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2 3 1双曲线的标准方程 1 2 例题讲评 例1 已知定点F1 3 0 F2 3 0 坐标平面上满足下列条件之一的动点P的轨迹 其中 是双曲线的有 3 5 2 练一练 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出及焦点坐标 答案 3 例2 如果方程表示双曲线 求m的取值范围 解 4 分析 5 例3 如果方程表示双曲线 求m的取值范围 方程表示双曲线时 则m的取值范围 变式一 返回 变式二 6 7 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c 双曲线定义及标准方程 8 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 9 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到F1 F2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 基本例题 10 例2 k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是 解 原方程化为 A 焦点在x轴上的椭圆 C 焦点在y轴上的椭圆 B 焦点在y轴上的双曲线 D 焦点在x轴上的双曲线 k 0 k2 1 01 k 0 方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线 故选 B 11 例3 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B 根据两圆外切的条件 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 这表明动点M与两定点C2 C1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点M的轨迹为双曲线的左支 点M与C2的距离大 与C1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点M的坐标为 x y 其轨迹方程为 12 变式 已知圆C1 x 3 2 y2 9和圆外一定点P 3 0 M是圆上任一点 PM的垂直平分线与C1M交于Q点 求点Q的轨迹方程 13 例4 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6 1 双曲线的标准方程为 2 若 F1 10 则 F2 4或16 3 若 F1 7 则 F2 13 14 变式 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到F1 F2的距离的差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 2a 8 c 5 a 4 c 5 b2 52 42 9 所以所求双曲线的标准方程为 15 16 17 18 例6已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点P1 P2的坐标分别为 3 9 4 5 求双曲线的标准方程 解 因为双曲线的焦点在y轴上 所以设所求双曲线的标准方程为 因为点P1 P2在双曲线上 所以点P1 P2的坐标适合方程 将 3 分别代入方程 中 得方程组 19 解得 a2 16 b2 9 故所求双曲线的标准方程为 20 21 例8一炮弹在某处爆炸 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s 1 爆炸点应在什么样的曲线上 2 已知A B两地相距800m 并且此时声速为340m s 求曲线的方程 解 1 由声速及A B两处听到爆炸声的时间差 可知A B两处与爆炸点的距离的差 因此爆炸点应位于以A B为焦点的双曲线上 22 2 如图8 14 建立直角坐标系xOy 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 设爆炸点P的坐标为 x y 则即2a 680 a 340 2c 800 c 400b2 c2 a2 44400所求双曲线的方程为 x 0 23 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例9 课本第54页例 已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 24 答 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 25 26 27 3 应用 1 定义 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2 课后思考 返回 小结 28 解 在 ABC中 BC 10 故顶点A的轨迹是以B C为焦点的双曲线的左支 又因c 5 a 3 则b 4 则顶点A的轨迹方程为 29 课堂练习 2 若椭圆与双曲线的焦点相同 则a 3 30 练习 若去掉焦点在X轴上的条件