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第8章完备度量空间(简介)8.1度量空间的完备化定义8.1.1设(X,)是一个度量空间X中的一个序列 ,如果对于任意给定的实数0,存在整数N0,使得当i,jN时,有 ,则称序列是一个Cauchy序列如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,)是一个完备的度量空间易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然例8.1.1实数空间R是一个完备的度量空间(证略)有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛(完备性不可遗传)完备性也不是一个拓扑不变性质例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为:容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量等价因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚(即(R,)与(R,d)是同胚空间)然而(R,)是一个完备度量空间,而(R,d)却不是因为其中的序列 是一个Cauchy序列,然而却不收敛验证如下:取,则当i,jN时(设ix时是个确定的数即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数，这说明是不收敛于x的定理8.1.1完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间(闭遗传)引理8.1.2设(X,)是一个度量空间,如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则Y的闭包 中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛推论8.1.3设(X,)是一个度量空间Y是X的一个稠密子集如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间定理8.1.4n维欧氏空间和Hilbert空间H都是完备度量空间定义8.1.2设(X,)和(Y,d)是两个度量空间,f: XY如果对于任意x,yX有d(f(x),f(y)=(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,)与度量空间(Y,d)同距定义8.1.3设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化定理8.1.5每一个度量空间都有完备化定理8.1.6每一个度量空间的任意两个完备化同距8.2度量空间的完备性与紧致性定义8.2.1设(X,)是一个度量空间,0是一个实数X的有限子集A称为一个网,如果对于任何xX有(x,A)0,X有一个网,则称度量空间(X,)是完全有界的一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完
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