数学建模案例车灯线光源的优化设计.pdf

第1页 共1页 2 0 0 2高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题 车灯线光源的优化设计 参考答案 注意 以下答案是命题人给出的 仅供参考 各评阅组应根据对题目的理解及学生 的解答 自主地进行评阅 一 假设和简化 略 二 模型的建立 建立坐标系如下图 记线光源长度为 l 功率为 W B C点的光强度分别为 lhBW和 lhCW 先求 lhB和 lhC的表达式 再建立整个问题的数学模型 以下均以毫米为单位 由所给信息不难求出车灯反射面方程为 60 22 yx z 焦点坐标为 0 0 15 1 位于点 P 0 w 15 的单位能量的点光源反射到点 C 0 2600 25015 的能量 设反射点的坐标为 Q 60 22 yx yx 记入射向量为a 该点反射面外法线方向为b 不难得到 反射向量c 满足 2 2 b b ba ac 记 222 yxr 由 1 30 30 15 60 2 yxb r wyxa 从而得 zyx cccc 的表达式 2 22 2 42 2 2 900 2900 900 18003600810000 60 900 x y z xyw c r wyr c r rrwy c r 注意到反射光通过 C点 应有 2 2600 25015 60 x y z kcx kcy kcr P Q b A CB 0 c a z y x 第2页 共2页 其中k为常数 从上述第一式可解得0 x或 wy r k 2 900 2 由此得反射点坐标满足以下两组 方程 5432 2 0 2600 1800 14982004680000 9360000810000 135081000021060000000 3750 13 2600 5200900 x ywyywywy w w y w xyy 通过计算可知 存在56 1 0 C w 当 C ww 0 时第一组方程不存在满足 22 36 r的实 根 即无反射点 而当 C ww 0 时 有两个反射点2 1 60 0 2 iyyQ iii 而第二组方程仅当5609 18119 3 w时存在满足 22 36 r的一对实根 即有两个反 射点 60 22 yx yx 记为 43 Q Q 若反射点的坐标为 zyxQ 则位于点 15 0 wP的单位能量点光源经Q点反射到 C点 的能量密度 单位面积的能量 正比于光强度 为 2 4 cos PQ L 其中 2222 1560 rwyxPQ 而 为反射向量与 z轴的夹角 60 25015 cos 2 QC r 2 lhlh CB 的表达式 长l的具有单位能量的线光源位于点 15 0 wP的长dw的微小线光源段反射到 C点的能量 密度为 4 1 lwfwE i i 其中 4 3 5609 1 8119 3 0 5609 1 8119 3 4 cos 2 1 30 0 2 4 cos 2 0 00 2 i w w PQ wf i ww wlw PQ wf i i i C C i i i 长l的具有单位能量的线光源反射到 C点的能量密度为 2 2 l l C dwwElh 第3页 共3页 类似可得 lhB的表达式 相应的反射点方程为 5432 2 0 1300 1800 14982002340000 4680000810000 135081000010530000000 7500 13 1300 2600900 x ywyywywy w w y w xyy 相应的 78 0 0 B w而第二组方程的有两个反射点的范围为 7800005 0 906 1 w 3 优化设计的数学模型 设线光源的功率为 W 则它反射到 B点和 C点的能量密度分别为WlhB 和WlhC 问题的数学模型为 1 2 min 0 0 Wlh Wlhts W C B ll 三 模型的求解 lhlh CB 可以用数值积分求得 lhB应具备下列性质 0 0 20 0 lll lll wll lh B BB B B B 其中 B l为起亮值 B l为最大值点 0 l为考察的最大范围 例如取为 20mm lhC也有类似的性 质 且起亮值和最大值点均相应地右移 数值求解 2 lhlh CB 记其解为 ll 再求出 CB ll 不难看出 CB ll 用到 ll 时 B h 当 ll 用到 ll 时 c h 这就证明了 w的确是最小值 事实上数值结果为62 3 22 6 16 3 lll CB 四 反射光亮区的计算 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合 计算每一点光源关于每一车灯反射 面元的反射光线 判断其是否与车灯反射面相交 若相交 一次反射光不能到达测试屏 否则求出 该反射光线与反射屏平面的交点 即为反射亮点 所有这些亮点的集合即为反射光亮区 亮区的上 第4页 共4页 半部分由下图所示 横坐标为 x 轴 纵坐标为 y 轴 单位为 mm 下半部分与上半部分是关于 x 轴 对称的 五 注记 1 计算 lhlh CB 的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决 具体的做法 是 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后 分别将线光源和车灯反射面离散化为 点光源和面元的集合 在测试屏 B 或 C 点附近取一微小面元 计算每一点光源关于每一车灯反射面 元的反射光线 将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来 除以面元的面积即为 B 或 C 点的反射能量密度 但用这样的方法必须十分注意结果的检验 注意计算精度 必须考察线光源和反射面的剖分密度 和测试