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6.3 罗克拉美不等式 前面两节中我们介绍了矩法估计和极大似然估计，并讨论了估计量的优良性质；一致性和无偏性，现在我们再来讨论一个更直观而重要的性质。 我们知道，方差是一个随机变量落在它的均值E的邻域内的集中或分散程度一个度量，所以一个好的估计量，不仅仅应该是待估参数的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。因此，若参数有两个无偏估计量和，且对一切有D（）D（），则作为的估计，比好。 定义6.3 若参数有两个偏估计和，且对一切有D（）D（），则称估计比有效。 在例6.6中知道的极大似然估计=，显然它不是的无偏估计，但是当n时，E，所以是的一个渐近无偏估计。的方差D（）= 若我们令=。显然是的无偏估计，其方差D（）= D =由此得出，当n2时，无偏估计比无偏估计有效。 我们自然有这样一个想法，就是希望估计量的方差愈小愈好。那么能够小到什么程度呢？也就是有没有下界？什么条件下方差下界存在？下面我们就来讨论建立一个方差下界的罗克拉美不等式。 罗克拉美不等式 设，为取自具有概率函数，=a0称为信息量，则 （6.25）且等式成立的充要条件为存在一个不依赖于，但可能依赖于的K，使得等式 =K（-g（0） （6.26）以概率1成立。特别当g（0）=时，不等式（6.25）化为 （6.27） 这个不等式工罗和克拉美在差不多的时候提出，所以现在就称它为罗克拉美不等式，也称做信息不等式。（证明略） 有时我们称满足上述两个正则条件（1）和（2）的估计量为正规估计。由此我们看到，罗克拉美不等式所规定的下界不是整个无偏估计类的方差下界，而是无偏估计类中一个子集正规无偏估计类的方差下界。 为了计算信息量I()方便起见，我们证明一个重要性质。 性质 若= （6.36）则 I()=E （6.37）对于方差达到罗克拉美不等式下界的估计，我们给它一个名称如下。定义6.4 若的一个无偏估计使罗克拉美不等式中等式=成立，则称为的有效估计。定义6.5 若为的一个无偏估计，且罗克拉美不等式下界存在，则称与I()的比 （6.37）为估计的有效率，这里I()=E（）。(例题略) 定义6.6 当n时，一个估计的有效率e1，则称为参数的渐近有效估计。 系 满足定理6.1中条件得出的估计是渐近有效估计，因此它是渐近正态、渐近
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