2014年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 许昌学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张彦平 2. 李晓伟 3. 吴海峰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要对于问题一：由于嫦娥三号从近月点下落到着陆点的经度偏移很小，以月球庞大的体积来说几乎可以忽略不计，而且资料中也没有给出嫦娥三号下落过程中的经度偏移数据，所以我们可以假设嫦娥三号的近月点在月球上的投影坐标与着陆点在同一条经线上。根据嫦娥三号的质量和月球的引力等我们可以使用开普勒第二定律和能量守恒定律计算出嫦娥三号近月点远月点的速度分别为：=1.6927*(m/s)=1.6144*(m/s)方向分别为：近月点的方向相对于。然后可以根据距离与纬度的换算公式计算出嫦娥三号近月点和远月点的位置为：近月点：19.51W,44.12N,海拔15000m, 远月点：160.09E，44.12S，海拔100000m。然后我们根据附件中给出的嫦娥三号的具体参数使用万有引力定律 。 对于问题二：因为从高空一点向地面某一区域抛投物体有很多条轨迹，所以我们先计算出着陆轨道的六个阶段的最优控制策略，然后通过最优控制策略计算出一条最优着陆轨道。由于问题要求尽量减少软着陆过程的燃料消耗，所以我们建立基于燃料节省的最优控制策略。首先，建立动态优化模型，然后利用lingo对模型进行规划，通过lingo计算出六个阶段的最佳用时。然后根据计算所得的数据利用指数函数进行拟合，使用MATLAB画出着陆轨道各个方面的平面轨迹，这些平面轨迹就是着陆轨道的各方面的分解参数，综合起来就是着陆轨道的轨迹。对于问题三：由于引起误差的原因是多方面的，所以在进行误差分析时要全面考虑问题。我们通过敏感性分析得出这些误差对制导过程的影响，其中主要的误差影响因素是可变推动力，悬停时间，和避障阶段的水平运动。比冲、着陆所用总时间等不可测因素，在飞行过程中参数会由于一些因素的影响而产生一定的偏差，我们采用单因素敏感分析法，通过变动某个不可测因素得到新的着陆轨迹，与原轨迹进行比较。从仿真曲线图可以看出，优化轨道变化平缓，这些系统偏差对显式制导律的着陆效果并没有实质上的影响，都满足终端约束条件。关键字：软着陆轨道 动态优化模型 误差分析 敏感性分析一 问题重述1.1问题背景描述：嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，需要满足每个阶段在关键点所处的状态；并且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。据悉，嫦娥三号将在近月点15公里处以拋物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。时整个过程大概需要十几分钟的间。探测器系统副总指挥谭梅将其称为“黑色750秒”。1.2问题研究：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置（以三维坐标表示），以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二 问题分析2.1 对于问题（1）：要分两步来解决，第一步计算出近月点和远月点的位置，第二步计算出近月点和远月点相应的速度和方向。通过分析，我们知道要求近月点和远月点的位置需要先求出近月点的速度，因此我们要先算出近月点和远月点相应的速度和方向。对此，需要考虑很多因素，比如太阳的引力摄动，地球的引力摄动，月球的引力摄动等，不过这些因素对方向和速度的影响很小几乎可以忽略不计，所以可以使用开普勒定律和能量守恒定律建立模型求解速度。通过速度求位移进而求出速度的方向。第一步要求我们在月球赤道经线黄道经线，卫星轨道的升交点和星下线未知的情况下求解，通过查资料我们发现嫦娥三号在下落过程中经度的偏移很小，近月点与着陆点几乎处在同一条经线上，所以我们假设近月点和着陆点处在同一条经线上。