第15章 电路方程的矩阵形式.doc

第第十十五五章章 电电路路方方程程的的矩矩阵阵形形式式 重点 重点 1 关联矩阵 基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念关联矩阵 基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念 2 熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系 3 熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景 难点 难点 1 掌握各种电路分析方法的矩阵应用掌握各种电路分析方法的矩阵应用 2 理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用 我们以前在学习支路电流法 支路电压法以及网孔分析法 节点分析法 割集分析法 回路分析法时 都是凭观察来列出所需的独立方程组 在求解方程时可以用手算 也可以 使用电子计算机 对于含元件较少的电路 这种做法是行得通的 但是现代的电子电路可 以包含数百个元件 特别是集成电路技术的飞越发展 电路日益复杂 对于这类 大规模 Large scale 电路 不可能再凭观察来列写方程 需要有一种系统化的步骤来处理这类 电路 使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成 本章初步地介绍了这种分析方 法 其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法 15 1 电网络图论的基本概念电网络图论的基本概念 网络图论与矩阵论 计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础 其中网络图论主 要讨论电路分析中的拓扑规律性 从而便于电路方程的列写 15 1 1 网络的图网络的图 1 网络图论 网络拓扑学 图论是数学中重要的分支 网络图论是图论在电路理论中的应用 主要通过电路的结 构及其连接性质 对电路进行分析计算 2 支路 Branch 每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替 称为支路 3 节点 node 每一个电路元件的端点 或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替 称为节点 在 电网络理论中 通常节点是指支路的汇集点 这一概念与数学图论中的 节点 概念略有 不同 4 网络的图 graph 节点和支路的集合 称为图 每一条支路的两端都连接到相应的节点上 有向图 Oriented graph 是指各个支路规定了参考方向的图反之 称为无向图 5 路径 path 从图 G 的某一节点出发 沿着一些支路连续移动 从而达到一个指定的节点 这一系 列支路构成图的一条路径 6 连通图 connected graph 当图 G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时 称为连通图 7 回路 loop 如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭合路径 称为回路 8 网孔 mesh 一般是指内网孔 平面图中自然的 孔 它所限定的区域不再有支路 如下面电路的对应的图为左图所示 注意每一个二端元件为一条支路 0 01 19V 2 4 I1 4A 30V 1 1 5I1 I1 1 5I1 4A 例如 在下图中 支路数 6 节点数 4 网孔数 3 回路数 7 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 15 1 2 树 基本回路及基本割集树 基本回路及基本割集 1 树的概念 tree 一个连通图 G 的树 T 是指 G 的一个连通子图 它包含 G 的全部节点 但不含任何回 路 树中的支路称为 树支 tree branch 图 G 中不属于 T 的其他支路称为 连支 link 其集合称为 树余 一个连通图的树可能存在多种选择方法 2 基本回路 只含一条连支的回路称为单连支回路 它们的总和为一组独立回路 称为 基本回路 树一经选定 基本回路唯一地确定下来 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 对于平面电路而言 其全部网孔是一组独立回路 3 割集 cut set 一个连通图 G 的割集是指 G 的一个支路子集 1 将该支路子集中的全部支路移去 保留节点 后 余下的图彼此分离且各自连通 2 保留该支路子集中的任意一条支路时 图仍然连通 基本割集 只含一条树支的割集称为单树支割集 