《正切函数的图像与性质及其应用》导学案.doc

第7课时正切函数的图像与性质及其应用1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法.2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题. 3.掌握正切函数的性质.常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线,研究了正弦、余弦函数的图像,利用正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质,今天我们使用类似的方法来探讨正切函数的图像及性质.问题1:正切函数及相关概念(1)正切函数的定义在直角坐标系中,角满足:R,且,角的终边与单位圆交于点P(a,b),则比值叫作角的正切函数,记作y=tan (R,且2+k,kZ).(2)正切函数与正、余弦函数的关系tan =(R,且2+k,kZ).(3)正切线的定义在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),过点A作x轴的垂线,与角的相交于T点,则称为角的正切线.问题2:正切曲线的图像及其特点(1)y=tan x(xR,且x2+k,kZ)的图像.(2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的,它不具有有界性,向上和向下都是无限延伸的.问题3:(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法:类似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里三个点为,两线为直线、(其中kZ),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到y=tan x在一个周期上的简图.(2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是.正切函数对称轴.问题4:正切函数的性质(1)正切函数y=tan x的定义域是,值域为.(2)正切函数y=tan x的图像与x轴的交点的横坐标是.(3)正切函数y=tan x在每一个开区间内单调递增,但不能说在整个定义域上是单调递增函数.(4)正切函数y=tan x在定义域上是函数.1.已知角的终边与单位圆交于点(12,-32),则tan 等于()A.12 B.-32 C.-3 D.-332.如果x(0,2),则函数y=sinx+-tanx的定义域是()A.x|0xB.x|2xC.x|2xD.x|32x0的x的取值范围.正切型函数的定义域、值域问题函数f(x)=1tanx-1的定义域是.解含正切函数的不等式及求三角函数值解不等式tan x33.正切型函数的单调性问题求函数y=tan(-3x-3)的单调区间.求函数y=tan(x+3)的定义域.已知角终边上一点坐标为(3,-4),求2sin(-)+3tan(3-)sin(-2)4cos(-3)的值.求函数y=tan(x+3)的单调区间.1.函数y=tan(4+x)的定义域是().A.x|x4,xRB.x|x-4,xRC.x|xk+34,xRD.x|xk+4,xR2.函数y=sin xtan x是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数3.tan 2与tan 3的大小关系是.4.求函数y=-2tan(3x+3)的定义域、值域,并指出它的奇偶性和单调性.(2010年全国大纲卷)记cos(-80)=k,那么tan 100等于().A.1-k2kB.-1-k2kC.k1-k2D.-k1-k2 考题变式(我来改编):第7课时正切函数的图像与性质及其应用知识体系梳理问题1:(1)2+k(kZ)ba(2)sincos(3)终边或终边的延长线线段AT问题2:(2)x=k+2(kZ)问题3:(1)(k,0)(k+4,1)(k-4,-1)x=k+2x=k-2(2)(k2,0)(kZ)无问题4:(1)x|xR,x2+k,kZR(2)k(kZ)(3)(k-2,k+2)(4)奇基础学习交流1.C由正切函数的定义可知tan =-3212=-3.2.C由sinx0,-tanx0得sinx0,tanx0,又x(0,2),解得20的x的范围为0x0的x的取值范围为(k,k+2)(kZ).重点难点探究探究一:【解析】要使函数有意义,应有x2+k,kZ,tanx1,即x2+k,且x4+k(kZ).即定义域为x|xR,且x2+k,x4+k,kZ.【答案】x|xR,且x2+k,x4+k,kZ【小结】求正切函数的定义域,注意y=tan x的定义域是x|xR,x2+k,kZ.探究二:【解析】在同一坐标系中,作出y=tan x,x(-2,2)和y=33的图像,如图所示,它们的交点为(6,33),满足tan x33的x的取值范围为(-2,6.原不等式的解为x|-2+kx6+k,kZ.【小结】解三角不等式可运用单位圆或三角函数图像,注意数形结合的思想和方法的应用,对于正切函数,一定要注意其定义域.探究三:【解析】y=tan(-3x-3),由-2+k-3x-32+k,得-k3-518x-k3+18(kZ).所以函数y=tan(-3x-3)的单调递减区间为(-k3-518,-k3+18)(kZ).问题求函数y=Atan(x+)的单调区间时,注意了A、的符号对单调性的影响吗? 结论注意此处x的系数为负.于是,正确解答如下:y=tan(-3x-3)=-tan(3x+3).由-2+k3x+32+k,得k3-518xk3+18(kZ).所以函数y=tan(-3x-3)的单调递减区间为(k3-518,k3+18)(kZ).【小结】有关复合函数的单调性问题应注意把握原则,即“同增异减”.思维拓展应用应用一:由x+3k+2(kZ)得,xk+6(kZ),y=tan(x+3)的定义域为x|xR且xk+6,kZ.应用二:终边上一点的坐标为(3,-4),tan =-43,2sin(-)+3tan(3-)sin(-2)4cos(-3)=-2sin(-)+3tan(-)-sin(2-)4cos(-)=-2sin+3tancos-4cos=-2sin+3sin-4cos=-14tan =13.应用三:由x+3k+2(kZ)得,xk+6(kZ),y=tan(x+3)的定义域为x|xR且xk+6,kZ.又由y=tan x在每个区间(k-2,k+2)(kZ)上是增函数可知,当k-2x+3k+2,即k-56xk+6(kZ)时,y=tan(x+3)是增函数.y=tan(x+3)的单调递增区间为(k-56,k+6)(kZ).基础智能检测1.D由4+x2+k得,x4+k(kZ),故选D.2.Bf(-x)=sin(-x)tan(-x)=(-si