然后就可以通过嫦娥三号在着月点坐标推算出嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点和远月点位置。由于位置可以用三维坐标（即经纬坐标加海拔）来表示，所以我们可以通过计算近月点在月球上的投影坐标和资料中给出的着陆轨迹来推算近月点的位置，近月点的位置计算出来以后远月点的位置也就相应的可以得出。2.2 对于问题（2）：同样分为两步来计算，第一步确定嫦娥三号的着陆轨道，第二步确定嫦娥三号的着陆轨道六个阶段的最优控制策略。嫦娥三号的着陆轨道有很大的不确定性，在下落过程中也不是一条严格意义上的抛物线，所以想要确定这样的一条线路有很大难度，对于现在的我们来说几乎是不可能完成的工作。所以我们先计算资料中叙述比较详细的六个阶段的最优控制策略然后根据策略计算出着陆轨道。由于软着陆分为六个阶段，每个阶段主推动器的推力不是固定的，所以在计算过程中要考虑燃料的消耗和主推动器的推力。在下落过程中嫦娥三号在不停的调整姿势，所以它的受力方向也是在不断改变的，这些不确定因素加大了我们计算最优策略的难度。为了简化计算过程我们需要通过假设消除一些不稳定因素。得到相对理想的状态后，我们就根据动力学原理建立飞行动力学模型，然后通过lingo可以计算出最优控制策略的方案。因为快速调整阶段之后的三个阶段处于垂直下降状态，所以它们的轨迹可以假定为一条直线，着陆点的坐标已给出这三个阶段的高度也已经给出，所以这三个阶段的轨迹无需计算。而着陆准备轨道阶段的轨迹可以由近月点和远月点的位置确定，这个问题在第一问时已经解决，所以着陆轨道的轨迹只需要考虑主减速阶段和快速调整阶段的轨迹。可以考虑用着陆轨道的水平夹角，水平位移、垂直位移与时间的关系等来确定着陆轨道的轨迹。2.3对于问题（3）：由于资料中涉及到的数据极少，而且没有真值作为参考，所以相对误差和绝对误差的误差计算方法在本题并不适用。所以，我们试图通过对一些不确定因素和计算过程中忽略和假设的因素进行综合比较分析出误差的形成原因及后果。通过单因素敏感分析建立敏感性分析模型，然后计算出误差对制导过程的影响程度。 三 模型的假设假设1：假设主减速和快速调整阶段均以抛物线状态下降假设2：假设快速调整后水平速度为0m/s，垂直速度为57m/s假设3：假设嫦娥三号下落点与近月点处于同一经度假设4：假设在软着陆过程的各个阶段嫦娥三号所受推力大小分别保持不变假设5：假设在准备着陆时探测器本身加上推进剂全部质量为3780kg，且在主减速阶段（资料显示）假设6：假设嫦娥三号着陆的过程中不会经过陨石带 四 符号说明：近月点速度的大小：远月点的速度大小：近月点水平方向初速度：快速调整阶段的末速度：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段水平方向的位移：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段垂直方向的位移：近月点与月心的距离：远月点与月心的距离：月球的质量：万有引力常量： 嫦娥三号的质量：着陆轨道主减速和快速调整两阶段水平方向加速度：着陆轨道垂直方向加速度：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段的用时：偏离近月点与月心连线的垂线的方向的度数：以米/秒为单位的比冲；：单位时间燃料消耗的公斤数。：第i个阶段所受的推力（i=1,2,3,4,5）：第i个阶段末探测器本身加上推进剂质量和（i=1,2,3,4,5）：第i个阶段末嫦娥三号竖直方向的速度（i=1,2,3,4,5）：第i个阶段竖直方向的距离（i=1,2,3,4,5）：第i个阶段所经历的时间（i=1,2,3,4,5）：发动机的推力，单位是牛顿； 五 模型的建立和求解 5.1 问题一：5.1.1 名词释义：开普勒第二定律：开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。机械能守恒：在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内(或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个规律叫做机械能守恒定律。