它们的总和称为 基本割集 树一经选定 基 本割集唯一地确定下来 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 15 1 3 关联矩阵关联矩阵a A 与降阶关联矩阵与降阶关联矩阵 A 给定一个定向图 各定向支路与各个节点之间的联接关系是十分清楚的 这种结构上 的关系能否用代数的方法来表达呢 这对于企图用电子计算机来分析电路是个很重要的问 题 运用矩阵可以解决这个问题 一一 关关联联矩矩阵阵 Aa 又又称称增增广广关关联联矩矩阵阵 1 定义 我们可以用定向图的各个节点组成矩阵的行 各定向支路组成矩阵的列 列表如下 其中 21 bb 等表示编号为 1 2 的支路 21 nn 等表示编号为 1 2 的节点 以适 当的数填入空档即可表明定向图中节点与支路的联接情况 这些数构成矩阵的元素 1 b 2 b 3 b 4 b 1 n 2 n 3 n 4 n 即定义关联矩阵 即定义关联矩阵 augmented incidence matrix 其中 其中 a A 的行对应图的节点 列对的行对应图的节点 列对 应图的各个支路 应图的各个支路 ika a A 其中 其中 当节点当节点 i 与支路与支路 bk无关联时 无关联时 0 ik a 当节点当节点 i 与支路与支路 bk关联 且支路电流的参考方向离开节点时 关联 且支路电流的参考方向离开节点时 1 ik a 当节点当节点 i 与支路与支路 bk关联 且支路电流的参考方向指向节点时 关联 且支路电流的参考方向指向节点时 1 ik a 在一般情况下 对一个具有b条支路和n个节点的定向图来说 其增广关联矩阵为一 个n行和b列的矩阵 例如 4 n 4 b 3 b 5 b 5 n 7 b 1 n 3 n 1 b 6 b 2 b 2 n 式 15 1 图 15 1 定向图一例 二二 Aa的的性性质质 由于每一支路都恰好与两个节点相关联 关联矩阵 Aa中每一列都恰好有两个非零的元 素 其一为 1 另一为 1 把一个矩阵中的两行相加 就是把同一列中的元素相加 以 15 1 式所示矩阵为例 若矩阵中的第 1 行和第 2 行分别记为 1 R 和 2 R 则 011101000100101001011 21 RR 1 5 2 如果把 15 1 式所示矩阵的各行相加 可得 0 54321 RRRRR 由此可见 增广关联矩阵的各行线性相关 这就是说 该矩阵中的任一行是其余各行 的线性组合 三三 降降阶阶关关联联矩矩阵阵 A 由于增广关联矩阵的各行线性相关 即矩阵中的任一行是其余各行的线性组合 也就是说 总可以通过矩阵的代数变换 使得其中某一行全为零元素 因此 除去增广 关联矩阵中的任一行 矩阵仍具有同样的信息 足以表征定向图中节点对支路的关系 我 们把这种 bn 1 矩阵称为降阶 reduced 关联矩阵或径称为关联矩阵 记为A 在关联矩阵中有些列具有两个非零的元素 1 及 1 有些列只有一个非零元素 仍 以图 15 1 所示定向图为例 若除去第 2 行 则 1110000 0001100 1000110 0011001 A 15 3 再如 问题 根据关联矩阵是否能够得到唯一的图 110010 011001 101100 000111 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 a A 2 3 4 1 6 3 2 5 4 1 110010 011001 101100 000111 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 a A 1110000 0001100 1000110 0100011 0011001 5 4 3 2 1 7654321 n n n n n bbbbbbb a A 四四 矩矩阵阵 A 的的作作用用与与 KCL 定定律律及及节节点点电电压压方方程程的的矩矩阵阵表表达达式式 1 关联矩阵 A 与 KCL 定律 电路的独立 KCL 方程组可以用关联矩阵表示为向量方程 以上图为例 如果把节点 2 选为参考节点 则由其余的 4 个节点可得独立的 KCL 方程组如下 节点 1 0 521 节点 3 0 451 节点 4 0 652 15 4 或写为 0 6 5 4 3 2 1 110010 011001 000111 I I I I I I 15 5 试把 15 5 式和 15 3 式加以比较 我们立即就可发现 15 5 式左端的系数矩阵 与 15 3 式所示的矩阵A完全相同 如设 T I 7654321 b 并称 b I 为支路电流向量 则 15 5 式 0AI b 15 6 虽然 这一方程是由图 15 1 所示的定向图得出的 但对任何定向图都可得出这一结果 2 关联矩阵与支路电压 节点电压 KVL 仍然以上图为例 设各个支路电压分别为1 u 2 u 