葡萄酒评价的数学模型.docx

葡萄酒评价的数学模型摘要本文主要探讨葡萄酒评价的相关问题，通过酿酒葡萄、葡萄酒的各种指标，利用主成分分析法、聚类分析法以及建立线性回归方程等方法，找出三者之间的关系，并对葡萄酒质量进行合理的评价。针对问题一，首先对已有数据分析处理，缺失数据用均值法弥补。考虑到品酒员的系统误差 (即异质性) 对同一酒样评价的差异，本文拟采用置信区间法，对处理后的数据进行转换，使不同酒员对同一酒样的评价趋于一致。然后建立t检验模型，判断出同一酒样两组品酒员的评价结果的显著性差异的存在。在对两组评价结果可信度的比较中，本文从纵向和横向两方面进行综合考虑，纵向利用Kendall指标系数,将其转换为Spearman相关系数，来判断每组各个品酒员对于同一酒样的评价结果基本一致的假设是否合理，进而得出两组结果的信度。横向比较一组中各个品酒员对于每一个酒样的整体评价的波动性，即通过比较方差来比较各组酒样评价结果的区分度，得出第二组方差较大，则其区分度更高，评价结果更为可信。针对问题二，由于酿酒葡萄的理化指标数据中包含的理化指标比较多，本文拟建立主成分分析模型，将原来的多个理化指标减少至少数的几个主要成分，以各酒样的整体评价得分来表示葡萄酒的质量，另作为一项指标，与降维后的指标一起，利用SPSS进行求解，得到红葡萄有14个主成分，白葡萄有15个主成分。之后利用各主成分与其贡献率乘积的和作为各酿酒葡萄的得分，对酿酒葡萄进行分类。之后利用聚类分析法，将相关系数大的酿酒葡萄归为一类，共得五类，求出每一类中各葡萄整体得分的平均值，按由高到低的顺序，并将均值较接近的两类合并，从而将五类葡萄划分四个等级，一等级：23、9、3、14、2、8、1 号酒样，二等级：10、25、26、27、12、18、6号酒样，三等级：22、20、21、13、16、19、5、15、7、24、17、4号酒样，四等级：11号酒样。针对问题三，利用主成分分析法，将葡萄酒的理化指标降维，得到其主成分。将葡萄酒的各个主成分作为因变量，酿酒葡萄的主成分作为自变量，建立线性回归模型，得到回归方程，即酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的线性关系。针对问题四，分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，同问题三，本文拟建立线性回归方程，得到三者之间的线性关系，用此线性关系来评价葡萄酒的质量。关键词 置信区间法； Kendall指标系数； t检验； 主成分分析法； 聚类分析法； 线性回归方程1、 问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？2、 模型假设(1) 假设置信区间后提出的理化指标对酿酒葡萄和葡萄酒的质量无影响。(2) 假定评酒员的评定结果中无参杂个人喜好，结果合理、公平。(3) 葡萄酒等级的划分不按国际标准。(4) 假设葡萄酒的质量只与酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标有关。3、 通用符号说明符号符号说明1品酒员 i 对酒样 j 评分的标准化值2品酒员 i 对酒样 j 的评分3均值4每一个被评价事物的K个等级之和5K评定者的个数6N被评价的事物的个数7标准化后的数据8标准差9T特征向量10F酿酒葡萄的主成分11Y葡萄酒的主成分4、 问题一：模型的分析、建立与求解4.1 问题分析对于问题一，分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信。考虑到在葡萄酒的感官评价中, 由于品酒员间存在评价尺度、 评价位置和评价方向等方面的差异, 导致不同品酒员对同一酒样评价的差异, 从而不能真 实反映不同酒样间差异。 因此,本文首先对已有数据进行处理，对于缺失数据用均值法进行弥补，来降低品酒员间的系统误差 (即异质性) ，真实的反映样品间的差异。为降低品酒员间的异质性，拟采用标准化法或置信区间法来对数据进行处理，使同组品酒员对同一酒样的评价趋于一致。然后判断一组品酒员对于各个酒样的整体评价得分是否符合正态分布，若符合，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。此时利用t检验判断对于同一酒样两组品酒员的评价结果是否存在显著性差异，进而得出两组品酒员整体的评价结果的显著性差异的存在。