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安吉县高级中学高二数学组 数学选修21 第三章 空间向量与立体几何 月 日 第 周周 总第 节笔记栏:3.1.4 -3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示 主备: 张倩 审核: 鲍利人 授课人: 班级 姓名 学号 【学习目标】 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;【教学重点】空间向量的正交分解及坐标运算规律【教学难点】空间向量的正交分解一、知识链接1.平面向量基本定理:对平面上的任意一个向量,是平面上两个 向量,总是存在 实数对,使得向量可以用来表示,表达式为 ,其中叫做 . 若,则称向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示:平面直角坐标系中,分别取x轴和y轴正方向上的 向量作为基底,对平面上任意向量,有且只有一对实数x,y,使得,则称有序对为向量的 ,即 .二、学习过程探究一、空间向量的正交分解问题:对空间的任意向量,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向量有何位置关系?新知:1.空间向量的正交分解:设是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个_,使得_,我们称_为向量在上的分向量.2.空间向量基本定理:如果三个向量 ,对空间任一向量,存在有序实数组,使得. 把 的一个基底,都叫做基向量.反思:空间任意一个向量的基底有 个.3.单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基底,通常用i,j,k表示.4.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a,且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴 方向的 向量,则存在有序实数组,使得,则称有序实数组为向量a的坐标,记着 .5.向量的直角坐标运算:设a,b,则ab ; ab ;a ; ab .6.两个向量共线或垂直的判定若则_; _笔记栏:7.向量的模长及夹角的坐标公式设,则|= =_;cos, = =_.思考:当0cos, 1时,夹角, 的范围_ 当-1cos, 0时,夹角, 的范围_ 当cos, =0时,夹角, 等于_8.两点间距离设A,B,_,_试一试:1. 设,则向量的坐标为 .2. 已知a,b,求ab,ab,8a,ab三、典型剖析例1. M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点,用表示和.例2.设若,求k例3如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG=,应用空间向量的运算办法解决下列问题:(1)求证:EFB1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦;(3)若A为C1G的中点,求FH的长.四、课堂小结 3.1.4 -3.1.5课后作业班级:_ 姓名:_ 学号:_1在以下三个命题中,真命题的个数是()三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底,则a、b、c共面;若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a、b共线;若a、b是两个不共线的向量,而cab(、R且0),则a,b,c构成空间的一个基底A0B1 C2 D32若e1,e2,e3是空间的一个基底,又ae1e2e3,be1e2e3,ce1e2e3,de12e23e3,dxaybzc,则x,y,z分别为()A.,1, B.,1, C,1, D.,1,3点M(1,3,4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是()A(1,3,0)、(1,0,4)、(0,3,4)B(0,3,4)、(1,0,4)、(0,3,4)C(1,3,0)、(1,3,4)、(0,3,4)D(0,0,0)、(1,0,0)、(0,3,0)4已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中aij,bjk,cki,则点A在基底i,j,k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14) C(14,12,10) D(4,3,2)5.与向量=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为()A.(1,3,2)B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2)D.(1,-3,-2)6.向量=(-1,2,3),则向量的模是()A.14B.C.11D.7.已知,则三角形A B C是( )A、等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形 D、以上都不对8.已知A点的坐标是(-1,-2,6),B点的坐标是(1,2,-6),O为坐标原点,则向量与的夹角是()A.0B.C.D. 9.在三棱锥OABC中,G是的重心,选取为基底,试用基底表示 10.已知且,求实数k的值 11.如右图,四面体ABCD中,a2c,5a6b8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则 12.已知关于x的方程有两个实根,且,当t 时,的模取得最大值.13.已知A=(3,5,-7),
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