6 u 而以节点 2 为参考点的 各个节点电压分别为 1n u 3n u 4n u 5n u 26 35 324 213 12 311 n n nn nn n nn uu uu uuu uuu uu uuu 3 2 1 6 5 4 3 2 1 010 100 110 011 001 101 n n n u u u u u u u u u 可以推广之 设各个支路电压分别为1 u 2 u b u 用列相量表示 T b uuu 21 U 而以节点 2 为参考点的各个节点电压分别为 1n u 2n u 1 nn u 用列相量表示 T nnnn uuu 1 21 n U 则 n TU AU 15 1 4 回路矩阵及割集矩阵回路矩阵及割集矩阵 一一 增增广广回回路路矩矩阵阵 B 1 定义 表明图中支路与回路之间的关系的矩阵 定义为 设给定的定向图有b条支路 a l 个回路 为每一回路规定一方向后 我们可以定义一 个增广回路矩阵 它是一个 bla 矩阵 记为 a B ij b a B 15 7 它的第 ji 个元素确定如下 1如果支路 j在回路i内 且它们的参考方向一致 ij b 1如果支路 j在回路i内 且它们的参考方向不一致 0如果支路 j不在回路i之内 例如 图 15 2 所示定向图 具有六条支路和三个回路 如图中所示 4 b 3 b 5 b 6 b 2 l 1 b 1 l 2 b 3 l 图图 15 215 2 定向图一例定向图一例 设三个回路的方向均为顺时针方向 这定向图的增广回路矩阵为 654321 bbbbbb 001111 111110 110001 3 2 1 l l l a B 15 8 显然可见 这矩阵的各行线性相关 2 用 用 Ba表示的表示的 KVL 方程矩阵表达式方程矩阵表达式 如定义支路电压向量 T b U 654321 UUUUUU 则 0UB ba 15 9 将表示该定向图所有回路的 KVL 方程 3 用 用 Ba表示的表示的 KVL 方程矩阵表达式方程矩阵表达式 设各个支路电流分别为1 i 2 i b i 用列相量表示 T b iii 21 i 而各个回路电流分别为1l i 2l i lm i 用列相量表示 T lmllm iii 21 i 则 m iBi T 二二 基基本本回回路路矩矩阵阵 B 1 定义 定义 由 2 5 可知 独立回路数为 1 nb 个 因此在增广回路矩阵的 a l 行中只有 1 nb 个是线性无关的 为了能直接获得独立的 KVL 方程组 我们将运用 2 5 所述 的基本回路的概念 并定义一个基本回路矩阵B 它是一个 bnb 1 矩阵 ij b B 15 10 它的第 ji 个元素与 a B 矩阵元素是一样的 例如 对图 15 3 所示的定向图 选树如粗线所示 由连支确定基本回路 并选定其方 向后 对应于该树的基本回路矩阵为 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 10110000 01110000 00011100 00100011 4 3 2 1 l l l l B 15 11 2 用 用 B 表示的表示的 KVL 方程矩阵表达式方程矩阵表达式 电路的独立 KVL 方程组可以用基本回路矩阵表示为向量方程 仍以图 15 3 的定向图 为例 根据选定的基本回路 可得独立的 KVL 方程组如下 回路1 l 0 261 UUU 回路2 l 0 543 UUU 回路 3 l 0 765 UUU 15 12 回路4 l 0 865 UUU 8 b 7 b 4 l 3 l 5 b 1 b 6 b 4 b 1 l 2 l 2 b 3 b 图图 15 315 3 选定树后 定向图的基本回路选定树后 定向图的基本回路 或写为 0 10110000 01110000 00011100 00100011 8 7 6 5 4 3 2 1 U U U U U U U U 15 13 由 15 11 式可知 上式可写为 0BU b 15 14 其中 T U 87654321 UUUUUUUU b 虽然 这一方程是由图 15 3 所示的定向图得出的 但对任何定向图都可得出这一结果 3 用 用 B 表示的表示的 KCL 方程矩阵表达式方程矩阵表达式 设各个支路电流分别为1 i 2 i b i 用列相量表示 T b iii 21 I 而各个回路电流 即连支电流 分别为1l i 2l i lm i 用列相量表示 T lmlll iii 21 I 则 l IBI T 关于基本回路矩阵的说明 1 由于基本回路为单连支回路 所以其参考方向取为连支参考方向 2 确定基本回路矩阵需要先选择一棵树 3 列写时 将矩阵的列按树支与连支分开排列的方式 1 a c 2 b 3 d e 4 f 100101 010110 001011 f e d fedcba B 三三 基基本本割割集集矩矩阵阵 Q 1 