对于两组结果可信度的判断，本文欲从纵向和横向两个方面进行考虑，首先纵向判断每组各个品酒员对于同一酒样的评价结果基本一致的假设的合理性，本文拟采用Kendall和谐系数这一指标对结果进行求解，由于其不是一个标准的相关系数，则将其转化为Spearman相关系数的函数，建立公式求出两组结果的Spearman相关系数，对照Spearman相关系数等级表，从而判断假设是否符合，得出结果的信度。然后横向对两组对各酒样整体评价的区分度进行比较，分别求出各酒样得分之间的方差，比较大小。方差大者区分度更大，则结果更可信。4.2 模型的建立与求解4.2.1 模型准备置信区间法：置信区间法可以给出具有一定置信度的真值的存在范围，是定量计算可观测系统仿真模型精度的一种有效方法。t检验：是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。Kendall和谐系数：是用来表示多列等级变量相关程度的指标，最为常见的应用情况，就是K个评定者对N个事物进行等级评定，考察这N个评定者之间评分的一致性。为降低品酒员间的异质性，本文从标准化法和置信区间法之间选择其一。首先利用标准化法对数据进行选择。首先计算每个品酒员的平均值() 和标准差(), 然后通过下式对原始数据进行转换:= (- )/利用标准化处理后的数据，求解每一个品酒员对同一酒样评价的变异系数，如表1所示(仅列出前8个酒样)。发现虽然总体品酒员的方差为0,但对于同一酒样, 品酒员间的差异仍然存在, 其变异系数比原始数据的要大得多。 因此, 标准化法不仅没有消除品酒员间的异质性, 反而加大了品酒员间的差异。表1 标准化后品酒员的差异性酒样1酒样2酒样3酒样4酒样5酒样6酒样7酒样8品酒员10.027 0.038 0.043 0.028 0.040 0.039 0.034 0.034 品酒员20.033 0.040 0.042 0.032 0.036 0.034 0.035 0.037 品酒员30.025 0.043 0.045 0.033 0.036 0.036 0.038 0.033 品酒员40.030 0.041 0.043 0.037 0.035 0.034 0.036 0.036 品酒员50.038 0.045 0.034 0.029 0.042 0.041 0.029 0.038 品酒员60.031 0.040 0.045 0.041 0.032 0.035 0.042 0.036 品酒员70.037 0.043 0.038 0.039 0.035 0.036 0.037 0.036 品酒员80.031 0.040 0.042 0.032 0.043 0.033 0.030 0.043 品酒员90.035 0.040 0.039 0.039 0.038 0.038 0.039 0.035 品酒员100.031 0.036 0.037 0.038 0.035 0.041 0.041 0.037 CV12.992 6.461 8.647 13.612 9.088 8.055 12.234 7.654 因此，本文采用置信区间法对数据进行处理，计算出所有品酒员对同一酒样的平均值() 及其标准差(), 则有品酒员 i 对酒样 j 评价的置信区间为。如果品酒员 i 对酒样 j 的评价() 在其置信区间范围内就可以直接使用; 如果其评价() 不在置信区间范围内, 则将品酒员的评价xij进行逐步调整, 使不同品酒员对同一酒样的评价值都处于范围内, 即:若 j, 则 = -；得到评价结果经置信区间检验转换后的数据，通过置信区间法转换后得到的数据,求解变异系数，结果见表2(仅列出前8个酒样) 。将原始数据经过置信区间法转换, 品酒员方差降低,但差异仍然显著(品酒员间的差异是客观存在的), 且明显提高了酒样间的方差, 可真实地反映酒样间的差异。表2 置信区间后品酒员之间的差异性品酒员160.6377.308062.3974726370.63品酒员26681856474697076品酒员358.638682.236572717671.63品酒员45474766669.8768.726471.63品酒员567.384.6975.7668.3976.1274.2769.1776品酒员6618082.2371.6070.876973.8272品酒员7728379.767668697269品酒员86179836376.1271.7269.1778.36品酒员964.36858472.608173.2773.8275品酒员106279.3076777176.2773.8276CV/%7.964.674.317.855.163.636.124.104.2.2 t检验模型的建立与求解得到两组品酒员对于各个酒样的整体评价得分符合正态分布，则此时建立t检验模型。