非线性方程的解法2-1.doc

第二章 非线性方程(组)的解法非线性方程(组)：高次代数方程、包含指数或三角函数的超越方程。例如： 2.1 求实根的区间分半法如果函数在区间上连续，并且在和处的函数值和满足那么在区间上至少存在一个x*值，使得，该x*值就是方程的一个根。如图2-1所示。 图2-1 在区间上有根的判断据此，可以采用每次将区间减少一半的作法逐渐逼近方程的根。首先取区间中点，计算：若，则实根在子区间上，再取区间的中点重复以上步骤。若，方法类似。计算结果的确定：设定误差限，当子区间中点值满足时，则该中点值即为解。例题2-1 在区间0, 1上求解如下超越方程 解：，函数连续，在区间上至少存在一个根。计算，可知，说明根在子区间上，以下类推，直到满足（设定值）为止，结果见表2-1。表2-1 用区间分半法求的解x求解区间 0 1 1 -0.6321210, 1 0.5 -0.1005760, 0.5 0.25 0.3961170.25, 0.5 0.375 0.1317190.375, 0.5 0.4375 0.0112550.4375, 0.5 0.46875 -0.0457750.4375, 0.46875 0.453125 -0.0175340.4375, 0.453125 0.4453125 -0.0032080.4453125即为所求解2.2 线性插值法（弦线法）线性插值法也称弦线法，是用弦线近似曲线弧构造迭代格式的计算方法。如图2-2。 图2-2 线性插值法已知方程在区间上有一实根，简记：、。过点和点作直线方程： 令，可得直线与x轴的交点： (2-1)计算，检验下式是否成立 (给定误差限) (2-2)若成立，则即为方程在区间的数值近似解。 若，则要看还是。假如前者成立，则实根在区间内，应以取代，重复以上各步骤；假如后者成立，则实根在区间内，应以取代，重复以上各步骤；直至最终满足条件，则即为解。2.3 牛顿法（切线法）线性插值法是用弦线近似曲线弧，牛顿法则是用曲线在端点处的切线近似曲线弧构造迭代格式，因而又称切线法。如图2-3。 图2-3 牛顿法已知是有实根区间的一个端点，简记函数值：，一阶导数值：。过点以斜率作切线方程 令，可得切线与x轴的交点： (2-3)计算，检验是否成立。若成立，则即为方程的数值解。假如，则要计算，再依前法作处的切线方程，重复以上各步骤。直至最终满足条件，则即为所求解。例题2-2 二极管门电路的计算如图2-4是一个二极管门电路，要求计算二极管两端的电压值。 图2-4 二极管门电路解：(1) 由欧姆定律：(2) 由二极管的伏安特性： （其中、 是已知参数）将两式合并，得到二极管端电压满足的方程 求导数 由牛顿法迭代格式(2-3)，有根据电路实际参数，选定初值和计算误差限，将代入计算，直至满足为止。2.4 逐次代换法（迭代法） 一、计算格式的建立已知方程在区间a, b内有实根，先将方程写成的形式，再改写成迭代格式 (2-4)在区间a, b内任取初值，代入计算，依次得到序列，。若最终有使得成立，则即为原方程的解。用逐次代换法求根虽方法简单，但须满足一定条件，否则可能出错。先看一例，再给收敛性定理。 例题2-3 用迭代法求的正根。解：为了说明可能出现的不同结果，我们由原方程建立如下三种迭代格式(1)得 (2) 得 (3)得 计算结果列于表2-2，其中对应x的初值。表2-2 不同迭代格式对结果的影响n格式(1)格式(2)格式(3)格式(3)02 2 2 0.513 1.5 1.75 3.2529 21.7321428572.086538462387 1.51.7320508101.76216324047653 21.7320508081.732308093558576059 1.51.7320508081.73205082763.4311541015 21.7320508081.732050808虽然三种格式源于同一方程，但结果大相径庭：格式(1)的结果逐渐放大最后溢出；格式(2)的结果在两个值之间振荡；格式(3)的结果最终收敛于，且与初值无关（只要是在一定范围内选取的最终都将收敛于）显然，选取迭代格式需要条件。 二、收敛性定理思路：考察，设迭代序列，最后收敛于，满足，则 当在含有与的区间上连续可微时，根据微分学中值定理，在与之间存在点，使得 将其代入上式，有 假如，将比更接近于；如果在附近都成立，则 于是就有 定理2-1：如果在区间a, b上连续可微的迭代函数使得当时，并存在常数，使得对所有的都有，那么， (1) 在a, b上有唯一解；(2) 对任意初始值，迭代格式产生的序列将收敛于，即； (3) 误差估计 (2-5)定理2-1表明，当函数满足定理条件时，即是a, b内的一种压缩映射：对任意，都有，。从任意初值出发，由生成的序列总是收敛于。并且L越小，序列收敛越快。第(3)条给出利用控制迭代结果精度的依据。逐次代换法收敛条件的几何意义。 图2-5 逐次代换法的几何意义 考察例题2-3中三种迭代格式的收敛性。先确定含正根区间：连续，而，两者异号，说明正根在1.5, 2区间内。定理2-1要求迭代格式须满足自身映射并且有成立。格式(1)，当时，不是自身区间的映射，且在1.5, 2区间有，结果发散；格式(2)，当时，满足自身区间的映射，但，临界态，结果振荡；格式(3)，当时，满足自身区间的映射，而且，结果是取，收敛于。应该指出：定理2-1的条件对迭代格式的收敛只是充分的，而不是必要的。例如，对格式(3)取，虽然，但仍然收敛。2.5 迭代法在两个光学问题中的应用 一、由普朗克黑体辐射公式推导维恩位移定律 黑体辐射的普朗克公式 (2-6)式中：c为光速；k为玻尔兹曼常量；h为普朗克常数；黑体单色辐出度的含义是，在绝对温度T下，单位时间内从黑体单位面积上辐射出来的波长在附近的单位波长间隔内的辐射能。维恩位移定律描述的是黑体辐射曲线的峰值波长与相应温度T的关系： (2-7)式中：常数。从普朗克公式可以导出维恩位移定律。由，有 (2-8)其中：。式(2-8)是一个非线性方程，可以采用迭代法求解。将式(2-8)改写成迭代格式： (2-9)显然，是一个解，对应，非所求。另一个解在区间内，因为对于，两者异号，而在区间内连续，说明解在其中。考察定理2-1的条件是否满足：首先，容易验证当时，；其次，在区间内，有条件满足。取，经过5次迭代即可得到 得到维恩位移定律： (2-10)此式与式(2-7)完全一致。黑体辐射的另一个实验规律是斯特藩-玻尔兹曼定律，它也能从普朗克公式导出，相关讨论详见本书第四章。 二、单缝衍射的光强分布 在波动光学中，单缝衍射的光强公式为： (2-11)其中，；a是单缝宽度；是衍射角；是光波波长。单缝衍射明条纹的中心对应光强公式的极大值，由得到 (2-12)如图2-6，式(2-12)的解是曲线与直线交点对应的u值。 图2-6 正切曲线与直线的交点是方程的解结果为 (2-13)除u = 0之外，其它的结果可以通过迭代法获得。不过，由式(2-12)直接写出：，由于，迭代结果发散。采用变通方法，由式(2-12)求反函数，即 (2