矩阵和行列式初步.doc

2008学年高二数学教案第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 9.1 矩阵的概念（2）教学目标1、 掌握矩阵的三种基本变换；2、掌握运用矩阵基本变换求线性方程组的解。教学重点运用矩阵基本变换求线性方程组的解。教学难点如何利用系数矩阵判断线性方程组是否有解。教学过程一、复习引入：根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：这些方程组为；。这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。二、新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。三、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）解：设一元硬币有个，五角硬币有个，则根据题意可得：加到不变 则该方程组的增广矩阵为，设、分别表示矩阵的第1、2行，对矩阵进行下列变换：不变不变 加到不变 由最后一个矩阵可知：答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。解：此方程对应的增广矩阵为：设此矩阵第1、2、3行分别为、，对此矩阵进行下列变换：加到加到不变 、不变加到加到不变 加到加到不变、不变 交换、不变， 此方程组的解为说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量； 2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。例3、运用矩阵变换方法解方程组：（、为常数）加到不变解：此方程组对应的增广矩阵为：，设、分别表示此矩阵的第1、2行，对此矩阵进行下列变换： ）当，即时，以上矩阵可作如下变换：加到不变不变 不变 ，此时方程有唯一解；）当即时，若即时，方程组无解；）当即时且时，方程组有无穷多解，它们均符合。说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解； （3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。四、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组的解与相等，求的值。解： 解得，由题意知：求得：。（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为克，每只黑球和白球的质量各是多少克？第一次称量第二次称量解：设黑球和白球的质量各为、千克，则由题意知：通过矩阵变换解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。（3）解方程组：解：即方程组的解为。五、小结：本课学习了利用矩阵的三种基本变换求解线性方程组的解，此方法的实质为加减消元法解线性方程组，通过基本变换，将方程组对应的增广矩阵的系数矩阵化为单位矩阵，则最后一个列向量即为