随机信号第一章-复过程-正态_讲稿.doc

第一章 随机过程1.4.3 复随机过程及其数字特征复随机变量的定义 ，其中和皆为实随机变量的数学期望可定义为令 则 的方差可定义为（模平方的均值），和的相关矩定义为其中，和为协方差，和为二阶混合中心矩。当时，。若，则称和独立；若，或，则称和不相关；若，则称和正交。一、 复随机过程的构成定义32：设和是两个实随机过程，则可按以下方式构成复随机过程 任意个时刻的状态的统计特性可以由和的维联合概率分布来完整描述。其联合概率分布可表示为若对的阶混合偏导数存在，则称为复随机过程的维联合概率密度函数。 二、复随机过程的数字特征的数学期望可定义为 的方差可定义为的自相关函数可定义为的自协方差函数可定义为当时，。若满足：X Y平稳（1） （2） 则称为宽平稳的复随机过程。对于两个复随机过程和，它们的互相关函数和互协方差函数分别定义为： 两个平稳的复随机过程和，若满足： 则称和联合平稳。若有 则称和互不相关。如果 则称和为复正交过程。例1-12 设和是不相关的实随机变量，并且均值都为0，方差相等为1，问复过程是否宽平稳。解：因为 所以是宽平稳的。1.5正态随机过程概率论中的中心极限定理已经证明，大量独立的、均匀微小的随机变量之和都近似地服从正态（高斯）分布。在电子系统中常见的电阻热噪声、电子管（或晶体管）的散弹噪声、大气和宇宙噪声以及云雨杂波和地物杂波都是或近似是正态随机过程。正态随机过程具有一些特性，便于数学分析，因而常用作噪声的理论模型，它是随机过程理论中的一个重要研究对象。1.5.1正态随机过程的概念如果一个实随机过程的任意个时刻的状态服从维正态分布，即式中，是维均值向量，是维协方差矩阵则称为正态随机过程（高斯随机过程）。 为相关系数，和为均方差。从上式可见：正态随机过程的维概率密度只取决于它的均值、方差和相关系数，即一、二阶矩，因此它是二阶矩过程的一个重要子类。如果一个复随机过程的任意个时刻的状态的维联合概率密度函数服从正态分布，则称为复正态随机过程。下面仅对实正态随机过程讨论，其结果可以很方便地推广到复正态随机过程。1.5.2平稳正态随机过程如果正态随机过程满足：（1）=常数； （2）， 则此正态过程是宽平稳的，称为宽平稳正态随机过程。下面我们来简化平稳正态随机过程的维联合概率密度，现重写如下，即方阵的元素为，是由相关系数构成的行列式又，为的伴随方阵，它是由的各个代数余子式所构成的方阵故，其中为由的各个代数余子式所构成的方阵，即为中的代数余子式。这样，。因此，代入后得此时的概率密度函数仅取决于时间差值，而与计时起点无关，所以也是严平稳的。也就是说，对于正态过程宽平稳和严平稳是等价的。可得平稳正态随机过程的特征函数式中。在实际中，我们经常用到的是平稳正态过程的一维和二维概率密度，令，可得这里，相关系数。 同理，可由式（1.5.5）中分别令和来得到平稳正态过程的一维和二维特征函数。1.5.3正态随机过程的性质 正态随机过程具有许多重要特性，使它具有许多数学上的优点下面介绍几个主要性质：（1）正态随机过程完全由它的均值和协方差函数（相关函数）决定。这可由概率密度表达式直观得出。 （2）正态随机过程在个不同时刻上的取值互不相关与相互独立等价。证：若正态随机过程在个不同时刻上的取值互不相关，所以有 因此有即可推出正态随机过程在个不同时刻上的取值相互独立。若正态随机过程在个不同时刻上的取值互相独立，则对任意的且有即可推出正态随机过程在个不同时刻上的取值互不相关。 证毕我们知道，两个随机变量相互独立，那么他们不相关，不相关不一定相互独立。但在正态随机过程情况下，不相关则意味着相互独立。此结论还可推广到多个正态随机过程中去。若两个正态随机过程互不相关，则这两个正态随机过程也是相互独立的。（3）正态随机过程与确定信号之和的概率密度函数仍然服从正态分布。通常通信和雷达系统中的接收机所接收的信号是噪声与信号叠加在一起的合成信号，噪声一般服从正态分布。设合成信号为，下面由的概率密度函数来推导合成信号的概率密度函数。考虑所以有 上式对应的雅可比变换公式为从而可得的联合概率密度函数为考虑到信号和噪声通常是相互独立，确定信号的概率密度可表示为，便有 其中是噪声的一维概率密度，它服从正态分布，所以的一维概率密度也服从正态分布。同理可得合成信号的二维概率密度为 类似可得合成信号的维概率密度为从以上讨论可知，当为正态随机过程时，合成信号仍然是一个正态随机过程。当平稳时，若是的函数时，合成信号不再平稳。要给出的具体表达式，只须使用代替式概率密度表达式中的指数项中每一对即可。（4）若为维正态随机变量序列，且均方收敛于，即对每个，有 （1.5.8）则为正态分布的随机变量。证：设和的均值向量和协方差矩阵分别为E=m(k)=，E=m=K(k)=E( (k)-m(k)( (k)-m(k)T， K=E(-m)(-m)T因为 (k)均方收敛于，故故有，由于为维正态随机变量，则其对应的特征函数为juTm(k) uTK(k) u对上式两边取极限得juT(m(k) ) uT(K(k) )u =expjuTm uTKu= 所以是正态分布的随机变量。 证毕 （5）若正态随机过程在上是均方可微的，则其导数也是正态过程。证：对任意的及，构造维随机向量由正态随机变量的线性变换的不变性可知，该随机向量服从维正态分布。由于在上均方可微，故对每个而言，均方收敛于，。所以是维正态随机向量。即是一正态过程。 证毕（6）若正态随机过程在上是均方可积的，则 和 也是正态过程。证：设是上的一系列分点，作由于是正态过程，所以是正态随机变量。又因为均方可积，所以收敛，从而也是维正态随机向量。根据随机积分的定义可知也是正态过程。 同理是高斯变量集合的线性变换，故是正态过程。 证毕由此可见，正态过程经过线性系统，其输出仍是正态过程。 例1-13 设一个零均值高斯过程，其协方差为 求：在时刻抽