机械优化设计讲义.doc

机械优化设计理论与方法多媒体教学系统主讲：黄文权2005.02.第一章 基本概念与理论基础 主要内容： 1 优化设计的基本思想 2 优化设计的应用及发展概况 3 优化设计数学模型、基本术语 4 优化设计理论的数学基础 5 优化设计的求解方法及其收敛判定条件 要求： 1 掌握优化设计的基本思想、 数学模型、基本术语、一般过程、求解方法及收敛判定条件、数学基础 2 了解优化设计的应用及发展概况1.1 优化设计概述 优化设计(Optimal Design)是20世纪60年代发展起来的一门新学科，将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供的一种重要的科学设计方法，是现代设计理论和方法的一个重要领域。 设计原则：参数(过程)最优设计 设计手段：计算机及其程序 设计方法：最优化数学方法 设计内容：物理模型-数学模型-数学模型求解 1.1.1 机械优化设计基本思想一 设计过程图1-1 机械产品设计过程二 传统设计到优化设计 1 传统设计 方法：参照相同或相似产品进行估算、经验类比或试验分析 准则：安全-寿命设计；破损-安全设计 过程：主要由人工完成图1-2 传统设计计算方法 2 机械优化设计 方法：建立产品优化模型并在约束条件下应用最优化方法求最优解 准则：单(多)目标最优化 过程：主要由计算机完成图1-3 优化设计计算方法三 优化设计基本思想 根据机械设计的一般理论、方法以及设计规范和行业标准等，把工程设计问题按照具体要求建立一个能体现设计问题的数学模型，然后采用最优化技术与计算机计算技术自动找出它的最优方案，使问题的解决在某种意义上达到无可争议的完善化。 即在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值，解决设计方案参数的最佳选择问题。四 优化设计过程 1 优化设计过程图1-4 优化设计过程 2 优化设计过程应用图1-5 优化设计过程应用1.1.2 优化设计发展状况一 优化设计方法学 以数学规划、数值解法为理论基础，计算机技术和计算技术为手段，结合设计方法学，逐步发展成为一门新兴学科。 1 优化数学理论与设计方法的结合 2 优化设计模型研究：模型可靠性、稳健性、实用性，收敛性 3 新的优化方法研究：模糊优化、稳健优化、离散优化 4 广义优化设计方法研究及与CAD的融合二 优化设计的应用 1 机构优化设计 2 通用零部件、整机、系统的优化设计 3 CAD系统引入优化设计1.1.3 本课程主要内容一 优化设计基本思想和基本概念二 优化设计的数学基础三 无约束优化方法的原理、算法及程序实现四 约束优化方法的原理、算法及程序实现五 机械优化设计应用1.2 优化设计数学模型的建立1.2.1 引例一 四杆机构优化设计 如图1-6所示，要求在给定初始位置和机架长度的条件下，当曲柄AB从初始位置转动90度时，摇杆摆角最优的实现运动规律：。图1-6 四杆机构优化设计 设计过程 1 设计参数：x2,x3(x1,x4已知） 2 目标函数：期望值与实际输出值平方误差最小 3 约束条件：二 减速器优化设计 如图1-7所示，给定传递的功率P、总传动比i和输出的转数n减速器，要求在满足强度条件下，使其体积最小。图1-7 二级齿轮减速器优化设计设计过程 1 设计参数：z1,z3,iI,mn1,mn2,(z2,z4,iII可由关系导出） 2 目标函数：保证中心距A最小 3 约束条件：1.2.2 基本术语一 设计变量与设计空间 1 设计常量（预定参数或给定参数）：根据实际情况预先确定了数值的参数，在优化设计过程中始终保持不变。 2 设计变量：保在设计中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，在优化设计过程中是变化的，一般有取值范围限制。包含连续型和离散型两大类。 3 维数：设计变量的数目，n=1,2,3,. 4 设计变量的表示：将所有设计变量表示为列（行）向量，其分量代表每一个设计变量,即设计向量，不同的设计向量代表不同的设计方案。 4 设计空间（解空间）：由设计向量确定的欧氏实空间，以表示，如图1-8所示。 优化设计就是在解空间中寻求最优解向量。 a)二维设计平面 b)三维设计空间 c)求解过程图1-8 设计空间（解空间）二 目标函数 1 目标函数（评价函数）：设计中预期要达到的目标（最优指标），一般表达为各设计变量的函数表达式。 优化设计就是在解空间中寻求具有目标函数极值的最优解向量。 单目标函数： 多目标函数： 2 目标函数值的几何表示：用（n+1）维空间表示n维设计变量的函数值。图1-9 目标函数与设计变量之间的函数关系 3 等值线簇（二维），等值面簇（三维），超越曲面（三维以上）：由具有相同目标函数值的设计点构成，即 图1-10 二维目标函数等值线与三维线性目标函数等值面三 设计约束1 设计约束（约束条件）： 对设计变量取值的限制条件，一般以约束函数的形式出现。 