定义定义 基本割集矩阵的行对应基本割集 列对应图的各个支路 ik q Q 其中 当支路 bk与基本割集无关联时 0 ik q 当支路 bk与基本割集关联 且支路电流与基本割集的参考方向一致时 1 ik q 当支路 bk与基本割集关联 且支路电流与基本割集的参考方向相反时 1 ik q 2 关于基本割集矩阵的说明关于基本割集矩阵的说明 1 由于基本割集为单树支回路 所以其参考方向取为树支参考方向 2 确定基本割集矩阵需要先选择一棵树 3 列写时 将矩阵的列按树支与连支分开排列的方式 例如 1 a c 2 b 3 d e 4 f 110100 011010 101001 c b a fedcba Q 再如图 15 11 所示定向图 对所示树来说 1 q 1 b 2 q 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 3 q 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 图图 15 11 对选定树的三个基本割集对选定树的三个基本割集 111000 100101 001011 3 2 1 q q q Q 3 用 用 Q 表示的表示的 KCL 方程的矩阵表达式方程的矩阵表达式 对于每一个基本割集都应用一次 KCL 就可得到联系着b个支路电流的 1 n 个线性 独立方程组 这组方程可表示为 0 b QI KCL 15 46 4 用 用 Q 表示的表示的 KVL 方程的矩阵表达式方程的矩阵表达式 对于每一个基本割集都应用一次 KCL 就可得到联系着b个支路电流的 1 n 个线性 独立方程组 这组方程可表示为 t TU QU KVL 15 46 15 1 5 独立的独立的 KCL 方程和方程和 KVL 方程方程 一个含有 n 个节点 b 条支路的电路 其独立的 KCL 电流方程 方程数为 1 n 个 与这些独立的 KCL 方程对应的节点称为独立节点 其独立的 KVL 电压方程 方程数为 1 nb 个 上述结论的具体说明与严格证明略去 有兴趣的同学可以在推荐的参考教 材及有关的书籍中找到答案 一组独立回路就可对应一组独立的 KVL 方程 因此 可以 运用图论的一些基本概念来帮助我们简化电路问题的求解 15 2 支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式 从以上两节中我们得到两个基本 0AI b KCL 0BU b KCL 它们反映了电路的拓扑约束 我们还必须掌握支路的约束关系 才能得到完整的网络 描述 本节推导支路约束关系的矩阵形式 sk sk U k k G k U 设电路中的每条支路有一个电阻 一个独立电压源和一个独立电流源 其一般形式如 图 15 4 所示 如果支路中没有电源 则令电压源电压和电流源电流为零即可 由图 15 4 可得 skkskkkk UG UG bk 2 1 15 15 其中 k 为第k条支路电流 k U 为第k条支路电压 k G 为第k条支路电导 sk U 为第 k条支路的独立电压源的电压 sk 为第k条支路的独立电流源的电流 把 3 15 式写成矩阵形式便得整个电路的支路约束 为此 定义支路电导矩阵G如 下 b G G G G 000 000 000 000 3 2 1 G 15 16 它是一个 bb 矩阵 定义独立电压源向量 s U 为 T U 321ssss UUU 15 17 定义独立电流源向量 s I 为 T I sbsss 21 15 18 于是 15 15 式可改为 ssbb GUIGUI 15 19 这方程总括了网络中全部支路的约束关系 支路方程也可用矩阵表示为 ssbb AIURIU 15 20 其中 b R R R R 000 000 000 000 3 2 1 R 15 21 称为支路电阻矩阵 k k G R 1 bk 2 1 根据两个约束关系 给定 GIU ss 或R 中的各元素值 我们就可求出电路中的 各支路电流及支路电压 15 3 节点分析法节点分析法 由第二章可知 在任何电路中必有一组电压是线性无关的 也必有一组电流是线性无 关的 也就是说 电路中存在着一组独立电压变量 所有支路电压都可以表示为这组电压 的线性组合 电路中存在着一组独立电流变量 所有支路电流都可以表示为这组电流的线 性组合 在第二章中我们已指出 电路中的 1 n 个节点电压是一组独立电压变量 若定义节 点电压向量 T U 121 nnnnn UUU 15 22 支路电压向量为 T b U b UUU 21 15 23 则这两向量间的关系可表为 n T b UAU 15 24 其中 T A为关联矩阵A的转置 我们来证明这一关系 设图 3 5 中所示为定向图中任一支路 j 联在节点i与节点k 之间 任设支路电压 j U 的极性如图中所示 则显然 njnij UUU 这就是说 