概率论与数理统计第一次课课件(修改版).docx

第一章1.1随机事件1.1.3随机事件的概念在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件。例如在抛骰子试验E中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1,3,5，它是样本空间2的一个子集。我们称实验E所对应的样本空间的子集为E的一个随机事件，简称事件。例如在抛骰子试验E中考察随机事件A，掷一次骰子，无论掷得1点，掷得3点还是掷得5点，都称在这次试验中事件A发生了。显然样本点1,3,5,都含在A中。样本空间的仅包含一个样本点的单点集也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。例如在实验E掷骰子试验中，E1中H表示“正面朝上”，这是基本事件；在实验E2中3表示掷得3点，这也是基本事件；样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为。空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集。在每次试验中都不发生，称为不可能事件。1.1.4随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含在事件B中，记作BA，AB。BA（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称A与B的并，记作AB或A+B。AB意味着：或A事件发生，或B事件发生，或事件A和事件B都发生。显然有：1、AAB，BAB2、若AB，则AB=B BA（3）积事件称事件“A，B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作AB，间记为AB。事件AB发生以为着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发生显然有1、 ABA，ABB2、 若AB，则AB=ABA（4）差事件称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A-B显然有1、A-BA2、若AB，则A-B=BA（5）互不相容若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。对于n个事件A1，A2，An，如果它们两两之间互不相容，即AiAj=(i=1,2,n)，则称A1，A2，An互不相容。串例P2（6）对立事件称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作A。若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即AB=，AB=，则称A与B互为对立事件。显然有1、 A=A2、 =，=3、 A-B=AB=A-AB在进行事件运算时，经常要用到下列运算律，设A，B，C为事件，则有交换律：AB=BA，AB=BA结合律：ABC=(AB)C，ABC=(AB)C分配律：ABC=(AB)(AC)，ABC=(AB)(AC)对偶律：AB=AB，AB=AB串例P2（1）A-BA=ABA=ABA=AABA=ABA=A做这种题一定要结合Venn图来想像。要记得A-B=AB=AB，再结合分配律（2）A-BB=ABB=ABBB=AB（3）A-BA=A-B（4）A-BB=ABB=ABB=A=同号用结合律（5）ABAB=ABB=A=A或者看不出来，也可以逐步展开ABAB=ABAB=ABAABB=AABAABBB=ABAAB=AAB=A这里BA的范围明显不能大于A，所以ABA等于A自身。这是并的特点。总结如下：并上比自己小的就等于自身，并上比自己大的要加上大的部分。交上比自己大的就等于自身，交上比自己小的等于小的部分。书例1-4，1-5，1-61.2概率在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，而比值nAn称为事件A发生的频率，并记作fn(A)。通过实践人们发现，随着试验重复次数n的大量增加，频率fn(A)会逐渐稳定于某一常数，我们称这个常数为频率的稳定值，其实这个稳定值就是事件A的概率P(A)。概率P(A)具有以下性质（1）0P(A)1（2）P=0，P=1（3）当A1，A2，Am互不相容（或A1，A2，Am，.互不相容）时，有Pk=1mAk=k=1mP(Ak)就是说PA+B=PA+P(B)，这种是最简单的形式1.2.2古典概型设为随机试验E的样本空间，其中所含样本点总数为n，A为一随机事件，其中所含样本点数为r，则有 PA=rn=A中样本点数中样本点数，也就是 PA=rn=A所包含的基本事件数基本事件总数常用公式（1）乘法原理：某件事情要经过这k步才能完成，则m1m2mk（2）加法原理：某件事情可有k类不同途径之一去完成，则m1+m2+mk（3）排列从n个不同元素中任取r（rn）个元素排成一列，而且考虑先后顺序，则有Anr=nn-1n-r+1=n!n-r!