机械能指的是宏观物质所表现出的势能（也称为位能）与动能的总和，也称为力学能。5.1.2 模型建立和求解： 由开普勒第二定律知嫦娥三号在某个点的速率大小与该点到月心的距离的乘积是个定值即： 由机械能守恒定理得，如果以无穷远处为势能零点，那么近月点嫦娥三号的势能为，远月点嫦娥三号的势能为。近月点嫦娥三号的动能为，远月点嫦娥三号的动能为所以：用MATLAB(程序见附件一)计算得：=1.6927*(m/s) =1.6144*(m/s)由物理基础知识可计算出主减速和快速调整阶段水平方向位移，进而求得近月点速度的方向，计算过程如下： t=442s =375.7km 我们根据资料给出的情况以月心为坐标以近月点为正方向建立月心坐标系，如图5.1.1所示： 图5.1.1：月心坐标系嫦娥三号在近月点的速度方向为偏离近月点切线方向度。由于资料中给出卫星在主减速阶段之后的位置在着陆点的上方，我们可以通过主减速和快速调整阶段的水平方向的位移根据假设3计算出近月点与着陆点纬度偏差。通过查找资料我们确定纬度与距离的关系为同一经线上纬度一度的偏差大约为111km。综上所述，再根据预定着陆点的三维坐标坐标可以计算出近月点的三维坐标为：19.51W,40.73N,海拔15000m, 远月点三维坐标为：160.09E，40.73S，海拔100000m。近月点运行速度=1.6927*(m/s)方向 ，远月点运行速度=1.6144*(m/s)方向5.2 问题二：5.2.1 模型的建立和求解：建立模型时在满足每个阶段在关键点所处的状态下，要尽量减少软着陆过程的燃料消耗，由公式（=2940）可知，要使最小，即使的和最小。（建立动态优化模型，利用lingo进行规划）：运用lingo进行运算（程序见附件二），结果为：i12345F（N）750015004216.173278.31382873T（s）548.721.6120.143.516.1得出最优控制策略为：主减速阶段：时间：548.7s推力7500N；快速调整阶段：时间：21.6s，推力：1500N；粗避障阶段：时间：43.5s，推力：3278.31N；精避障阶段：时间：43.5s，推力：3278.31N；缓降阶段：时间16.1s，推力：3828.73N。因为快速调整阶段之后的三个阶段处于垂直下降状态（在避障过程中可能要进行左右移动，但移动距离相对较小。），所以它们的轨迹可以假定为一条直线，着陆点的坐标已给出这三个阶段的高度也已经给出，所以这三个阶段的轨迹无需计算。而着陆准备轨道阶段的轨迹可以由近月点和远月点的位置确定，这个问题在问题一已经解决，所以着陆轨道的轨迹只需要考虑主减速阶段和快速调整阶段的轨迹。在最优控制策略下，得到第一阶段末、第二阶段末的水平方向的位移、速度，竖直方向上的位移与速度，以及运动方向与水平方向的夹角，从而得到各个变量与时间的关系。首先分析夹角p与时间t的关系而p随时间t的变化连续而光滑的，在开始阶段p随时间t的变化量较小，而后又急剧增加，因此考虑用指数函数来拟合。模型建立（指数函数模型）（A,B均为未知常量），将三组数据带入便可求得A=1.0017，B=1，即p随时间t变化的函数为：，利用matlab做出函数曲线如下图（代码见附件三）通过 我们使用MATLAB计算出着陆轨道运动方向与水平方向的夹角p与时间的关系如图5.2.1所示： 图5.2.1通过我们使用MATLAB计算出着陆轨道竖直方向速度与时间的关系如图5.2.2所示： 图5.2.2通过我们使用MATLAB计算出着陆轨道竖直方向的位移与时间的关系如图5.2.3所示： 图 5.2.3通过我们使用MATLAB计算出着陆轨道水平位移与时间的关系如图5.2.4所示： 图 5.2.4通过我们使用MATLAB计算出着陆轨道水平方向速度与时间的关系如图5.2.5所示： 图5.2.5 以上五幅图可以综合的描绘出着陆轨道相对于最优策略的轨迹。 5.3 问题三： 5.3.1 名词释义：误差分析：误差分析是指对误差在完成系统功能时，对所要求的目标的偏离产生的原因、后果及发生在系统的哪一个阶段进行分析，以消除或把误差减少到最低限度。