每一支路电压可表示为节点电压的线性组合 其一般形式应为 1 1 n i nijij UpU 15 25 i j U k j ni U nk U 图图 15 515 5 借助于节点电压计算支路电压借助于节点电压计算支路电压 其中 ji p 为 1 1 或 0 这就是说 支路电压向量与节点电压向量可表为 nb PUU 15 26 其中P为 1 nb 矩阵 ji p P 15 27 它的第 ij 个元素确定如下 1 如果支路 j与节点i相关联 且离开该节点 ji p 1 如果支路 j与节点i相关联 且进入该节点 0如果支路 j与节点i无关联 上述 ji p 的定义与关联矩阵A中元素 ij a 的定义完全相同 故得 ijji ap 对所有的i和 j 15 28 这表明 T AP 15 29 于是 15 24 式得到了证明 借助于 1 n 个节点电压来表示b个支路电压 实际上是表达 KVL 加于支路电压约束 的一种方法 15 24 式 KVL 连同 15 6 式 KCL 构成节点分析的两个基本方程 把它们和反映网络支路约束关系的 15 19 式相结合 就可得到具有 1 n 个未知量 121 nnnn UUU 的 1 n 个方程 为此 要进行消去支路变量的工作 其过程如下所 示 KCL 0 b AI 15 6 KVL n T b UAU 15 24 VAR ssbb GUIGUI 15 19 以矩阵A左乘方程 15 19 式 用 n TU A 代替 b U 并应用 15 6 式 可得 0 ssn T AGUAIUAGA 15 30 或 ssn T AIAGUUAGA 15 31 在上式中 T AGA 是一个 11 nn 方阵 而 s AGU 和 s AI 都是 1 n 维列向 量 令 T n AGAG 15 32a ssn AIAGUI 15 32b 则 15 31 式成为 nnn IUG 15 33 方程组 15 33 式通常称为节点方程 n G 称为节点电导矩阵 n I 称为节点电流源向 量 在这个节点方程中 n G 和 n I 是可以根据给定的电路结构 元件的参数和电源的电压 以及电流算得的 由定向图能确定关联矩阵A 由各支路的电导根据 15 16 式可确定 支路电导矩阵G 因而节点电导矩阵 n G 就可由 15 32a 式确定 同样 由于电源向量 s U 和 s I 是已知的 所以节点电流源向量 n I 可按 15 32b 式确定 因此 向量方程 15 33 式把未知的 1 n 维列向量 n U 同已知的 11 nn 矩阵 n G 和 1 n 维列 向量 n I 相联系 由此可解得 n U n U 一旦求得 由 15 24 式可确定b个支路电压 再 由支路 15 19 可确定b个支路电流 节点方程 15 33 式是由 1 n 个以节点电压作未知量的线性代数方程组 15 33 式是第二章 2 9 式的矩阵表示形式 我们过去是用视察法直接由电路列出这组方程 的 并用任何一中方法求得解答 本节所述内容 可为节点分析法提供了一个严格的系统 步骤 在任何情况下都适用 这种系统的方法在为运用计算机而编制程序时是必需的 例例 15 115 1 电路如图 15 6 a 所示 试列出编写节点方程和解出各支路变量的详细步 骤 解 解 1 作该电路的图如图 b 所示 任选一参考节点 如节点 5 其余节点分别 标以 1 2 3 4 节点电压为 4321nnnn UU UU 2 对支路 1 2 3 4 5 6 7 8 加以编号 并指定每一支路的参考方向 以 变量 i G 表示第i支路的电导 3 建立关联矩阵A 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 84 4 3 2 1 01000110 10001100 00100011 00011001 n n n n A 1 1 n 1 b 2 n 5 2 5 5 b 6 b 10V 2 3 1 3 4 b 8 b 7 b 2 b 7 3 n 3 b 4 n a b 图 15 6 例 15 1 4 建立支路电导矩阵 由于电路具有 8 条支路 该矩阵为 88 阶 且为对角线矩 阵 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 88 8 7 6 5 4 3 2 1 210000000 031000000 005100000 000210000 000051000 000007100 00000010 00000001 b b b b b b b b G 5 根据 T n AGAG 计算节点电导矩阵 48 84 0100 1000 0010 0001 0101 1100 1010 0011 0310007110 21000517100 005100011 0002151001 T n AGAG 故得 44 21317110 717059051 