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东莞市高中数学高三备考交流材料三角函数与平面向量 东莞高级中学 赵永红【三角函数部分】一、近三年广东省数学卷三角函数部分分析年份题号分值知识点所占比值04(5)(9)(11)(17)27三角函数运算、灵活运用、等比数列、三角函数的知识和运用能力18%05(13)(15)(16)18二项式定理、三角函数的知识和运用能力，函数的性质，求值12%06(15)14三角函数的知识和运用能力：诱导公式、周期、最值、求值。9.33%再看全国高考题可以发现：2004年，在15套试题中，除辽宁、上海两个省市没有命制三角函数解答试题外，其他的13道三角函数解答题，均处在解答题的第一个位置，涉及三角形的三角函数题有3题；三角函数知识内部综合的有11道，与学科外的知识（数列、向量）综合的有2道。 2005年，高考的16套试题中，出现三角函数解答试题的有12套，其中涉及三角形的三角函数求值7道，关联三角形的求值的4道，一求三角函数的最值或值域的有2道，与导数结合的有3道。 2006年，高考的18套试题中，出现三角函数解答试题的有18道（江苏没有，但上海有2道，其中一个为三角函数应用题），其中涉及三角形的有6道，求三角函数的最值的8道，和向量结合的4道。 由此可见： 三角函数解答题是高考命题的一个常考的基础性题形，其命题的热点是章节内部的三角函数求值、图象的性质问题，命题的冷点是跨章节的学科综合问题。二、课标解读：新课程标准（讨论搞）：1.三角函数（1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念. 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.（2）三角函数 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性. 理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大和最小值与轴交点等）.理解正切函数在区间（）的单调性. 理解同角三角函数的基本关系式： 了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.新课标强调三角函数是描述周期现象的重要函数模型，重点是三角函数的图象性质（含三角形应用）和应用。新课标重视集合的直观作用，借助三角函数图象（单位员圆）理解周期性，（在一个周期上的）单调性、最值、图象与x轴的交点等性质；重视信息技术直观地分析三角函数y=Asin（x+）的图象和性质极其变化规律；在三角函数应用部分，增加了范例和课时，突出数学建摸思想方法和应用意识；对传统的（简单的）三角恒等变形，要求能进行三角函数求值化简和证明，对积化和差、和差化积、半角公式只作为基本训练。 解三角形作为几何度量问题处理运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些测量和几何计算有关的实际问题，体现量化思想，对三角变换（含三角形中的恒等变形）应控制难度。三、复习建议： 试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前。因此，在复习过程中一要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质；二要对化简、求值和最值等重点内容进行复习；三要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系及三角知识的应用问题。 从06年考纲到现在的课标将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次。因此，考生在复习中要作出相应的调整，要能比较熟练地画出三角函数图象，理解诸如周期、单调性、最值、对称中心、对称轴之间的相互联系；在解答试题时，要注意先化简三角函数式，再研究其图象和性质。化简的思路是： 化为一角、一名、一次的正弦（余弦）。 宏观上的预测范围：三角函数的考查近年有逐步强化的趋势，主要表现在对三角函数的图像与性质的考查。 高考题型大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数图像有关的问题，应用同角变换和诱导公式，求三角函数的值及化简、等式的证明的问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题等。 难度对策：由于三角函数题是基础题，常规题，属于容易题、可做题的范畴，因此，三角函数部分的复习应控制在课本的范围和难度上，这样就能适应高考命题的要求。微观上的把握：1、根据06年考纲将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次。因此，在复习中要作出相应的调整，要能比较熟练地画出三角函数图象，理解诸如周期、单调性、最值、对称中心、对称轴之间的相互联系；在解答试题时，要注意先化简三角函数式，再研究其图象和性质。 化简的思路是：化为一角、一名、一次的正弦（余弦）。2、三角函数的化简、求值与证明。主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般运用和角与差角、倍角公式，常常采用以下一些基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=?等。 （3）降幂与升幂。 （4）化弦（切）法。 （5）引入辅助角（化一） asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ba确定。 （6）公式变用：tan+tan+tan（+）tantan=tan（+） 要注意三角变换一个难点也是易错点是：符号的确定。考生既要知道在用诱导公式和开方时要确定符号；又要真正理解确定符号如何看象限。 3、三角函数的应用，通过解三角形来考查学生三角恒等变形及对三角函数性质的综合应用能力；一要善于根据条件选用正弦和余弦定理，二要善于联想平面几何性质和向量工具，使得视野更加开阔。 四、【典例分析】（）理解三角函数的定义和同角关系和会用诱导公式，特别注意开方时符号的选取；1.如果，且是第四象限的角，那么_（）能运用和与差的三角函数公式、二倍角进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于三角运算的整个过程之中。2.已知函数，（）求的定义域；（）设是第四象限的角，且，求的值.解：（）由得。故的定义域为，（）因为且第四象限的角，所以故（）会用三角公式进行简单的三角函数式的化简和求值3.已知，（）求的值；（）求的值。