敏感性分析：敏感性分析是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化对某一个或一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。其实质是通过逐一改变相关变量数值的方法来解释关键指标受这些因素变动影响大小的规律。5.3.2 模型的建立和求解: 误差来源主要分为测量误差和系统误差，嫦娥三号着陆的实际过程中初始位置，速度等的误差，系统参数偏差和某些不定因素的影响都会对我们设计的着陆轨道和控制策略造成一定的影响，误差是不可能绝对避免的，下面主要对一下几点误差进行分析。 1、我们在设计着陆轨道和控制策略的过程中忽略了月球自转，非球形摄动等因素的影响，简化了问题，但对于嫦娥三号飞行速度的计算造成了误差； 2、确定嫦娥三号在6个阶段的最优控制策略的过程中，忽略了最后的悬停时间，并将这段时间分摊到其他的几个阶段，使得整个过程的时间计算不准确； 3、在粗避障和精避障阶段未进行精确分析，未考虑嫦娥三号避障过程中水平移动及避障时间，这会产生较大的误差；4、软着陆的避障段的自主导航以惯性导航为基础，我们在设计的过程中未考虑惯性，将会产生惯性导航误差；5、推动力产生的推力应是变推力，我们在实际的计算过程中六个着月阶段之间是变推力，但是各个阶段之内未能运用变推力，并且在整个解题过程中，我们使用了一些方便做题的假设，使得问题大大简化，同时也使得结果不精确；测量误差和系统参数偏差是影响软着陆制导精度的主要原因，在存在测量误差和参数误差的情况下实现软着陆，满足终端条件是对软着陆控制系统的一个基本要求。而比冲以及着陆总时间都是不可测的，它们是在发射以前在地面标定给出的，但在飞行过程中参数会由于一定的影响而产生一定的偏差，考察这些偏差对制导过程的影响就显得十分重要。我们通过MATLAB（代码见附件四）进行单因素敏感分析。1）当比冲从2940m/s变为3000m/s时，水平方向上的位移、速度以及竖直方向上的速度也分别发生变化，变化结果如图5.3.1所示：图5.3.1注：实线是比冲为2940m/s情况下各变量的变化情况，虚线为比冲是3000m/s情况下各变量的变化情况2）、当总过程时间为700（不包含下落过程悬浮状态的时间）秒时，水平方向上的位移、速度以及竖直方向上的速度也分别发生变化，变化结果如图5.1.2所示： 图5.3.2注：实线是总时间t为750s情况下各变量的变化情况，虚线为总时间t是700s情况下各变量的变化情况显式制导律只和当前的状态信息，终端约束有关。从仿真曲线图可以看出，这些系统偏差对显式制导律的着陆效果并没有实质上的影响，都满足终端约束条件。从图1和图2可以看出：优化轨道变化平缓 ，能很好地收敛到终端约束值，且精度较高，说明探月器可以精确稳定地到达月球表面。仿真初始参数选取相对自由，因此 ，结果也说明了显示制导律对于初始状态量和控制量的取值不敏感，具有很好的鲁棒性。说明该方法具有一定的实时性。 六 模型的优化和评价 优化：1.计算结果表明：推力方向可变时比不可变时节省能量；若令推力大小也可变，则制动期间发动机一直以最大推力工作最省能量；推力大小是否可变不涉及能量问题，但若推力大小可变，则相当于采用了多级制动，对安全定点着陆非常有利。因此在有条件的情况下还是尽量使用可变推力进行计算。 2.在可以查找到嫦娥三号下落过程中左右偏移数据的情况下，为了精确定位可以不用假设近月点在月球表面的投影与着陆点的经度保持一致。 3.如果可以找到相关数据使用开普勒轨道根数来计算近月点和远月点的坐标，进而确定整个着陆准备轨道会更加精确。 评价：本模型在资料和时间并不充足的情况下，基本成功的完成了既定的任务。模型将天文、物理、数学知识综合在一起，很好的解决了一些实际问题，也是一种比较新颖的模型建立方法。虽然模型由于一些客观原因仍然存在一些瑕疵，但总体来说本模型是一个很好的此类问题的模型。能够在这么急促的情况下建立相对完善的模型来解决目目标问题，可见我们的努力。 七 参考文献 【1】曹戈，MATLAB教程及实训，北京：机械工业出版社，2012年1月第一版【2】张德喜 赵磊生，MA