105111 05111017 n G 6 确定独立电压源向量和独立电流源向量 T s 000010000 U T s 00000030 I 注意 电压 电流的符号均根据图 3 4 一般电阻支路所规定的方向与图 3 6 中支路的 实际选定方向作比较而确定 7 根据 ssn AIAGUI 确定节点电流源向量 18 84 0 0 0 0 10 0 0 0 0310007110 21000517100 005100011 0002151001 s AGU 计算得 14 0 2 0 2 s AGU 14 3 0 3 0 s AI 故得 3 2 3 2 ssn AIAGUI 8 得节点方程 nnn IUG 3 2 3 2 21317110 717059051 105111 05111017 4 3 2 1 n n n n U U U U 9 我们可以通过逆矩阵 1 n G 来求解节点电压 3 2 3 2 253 1 344 0 802 0 511 0 334 0 322 1 303 0 334 0 802 0 303 0 14 1 706 0 511 0 334 0 706 0 043 1 3 2 3 2 21317110 717059051 105111 05111017 1 4 3 2 1 n n n n U U U U 解得 V004 2 1 n U V821 1 2 n U V067 2 3 n U V999 0 4 n U 10 求得各节点电压后 支路电压可由 n T b UAU 求得 14 4818 8 7 6 5 4 3 2 1 999 0 067 2 821 1 004 2 0100 1000 0010 0001 0101 1100 1010 0011 U U U U U U U U 解得 V183 0 1 U V820 2 2 U V068 1 3 U V071 4 4 U V004 2 5 U V821 1 6 U V999 0 7 U V067 2 8 U 11 由 ssbb GUIGUI 求各支路电流 得 A 183 0 1 I A 180 0 2 I A 152 0 3 I A 186 1 4 I A 002 1 5 I A 821 1 6 I A 333 0 7 I A 033 1 8 I 上例的建立方程和求解的工作可以由计算机完成 为此 我们应把计算程序以及网 络的拓扑结构 元件的参数值输入计算机 计算结果由计算机的输出设备 例如行式打印 机 获得 一种输入数据的方式是 先输入节点数和支路数 以图 3 6 电路为例 输入数据的 第一行为 5 8 通知 计算机电路有 5 个节点 8 条支路 其第二行为 1 1 2 1 0 0 其中第一位为支路编号 第二位为该支路的起始节点编号 第三位为该支路的终止节 点编号 第四位为电阻值 第五位为电压源值 第六位为电流源值 因此 图 3 6 电路的全部输入数据为 5 8 1 1 2 1 0 0 2 2 4 1 0 3 s I 与支路方向不一致 3 3 4 7 0 0 4 3 1 5 10 0 s U 与支路方向不一致 5 5 1 2 0 0 6 2 5 5 0 0 7 5 4 3 0 0 8 3 5 2 0 0 根据这些数据 计算机即可形成 s UGA 及 s I 等矩阵 计算机根据程序由A形成 T A 即可算出 s T AGUAGA 及 s AI 等矩阵 在算出 1 n G 后 即可算出 n U 进而算出 bb IU 并把结果打印出来 15 4 回路分析法回路分析法 在前面我们已指出 选定树后 电路中的基本回路电流是一组独立电流变量 其个数 为 1 nbl 所有支路电流都可以表示为这组电流的线性组合 设基本回路电流向量 为 T lllll III 21 I 15 34 这一向量与支路电流向量的关系可表示为 l T b IBI 15 35 其中 T B为基本回路矩阵的转置 我们来证明这一关系 每一支路电流可表示为基本回路电流的线性组合 第 j条支路的电流可表示为 l i lijij IcI 1 15 36 其中 ji c 可为 1 1 或 0 例如在图 15 8 所示定向图中 43217 1110 llll IIIII 写为一般形式 即为 lb CII 15 37 其中C为 lb 矩阵 ji c C 15 38 它的第 ij 个元素确定如下 1 如果支路 j在回路i内 且它们的参考方向一致 ji c 1 如果支路 j在回路i内 且它们的参考方向不一致 0 如果支路 j不在回路i内 1 2 1l I 5 2l I 6 3 4l I 3l I 4 7 8 图 15 8 表明基本回路电流与支路电流关系用图 上述 ji c 的定义与基本回路矩阵B中的元素 ij b 的定义完全相同 故得 ijji bc 对所有的i和 j 15 39 这表明 T BC 15 40 于是 15 35 式得到了证明 借助于 1 nb 