 由获知电场的复数形式为同理由，得 那么，储能密度及能流密度的平均值分别为8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为(A/m)试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及