如1,2,3,4,5,这5个数字可以组成多少个三位数则A53=543=60（4）组合从n个不同元素中任取r（rn）个元素排成一组，不考虑先后顺序，则有Cnr=Anrr!=nn-1n-r+1r!=n!r!n-r!这里约定0!=1，Cn0=1如某批产品有合格品100件，次品5件，从中任取3件，其中恰有1件次品，问有多少种不同取法，则C1002C51=100992!5=24750串例P4书例1-9,1-111.2.3概率的定义与性质设是随机实验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称P(A)为事件A的概率，如果它满足下列条件：1、 P(A)02、 P=13、 设A1，A2，Am，是一系列互不相容的事件，则有Pk=1Ak=k=1P(Ak)性质1-1 0PA1，P=0性质1-2 对任意事件有PAB=PA+PB-P(AB)，特别的，当A与B互不相容时PAB=PA+PB性质1-3 PB-A=PB-PAB特别的，当AB时，PB-A=PB-PA，且P(A)P(B)且P(A+B)=P(A)+P(AB)性质1-4 PA=1-P(A)串例P51.3条件概率1.3.1条件概率与乘法在实际问题中，除了要考虑事件A的概率，还要考虑在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率，记作PAB。书例1-17考虑古典概型，设样本空间包含的基本事件总数为n，事件B包含的基本事件数为nB事件AB所包含的基本事件数为nAB，则有PAB=nABnB=nABnnBn=P(AB)P(B)定义1-2设A，B是两个事件，且P(B)0，称PAB=P(AB)P(B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率由条件概率的定义，我们可以得到一个非常有用的公式，这就是全概率的乘法公式：当PA0时，有PAB=P(A)PBA当PB0时，有PAB=P(B)PAB串例P6【例】(1)PA+B=PA+PAB=PA+PAPBA=0.92+0.080.85=0.988(2)这里要求PAB=P(AB)P(B)，这里P(B)容易求，而PAB=PA-B=PA-P(AB)这里PA+B=PA+PB-P(AB)则PAB=PA+B-PA+PB=0.862，则PAB=PA-B=PA-PAB=0.058，后面的步骤就一样了。1.3.2全概率公式与贝叶斯公式定义1-3设事件A1，A2，An满足如下两个条件：（1） A1，A2，An互不相容，且P(Ai)0, i=1,2,n（2） A1A2An=，即A1，A2，An至少有一个发生，则称A1，A2，An为样本空间的一个划分。全概率公式：设随机实验对应的样本空间为，设A1，A2，An是样本空间的一个划分，B是任意一个事件，则PB=i=1nP(Ai)PBAi一般的形式PB=PAPAB+P(A)PBA串例P7贝叶斯公式：设A1，A2，An是样本空间的一个划分，B是任一事件，且P(B)0，则PAiB=P(Ai)PBAiP(B)=P(Ai)PBAik=1nP(Ak)PBAk在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概率公式求出P(B)串例P81.4事件的独立性定义1-4 若P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称A，B独立。性质1-5 设P(A)0，则A，B相互独立的充分必要条件是PB=PBA 设P(B)0，则A，B相互独立的充分必要条件是PA=PAB性质1-6 若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B都相互独立。定义1-5 设A，B，C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。定义1-6 设A,B,C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，则称A,B,C两两独立。定义1-7 设A1，A2，An为n个事件，若对于任意整数k(1kn)和任意k个整数1i1i2ikn，有PAi1Ai2Aik=PAi1PAi2P(Aik)，则称A1，A2，An相互独立，简称A1，A2，An独立。