优化设计就是在设计约束的限制下寻求解空间中具有全局（局部）目标函数极值的最优解向量。 2 约束分类 （1）按表现形式：等式约束和不等式约束 等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n，否则只有唯一解或0解，不符合优化设计思想。 （2）按约束性质：边界约束（区域约束）和性能约束 区域约束是直接限定设计变量的取值范围。 性能约束是由某些必须满足的设计性能要求推导出来的约束条件。 3 设计可行域与非可行域 满足所有不等式约束条件和（或）等式约束的设计区域作为设计可行域，否则作为非可行域，可行域一般记作 内点：可行域内的设计点，代表一个可以采用的设计方案。 外点：非可行域内的设计点，代表一个不允许采用的设计方案。 边界点：处于约束边界上的设计点，一般有可能是最优点。图1-11 二维问题的可行域1.2.3 优化设计的数学模型及分类一 优化设计数学模型的一般表达式 在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值达到最小（或最大），其数学表达式一般为 -n维欧氏实空间，即设计空间 s.t.-subject to,即“受约束于”二 优化设计数学模型的分类 不同类型的数学模型都有其特定的求解方法优化设计方法，对优化方法的须根据模型类型正确选用。 1 按数学模型中设计变量和参数的性质分类 确定型模型：设计变量和参数的取值均为确定的数 随机模型：某些设计变量或参数具有随机性或必须考虑它们的概率分布性质而建立的数学模型 2 按目标函数和约束函数的性质分类 线性规划问题：目标函数f(x)和约束函数gu(x)都是设计变量的线性函数 非线性规划问题：目标函数f(x)和约束函数gu(x)任一个是设计变量的非线性函数，最基本的是二次规划问题。 3 按数学模型中目标函数个数、设计变量和约束条件数量的分类 单目标和多目标优化问题 无约束优化（m=p=0）和约束优化设计问题 小型（n,m,p=10)、中型（10n,m,p50）优化设计问题。1.2.4 优化设计方法图1-12 优化设计方法1.3 优化设计的一般过程及其几何解释1.3.1 一般过程 优化设计的全过程一般可概括为： 1 建立优化设计的数学模型（重点和难点）； 2 选择适合的优化方法（重点）； 3 确定必要的数据和设计初始点； 4 编写计算机的语言程序（重点）； 5 通过计算机求解并输出计算结果； 6 最后对结果数据进行必要的分析。1.3.2 几何解释 立体图 设计空间关系图图1-12 二维非线性优化问题的几何解释图1-13 极值点所处不同位置的几何解释1.4 优化设计的数学基础1.4.1 目标函数与约束函数的某些基本性质一 等值曲面(线） 可计算函数具有相同函数值的无限多个设计点在设计空间中组合成一个点集，称此点集为等值曲面（二维为等值曲线），即椭圆抛物面 等值线正定二次函数一般函数等值线 有鞍点函数等值线高次非线性函数图1-13 函数等值线 等值线特点： 1 定性描述函数值变化规律 2 内层等值线较外层等值线函数值更小 3 等值线疏密程度反映函数值的变化率大小，愈密变化值愈大 4 定性描述函数极小点位置 函数性态：指函数等值线形状，椭圆，严重偏心和扭曲二 方向导数、梯度及函数值最速下降方向 1 多元函数一阶偏导数：表示连续可微 多元函数在点沿各坐标轴 （设计变量）方向的变化率大小 2 方向导数：表示沿连续可微多元函数沿任一方向矢量的 函数值变化率大小图1-14 多元函数方向导数 沿任一方向的 方向导数（函数值变化率）的向量表示：引入：,则： 3 梯度（向量）：表示连续可微多元函数在某点函数值的最大变化率方向,负梯度方向代表了目标函数值的最速下降方向，而梯度的模表示变化率的大小,方向导数大小等于梯度在该方向的投影大小。 4 梯度性质及函数值最速下降方向 I 局部性 II 梯度向量与过的等值线的切线正交 III 某点负梯度向量方向是函数在该点的最速下降方向图1-15 梯度几何意义三 多元函数的近似表达式-泰勒展开 研究函数局部性质和算法时，在保证足够精度的前提下，为简化问题，将原目标函数在讨论点处展开成泰勒多项式。具有局部性质。 1 一元函数泰勒展开：若f(x)在包含x0的开区间（a，b）具有（n+1）阶导数，则： 2 多元函数泰勒展开 n元函数矩阵表示： n*n对称Hessian矩阵 多元函数二次泰勒展开矩阵表示标准形式： 图1-16 函数的泰勒近似 四 多元二次函数的向量矩阵表示及梯度计算 1 多元函数向量矩阵表示 2 常用函数梯度计算 五 函数凸性 根据函数凸性可判定是全局最优还是相对最优，优化设计目标是全局最优。 1 凸集 凸集 非凸集图1-17 凸集（二维）概念 2 凸集性质:线性运算封闭（数乘、加法） 2 凸函数（单峰函数）：具有凸性或全局最优解的函数 图1-18 一维凸函数几何意义 3 凸函数基本性质（线性运算封闭） 4 函数凸性（单峰性）判断证明过程参见刘惟信教材 六 约束函数集合 约束函数所确定的可行域性质（凸性）将直接影响优化结果。 