新课程理念中的新概念向量列.doc

新课程理念中的新概念向量列湖州中学 周晓尉按照新课程改革的精神，教师要充分调动学生自主学习的积极性，培养学生自主创新的能力。由此，作为教师，我们自然要在这方面苦下工夫。我们在高中课程中学习过数列的概念，研究过等差数列、等比数列这两个重要的特殊数列。由此，我想如果把数列里的每一项（数）改成其他的，会不会有什么值得我们思考与研究的地方呢？于是我就试着想到了向量，就是把数列中的每一项（数）改成向量，这样构成的一列向量姑且称之为向量列。按一定次序排成的一列向量叫做向量列。向量列的一般形式可以写成 简记作。其它的概念和数列类似，只要将数列中的“数”换成是“向量”就可以了，于是我们就想是不是有一些像等差数列，等比数列这种特殊数列那样的特殊向量列呢？（以下所提到的向量列中的向量均为非零向量）。一、等差向量列一般地，如果一个向量列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常向量，那么这个向量列就叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，通常用表示。用公式来表示就是：等差向量列的通项公式是，此时，若，则，这正好是两个等差数列的通项公式。 当把等差向量列中每一项向量起点放在同一个点时，则终点必定共线且各终点间距离都相等且为。如图当与共线时，即时，即各向量共线；当时，称为常向量列。二、共线（平行）向量列一般地，如果一个向量列从第2项起，每一项与它的前一项都共线，那么这个向量列就叫做共线向量列，也叫做平行向量列。用公式来表示就是：，其中为非零常数。共线向量列的通项公式是此时，若，则，即且当时，其中为非零常数，则，而此时且，这正好是两个等比数列与的通项公式，且公比都为。当把共线向量列中每一项向量起点放在同一个点时，则各个向量的终点都在同一条直线上。三、等数量积向量列一般地，如果一个向量列从第2项起，每一项与它的前一项的数量积等于同一个常数，那么这个向量列就叫做等数量积向量列，这个常数通常用表示。用公式来表示就是：此时，若，则特别地，在等数量积向量列中，若常数，即，则这个向量列就叫做垂直向量列，也就是说如果一个向量列从第2项起，每一项与它的前一项垂直，这样的向量列就叫做垂直向量列。此时，若，则当把垂直向量列中每一项向量起点放在同一个点时，则各个向量互相垂直或者互相共线。也就是说这些向量的终点都在两条相互垂直的直线上，两直线的交点就是这些向量的同一个起点。四、等模向量列一般地，如果一个向量列从第2项起，每一项与它的前一项的模都等于同一个常数，也就是各个向量的模均相等，那么这个向量列就叫做等模向量列，这个常数通常用表示。用公式来表示就是：此时，若，则当把等模向量列中每一项向量起点放在同一个点时，则终点必定共圆，而这个圆的圆心就是这些向量的同一个起点，半径为。我们来看一下关于向量列的几个例子：例1 在向量列中，则为（ ）A等差向量列 B等数量积向量列 C共线向量列 D等模向量列解答因为,所以，故是等差向量列；不为常数，故不是等数量积向量列；，故是共线向量列不为常数，故不是等模向量列选A、C例2 在向量列中，则为（ ）A等差向量列 B等数量积向量列 C共线向量列 D等模向量列解答 因为, ,所以不为常数，故不是等差向量列；为常数，故是等数量积向量列；与不共线，故不是共线向量列，故是等模向量列选B、D例3 在向量列中，则为（ ）A等差向量列 B等数量积向量列 C共线向量列 D等模向量列解答 因为, ,所以不为常数，故不是等差向量列；不为常数，故不是等数量积向量列；，故是共线向量列不为常数，故不是等模向量列选C例4 在向量列中，则为（ ）A等差向量列 B等数量积向量列 C共线向量列 D等模向量列解答 因为, ,所以不为常数，故不是等差向量列；不为常数，故不是等数量积向量列；，故是共线向量列不为常数，故不是等模向量列选C通过以上几个例子，我们得到一些关于特殊向量列的结论，这些结论和我们在教材中学过的数列的结论有类似的地方，也有一些不同之处。尤其是关于共线向量列的一些结论是我们值得注意与深思的。随着新课程的改革，关于平面向量与数列的联系是越来越紧密。这就需