串例P91.4.2 n重贝努利试验定理1-1 在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为p（0p1），则事件A恰好发生k次的概率Pnk=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n事实上，A在制定的k次试验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为pk(1-p)n-k又由于结果A的发生可以有各种排列顺序，n次试验中恰有k次A发生，相当于n个位置选出k个，在这k个位置处A发生，由排列组合知识知道共有Cnk种选法，而这Cnk中选法对应的Cnk个事件又是互不相容的，且Cnk个事件的概率都是pk(1-p)n-k按概率的可加性得到Pnk=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n串例P9第二章 随机变量及其概率分布2.1.1 随机变量的概念定义2-1 设E是随机实验，样本空间为，如果对于每一个结果（样本点），有一个实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()，称为随机变量。随机变量通常用X,Y,Z,或X1，X2，来表示。引入随机变量，就可以用随机变量描述事件，如在掷骰子的试验中，X=6表示出现6点，PX=6=1/62.1.2 离散型分布变量及其分布律定义2-2 若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。定义2-3 设X为离散型随机变量，可能取值为x1,x2,xk,且PX=xk=pk,k=1,2,则称pk为分布律（或分布列，或概率分布）分布律也可用表格的形式来表示XPx1x2xkp1p2pk其中第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。分布律具有以下性质：（1） pk0，k=1,2,（2） k=1pk=1串例P102.1.3 0-1分布与二项分布定义2-4 若随机变量X只取两个可能值0,1，且PX=1=p,PX=0=q，其中0p1,q=1-p，则称X服从0-1分布，X的分布律为XP01qp定义2-5 若随机变量X的可能取值为0,1,n，而X的分布律为pk=PX=k=Cnkpkqn-k,k=0,1,2,n,其中0p0是常数，n是任意正数，且pn=，则对于任意取定的非负正数k，有limnCnkpnk(1-pn)n-k=kk!e-这里即n很大，其中=np串例P112.1.4 泊松分布定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2，n，而X的分布律为pk=PX=k=kk!e-，k=0,1,2,n,其中0，则称X服从参数为的泊松分布，简记为XP()串例P122.2 随机变量的分布函数2.2.1 分布函数的概念定义2-7设X为随机变量，称函数Fx=PXx，x(-,+)为X的分布函数。这个公式表述了离散型随机变量和连续性随机变量的特征。书例P36 2-112.2.2 分布函数的性质分布函数具有以下性质：（1）0F(x)1（2）F(x)不是减函数，即对于任意的x1x2，有F(x1)F(x2)（3）F-=0,F+=1即limx-Fx=0,limx+Fx=1（4）FX右连续，即Fx+0=limx0+Fx+x=F(x)已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率（1）PXb=F(b)（2）PaXb=Fb-Fa，其中ab=1-F(b)书例P37 2-12,2-132.3 连续型随机变量及其概率密度2.3.1 连续型随机变量及其概率密度定义2-8 若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，有Fx=-xf(t)dt则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。书例P40 2-14，2-15，2-172.3.2 均匀分布与指数分布定义2-9 若随机变量X的概率密度为fx1b-a,axb0,其他则称X服从区间a,b上的均匀分布，简记为XU(a,b)其分布函数为Fx0, xax-ax-b,axb1, xb均匀分布的概率计算中有一个概率公式XUa,b,ac00,x0其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，简记为XE()，其分布函数为Fx=1-e-x,x00,x0其图形见书P432.3.3 正态分布定义2-11 若随机变量X的概率密度为fx=12e-(x-)222,-x+其中,2为常数，-0，则称X服从参数为，2的正态分布，简记为XN(,2)，其中是图形对称轴，而决定图形是尖峰还是平峰。其图形见书P44其分布函数Fx=-x12e-(t-)222dt,而当=0,=1时正态分布N(0,1)称为标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数和分布函数分别记为(x),(x)，即x=12e-x22,-x+x=12-xe-t22dt, -x+显然x关于y轴对称，且x在x=0处取得最大值12通常我们称x为标准正态分布函数，它有下列性质（1） -x=1-x（2） 0=12x的值可以从标准正态分布表查得，有下列计算公式，它们揭示了一般正态分布函数F(x)与标准正态分布函数x的关系（即将任意分布化为正态分布的公式）（1）设XN(,2)，其分布函数为F(X)，则Fx=PXx=x-（2）PaXb=PaXb