透视图椭圆论文.06.5.10.doc

基金项目：河南省科技公关项目（编号20025700002）。中心投影与平行投影椭圆对应关系的研究杨道富 (黄河水利职业技术学院 河南 开封 475001)摘要：在中心投影和平行投影之间建立起几何对应关系，中心投影下空间一个圆的投影变成椭圆，但是不能确定椭圆共轭轴的位置、方向以及长轴与短轴的长度。透射对应与任意位置的透视对应之间的变化称为中心射影的同族变化，透视对应中原像和映像之间平行二重直线的线段具有平行性和等简比性，研究了透视对应中空间圆与射影椭圆的双心几何定理。空间任意圆的透视椭圆，是某单位圆的透视椭圆与仿射变换之积。推导出透视图中各种位置圆的透视椭圆变换的结论。在理论上，为计算机绘制透视图椭圆时使用现有通用椭圆程序提供了新的途径和方法。关键词：透视椭圆；中心投影；平行投影；定理研究Research on Theorem of Ellipse in Perspective DrawingYANG DaofuYellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475001,Henan ChinaYellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475001,Henan ChinaAbstract: This paper attempts to build up a kind of internal relationship between center projection and parallel projection. Under the center projection, a circle is changed into an ellipse, but it cant decide the direction of conjugate axis and the length and position of major and minor axis of the ellipse, that can be solved by ellipse theorem in perspective drawing. Theoretically, it provides a new way or method to draw ellipse in perspective drawing by using current general elliptical program.Key words: perspective ellipse central projection parallel projection theorem study0 引言中心投影和平行投影之间原本没有什么关系，在几何学中分列两个体系讲述。理论上中心投影的中心点移到无限远时形成平行投影，此时两者的几何特性由量变产生了质的变化。一个偶然的实验引起了建立起二者几何对应关系的设想。现有资料表明，透视图中由于空间圆所处的位置不同，投影以后的椭圆随之变化；特别是空间的圆透视投影后，原来的圆心与投影后成为椭圆的椭圆心在两条投影线上，互相不对应（如图1所示），长短轴长度和位置无法确定，共轭直径位置也无法确定，使Auto CAD透视椭圆的图形输入产生定位困难1。针对这一问题，通过多年的证明论证和分析研究，推导出了一些公理和定理，建立了平行投影与中心投影之间的联系，为Auto CAD的透视图椭圆图形输入提供一些理论根据。该研究思想萌芽于1983年，成果曾在中国工程图学学会制图技术专业委员会学术年会上宣读。由于内容多，证明过程长达4万多字，现将研究成果公开，以便向图学和数学专业人员赐教。1 中心射影的同族变化中心射影中透视图的绘图原理如图1所示，设地平面为W场，垂直W场的画面为W场，S为视点，地平面W场上有一个圆在画面W场上的中心射影透视图为椭圆。S点到两平面场的垂线构成矩形，两场的平面沿X轴线旋转时，该矩形变化成平行四边形，平行四边形变化成一条线时最终两场的平面重合，有如下结果。在中心射影中，空间任意两场的透视对应，其中一场正时针转至两场重合，其图形唯一确定。