解：()由，得，所以。（），。（）理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大和最小值与轴交点等）.理解正切函数在区间（）的单调性.4.已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D)【解析】即等价于，故选择答案C。（重点）5.已知函数.(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；解：（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即（选做）6. 已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算.解：（I）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，.过点，又.（II）解法一：，.又的周期为4，解法二：又的周期为4，（重点）7.已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）的最小正周期由题意得即的单调增区间为（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。（重点）8. 已知函数，.求:(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II)函数的单调增区间.【解析】(I)解法一:当,即时,取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.解法二:当,即时,取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.(II)解:由题意得:即:因此函数的单调增区间为.9.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C（5）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.10.用长度分别为（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A B C DB 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.11.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A） （B）（C） （D）D12.（应用题）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？ 【平面向量】一、近三年广东省数学卷平面向量部分分析年份题号分值知识点所占比值04(1)5向量垂直的坐标表示3.3%05(12)5向量平行的坐标表示3.3%06(4)(18)5向量的表示向量的数量积3.3%二、新课程标准：（1）平面向量的实际背景及基本概念 了解向量的实际背景. 理解平面向量的概念及向量相等的含义. 理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、【典例分析】（1）理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念; 平面向量的几何表示是平面几何性质的反映,向量的表示可以使平面几何的各类性质的表示和证明更为直观和易于理解.13.设平面向量的和，如果平面向量满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（）A B； C D解析：采用a1=a2=a3=1，且夹角为120故选D（2）掌握向量的加法和减法： 向量的加法与减法通常通过三角形法则和平行四 边形法则来体现，作图过程中应注意其方向以及向量的起点和终点间的关系14.如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B.图1C. D. ，故选A.15.如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）（A） （B）（C） （D） (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件两个向量平行的充要条件:16.已知向量则x= .17.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为（A） （B） （C） （D）18.与向量的夹角相等，且模为1的向量是（）（A） （B）（C） （D）B(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算19.已知向量（ ）A30B60 C120D15020.已知向量a=（，1），b是不平行于x轴的单位向量，且ab=,则b=A.（） B.（） C.（） D.（1，0）(5)了解平面向量的数量积及其几何意义,了解用理解平面向量的数量积可以处理有关的长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。两个非零向量垂直的充要条件：21.如图,已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A） （B） （C） （D）22.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点 ()掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式23.设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【解析】解得:,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.三、三角函数与平面向量的综合1.将向量应用到解三角形24.在OAB中，O为坐标原点，则OAB的面积达到最大值时，ABCD2.运用向量解决三角问题,有时建立向量模型利用向量的数量积、共线条件等知识解题25.求3.将向量与三角变换、三角函数图象和性质结合起来26.已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形D27.已知A、B、C是三内角，向量且（）求角A； （）若本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（）即,（）由题知，整理得或而使，舍去28.已知向量（I）若求（II）求的最大值。解