个回路电流来表示b个支路电流 实际上是表达 KCL 加于支路电流 约束的一种方法 15 35 式 KCL 连同 3 34 式 KVL 构成回路分析的两个基本 方程 把它们和反映网络支路约束条件的 15 20 式相结合 就可得到具有 1 nb 个 未知量 llll I II 21 的 1 nb 个方程 为此 要进行消去支路变量的工作 其过程如 下所示 0BU b KVL 15 14 l T b IBI KCL 15 35 ssbb AIURIU VAR 15 20 以矩阵B左乘方程 15 20 式 用 l TI B 代替 b I 并考虑到 15 14 式 可得 ssl T BUBRIIBRB 15 41 在上式中 T BRB是一个 11 nbnb 方阵 亦即 ll 方阵 而 s BRI 和 s BU 都是l维向量 令 T l BRBR 15 42 ssl BUBRIU 3 43 则 15 41 式成为 lll UIR 15 44 方程组 15 44 式通常称为回路方程 l R 称为回路电阻矩阵 l U 称为回路电压源向 量 以上所述内容 可为回路分析法提供一个严格的系统步骤 适宜于编制计算机程序 例例 15 2 用回路分析法求解图 15 6 所示电路的支路电流 5 b 1 l 1 b 4 b 4 l 6 b 2 l 2 b 8 b 3 l 7 b 3 b 图 15 6 例 15 2 解解 作图 15 6 电路的定向图如图 15 9 所示 选树如图中粗线所示 基本回路为 321 lll 和4 l 84 87654321 4 3 2 1 10011000 11000100 01100010 00110001 bbbbbbbb l l l l B 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 88 8 7 6 5 4 3 2 1 20000000 03000000 00500000 00020000 00005000 00000700 00000010 00000001 b b b b b b b b R 44 9202 21230 0395 2058 T l BRBR 14 10 0 3 0 ssl BUBRIU 得回路方程 10 0 3 0 9202 21230 0395 2058 4 3 2 1 l l l l I I I I 10 0 3 0 9202 21230 0395 2058 1 4 3 2 1 l l l l I I I I A 1838 0 1l I A 1806 0 2l I A 1527 0 3l I A 186 1 4l I 求支路电流 186 1 1527 0 1806 0 1838 0 1100 0110 0011 1001 1000 0100 0010 0001 8 7 6 5 4 3 2 1 I I I I I I I I A 1838 0 1 I A 1806 0 2 I A 1527 0 3 I A 186 1 4 I A 002 1 5 I A 3644 0 6 I A 3333 0 7 I A 033 1 8 I 15 5 割集分析法割集分析法 一 方法 以树支电流为变量 对用树支确定的基本割集列写 KCL 方程 从而分析计算电路的方 法 在选择树时 应尽量将电压源或受控压源所在的支路选为树支 这样可以不再对由纯 压源树支所确定的基本割集列写方程 从而进一步减少方程的数量 解题方法与解题步骤基本与节点法相同 可以应用于非平面电路 而且在某些电路结 构下可以简化计算 二 割集分析法的矩阵形式 ttt JUG 其中 Gt 割集电导矩阵割集电导矩阵 其对角线上的元称为 自导 其值为某一基本割集中联接 的支路上的电导之和 符号为正 其他各元称为 互导 其值为某两个基本 割集共有支路上的电导之和 符号由两个割集的参考方向决定 如果一致 为 正 相反则为负 注意注意 割集之间参考方向的是否一致要依据其公共支路来判定 Ut 树支电压向量树支电压向量 其元为各个树支的电压 为列向量 Jt 割集电流源向量割集电流源向量 其元为与各个基本割集方向相反相反的电流源电流的代数和 为列向量 三 例题 1 已知 如图所示 5 19V 2 4 I1 4A 30V 25V 1 5I1 求 解 选树如图所示 则只需要对 2 4 支路 树支 所决定的基本割集列写方程 即可 1925305 144 42 425 11 II 解得 AI12 1 2 已知 如图所示 I1 1 1V I7 0 1 I6 0 5 I2 1 2V 3A I3 I4 I1 I7 I6 I2 I5 I3 I4 求 解 选树如图所示 则只需要对 2 4 支路 树支 所决定的基本割集列写方程 即可 1925305 144 42 425 11 II 解得 AI12 1 1 已知 如图所示 30V 2A 3A 1A 4 Ux 6Ux 5 求 Ux 解