反之，重合场的透射对应则可描述为画面与地面交角成任意位置的透视对应。透射对应与任意位置的透视对应称为中心射影的同族变化。(结论1)利用这个结论，只要证明画面与地面之间交角0180中任意一种位置的透视关系，则具有同族变化的普遍性。透射对应只是同族变化的特殊位置。图1 中心射影透视示意图Figure 1 Sketch of central projection perspective 2 平行二重轴线的对应线段成等简比在透视对应中（如图1所示），凡是原像（地平面W场）上平行于二重直线(画面与地面交线XX)的线段，其映像（画面W场）线段也必然平行于二重直线，两直线相交于无穷远的非固有点，它们之间的几何特性及其规律，经过运用射影几何中交比的特性证明，得出下述结论：透视对应中，原像和映像平行二重直线的对应线段不仅平行，而且具有等简比性。该结论称为二重直线的平行性与简比性(结论2)。 3 空间圆与中心射影椭圆的双心几何定理射影几何学透视对应中（如图1所示），当圆周上不存在与非固有点对应的点时，地平面W场上的圆射影后变成画面W场上的椭圆，在这种透射条件下，W场上圆的圆心透射后，不再是W场上透射椭圆的椭圆心位置。反过来，W场上的椭圆心在W场上圆的透射也不是圆心位置。根据中心射影的交比相等特性，利用“结论二”等简比的特性，经过证明找出了其中的几何关系及其规律，该规律命名为圆与射影椭圆的双心几何定理。空间场上的圆，射影成画面场上的椭圆，其圆心与椭圆心并不对应。空间场上圆心到椭圆心对应点的距离与画面场上椭圆心到圆心对应点的距离之比，等于双心所在圆直径与对应椭圆径向线段之比。(结论3)将前述3个结论结合起来，可以解决透视椭圆的理论作图问题，根据双心几何定理和透视对应中平行二重直线线段的等简比性，可以确定椭圆的长短轴位置和长度、或确定其共轭直径的位置和长度。 4 透视椭圆定理及推论在透视图作图中，引入射影几何里的射影椭圆的作图理论，利用上述结论，在中心投影和平行投影之间建立几何对应关系，以便利用现有的椭圆画图程序绘制透视图上的椭圆，该关系命名为透视椭圆定理：空间任意圆的透视椭圆，是某单位圆的透视椭圆与仿射变换之积。该定理说明空间任意位置和直径的圆透视后的透视椭圆，可以通过单位圆的任意位置透视，再经过仿射变换得到。仿射变换包括相似变换、位似变换、切移变换、伸缩变换、全等位移等手段，可以把一个单位圆的透视椭圆变换成任意形状、大小及方位的椭圆，再根据“仿射变换是相似变换与透视仿射变换之积”的原理2，可以解决透视图中椭圆的作图和定位问题。根据上述定理得出空间不同位置、不同直径圆的透视椭圆的作图理论：(1)空间同一个平面内圆的透视椭圆，是单位圆透视椭圆的相似、位似与切移之积。(2)空间同平面、同直径圆的透视椭圆，其中一个椭圆是另一个椭圆的位似与切移之积。(3)空间同平面、同直径且圆心距画面等距的透视椭圆，其中一个椭圆为另一个椭圆的切移变换，而且两个椭圆面积相等。(4)圆所在的场，圆中垂直和平行基线的径线，透视后为一对共轭直径方向。(5)空间任意位置圆的透视椭圆，是任意方位单位圆的透视椭圆与仿射变换之积。 5 各种位置的透视椭圆画图结论(1)平行画面的圆，透视图仍为圆。(2)水平面内圆的透视，若圆心与视轴线在铅垂面内时，则短轴垂直视平线及基线，长轴平分且垂直短轴，根据长短轴绘制椭圆，该椭圆称为正透视椭圆。(3)高低不同水平面内任意圆的透视图，可以通过另一个与其同径、圆心离画面等距离圆的正透视椭圆，通过切移变换得到。(4)画面和地面的垂直面内，且圆心在视平面内圆的透视椭圆，短轴重合视平线，长轴垂直且平分短轴，根据椭圆长短轴绘制椭圆。(5)画面和地面的垂直面内，圆心与画面等距任意位置的圆的透视，可以通过中心位于视平面内圆的透视椭圆，通过铅垂向的切移变换得到。(6)与地面垂直的平面内圆的透视椭圆，是同径、同面、圆心离画面等距圆的透视经过切移得到。 (7)画面垂直面内圆的透视椭圆可以用任意位置透视椭圆进行仿射变换得到。(8)空间任意一个方位圆的透视椭圆可以用任意位置上一个透视椭圆通过仿射变换得到。参考文献许松照画法几何及阴影透视北京：中国工业出版社，1982H切特维鲁新射影几何学北京：高等教育出版社，1981_作者简介：杨道富（1956-），男