1 约束函数集合 凸集 非凸集 非凸集图1-19 约束函数集合 2 适时约束（起作用约束） 等式约束都是适时约束。 由于约束最优点一般在适时约束上，可以把这个最优解看成是略去非适时约束，而把全部适时约束当作等式约束来求局部极小值，即可得全局极小值。1.4.2 优化设计问题的最优解及其极值条件一 优化设计问题的最优解 1 约束最优解：在满足约束条件下使目标函数达到最小值的解。 2 无约束最优解：在不受任何约束条件下使目标函数达到最小值的解。 图1-20 优化问题的最优解 非凸目标函数 非凸约束函数 图1-21 非凸函数优化问题的极小值 二 无约束优化设计问题的极值条件 一维函数 二维函数（极小值） 二维函数（鞍点） 图1-22 函数极值 无约束极值必要条件： 无约束极值充分条件： 无约束极值充要条件： 三 等式约束优化设计问题的极值条件 目标：将约束优化问题转化为无约束优化问题来求解 1 消元法（实际求解困难） 2 拉格朗日乘子法（理论推导及应用） 四 不等式约束优化设计问题的极值条件 目标：将约束优化问题转化为无约束优化问题来求解 1 库恩-塔克（Kuhn-Tucker,K-T)条件推导过程见孙靖民教材 2 K-T条件的几何意义 不是约束最优 是约束最优 图1-23 K-T几何意义 3 约束优化设计问题的全局最优充要条件 (1)目标函数和约束函数为凸函数； (2)满足K-T条件。 P-最小点 Q-非最小点 图1-24 约束优化的最优解条件1.5 优化设计问题的数值解及其收敛条件一 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式 1 基本思想：从某一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S和适当的步长a，从而到达一个新点，即图1-23 数值求解过程 2 基本过程 二 数值计算迭代法的终止准则 1 点列柯西收敛准则 2 终止准则 第二章 几种常用的无约束优化方法 主要内容： 1 搜索区间的确定方法 2 一维搜索最优化方法 黄金分割法 插值法 3 多维搜索最优化方法 坐标轮换法 一阶梯度法（最速下降法） 二阶梯度法（牛顿法） 共轭方向法和Powell法 共轭梯度法 变尺度法 4 各种无约束优化方法小结 要求： 1 掌握搜索区间的 进退算法和外推法；一维搜索的黄金分割法和插值法；多维搜索的一阶、二阶梯度法、Powell法、变尺度法 2 了解其他无约束优化方法的特点2.1 优化设计问题的求解策略一 求解策略图2-1 优化设计问题求解策略二 多维向一维搜索的转换图2-2 多维向一维搜索转换 1 一维最优化搜索沿给定方向达到极小值的过程，叫做一维最优化搜索。 2 一维最优化步长因子的解析解则： 3 一维最优化步长因子的数值解法 第一步：确定函数值最小点的所在区间（单峰区间） 第二步：迭代求解该区间内的最优步长因子值2.2 搜索区间的确定2.2.1 函数单峰区间 所谓单峰区间，即在该区间内的函数变化只有一个峰值，若在1，3区间内另取一点2，则当必有：函数呈现：高-低-高性态图2-3 单峰区间2.2.1 函数单峰区间的确定一 外推法 1 算法：从搜索区间端点以一定的步长通过函数值比较确定单峰区间。正向外推 反向外推图2-4 外推算法示意图图2-5 外推法确定搜索区间 2 框图图2-6 外推法流程图 3 步长的确定方法：初始步长取0.01，搜索步长倍增二 进退法 1 算法：从搜索区间中任取初始点和一定的步长通过函数值比较确定单峰区间。 2 流程及框图图2-7 进退法流程图2.3 一维搜索最优化方法2.3.1 黄金分割法（0.618法）一 区间消去原理 区间消去原理是在探索区间内，选取计算点计算函数值并进行比较，消去部分区间，以缩短探索区间。图2-8 区间消去原理二 黄金分割法 1 算法基本思想：采用等比例（=0.618）缩短搜索区间的直接搜索法图2-9 黄金分割法原理 迭代一般公式： 2 公比的确定 3 流程及框图图2-10 黄金分割法框图2.3.2 二次插值法一 基本思想二 算法原理 图2-11 二次插值法原理三 缩小区间图2-12 二次插值法区间缩减四 流程及框图图2-13 二次插值法流程图2.4 多维无约束优化方法2.4.1 多维无约束优化的基本思想一 基本思想 从某一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S和适当的步长，从而到达一个新点，即二 关键 1 多维向一维转换过程中搜索方向S的确定 2 搜索方向确定后该方向的极值求解（一维搜索中最优步长因子的确定）图2-14 基本过程三 基本流程图2-15 基本流程2.4.2 最速下降法（1阶梯度法）一 基本思想 梯度方向是函数变化率最大的方向，求目标函数极小值的迭代过程中，以函数负梯度方向作为搜索方向。二 算法描述三 算法流程图2-16 梯