第一步 建立原假设H0:1=2第二步 计算t值，得到各酒样两组评定员评定差异的t值，见表3。表3 评定员评定差异t值红葡萄酒样品1-2.41酒样品105.49酒样品194.54酒样品22.2酒样品116.14酒样品206.97酒样品33.7酒样品12-6.38酒样品211.13酒样品41.13酒样品132.01酒样品22-0.68酒样品52.16酒样品140.18酒样品237.12酒样品61.22酒样品15-6.73酒样品242.88酒样品7-2.96酒样品161.51酒样品25-2.5酒样品85.48酒样品177酒样品263.24酒样品92.35酒样品18-4.45酒样品273.08白葡萄酒样品11.33酒样品10-1.59酒样品190.03酒样品21.2酒样品11-7.85酒样品20-1.46酒样品30.74酒样品12-0.94酒样品21-4.1酒样品40.94酒样品13-6.09酒样品22-3.73酒样品53.93酒样品141.25酒样品23-0.92酒样品6-3.95酒样品15-0.56酒样品242.12酒样品70.74酒样品161.026酒样品25-1.25酒样品8-1.82酒样品170.88酒样品26-2.66酒样品9-2.63酒样品180.57酒样品27-0.35酒样品28-5.41第三步 判断根据自由度df=n-1=9,查t值表，则得到对于各个酒样两组评价员的评价结果显著性差异的存在与否，见表4。表4 差异性存在判断红葡萄酒样品11酒样品71酒样品141酒样品211酒样品21酒样品80酒样品151酒样品221酒样品30酒样品92酒样品161酒样品230酒样品41酒样品100酒样品170酒样品242酒样品51酒样品110酒样品181酒样品251酒样品61酒样品121酒样品190酒样品262酒样品131酒样品200酒样品272白葡萄酒样品11酒样品81酒样品151酒样品221酒样品21酒样品91酒样品161酒样品231酒样品31酒样品101酒样品171酒样品241酒样品41酒样品111酒样品181酒样品251酒样品50酒样品121酒样品191酒样品261酒样品61酒样品131酒样品201酒样品271酒样品71酒样品141酒样品211酒样品281说明：“0”代表有差异，“1”代表在95%的置信度内无差异，“2”代表在99%的置信度内无差异。4.2.3 Kendall和谐系数的建立与求解Kendall和谐系数的公式如下：w=Ri2-（Ri）2N112K2(N3-N)将其转换为评定者对评定等级的Spearman相关系数的函数。具体公式为：rs=KW-1K-1得到两组的rs值见表5.表5 Spearman相关系数第一组第二组红葡萄0.8466370.159858白葡萄0.3038710.045917 说明：对照Spearman相关系数等级表，发现仅第一组红葡萄酒的评价结果不具有合理性，其它皆具有合理的一致性。4.2.4 方差的计算计算同一组各酒样得分之间的方差： 如表6所示。表6 两组方差第一组第二组红葡萄54.3043415.36396白葡萄25.272419.562983发现第二组结果方差更大，则其各酒样间的区分度更大，又因为第二组的结果均具有合理的一致性，则第二组的评价结果更可信。5、 问题二：模型的分析、建立与求解5.1 问题分析对于问题二，根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。由于酿酒葡萄的理化指标数据中包含的理化指标比较多，本文拟采用主成分分析法对理化指标进行筛选，将原来的多个理化指标减少至少数的几个主要成分。葡萄酒的质量以各酒样的整体评价得分为标准，本文并将葡萄酒的质量作为酿酒葡萄的理化指标之一，利用SPSS软件进行求解，得到酿酒葡萄理化指标的主成分分析结果。将每一个酿酒葡萄的各个主成分的得分与其贡献率相乘，乘积相加，得到每个酿酒葡萄的总得分，根据总得分划定范围，对酿酒葡萄进行分类。之后利用聚类分析法，对分类后的酿酒葡萄各类间的相关系数进行比较，相关系数大的归为一类，并结合每一类中各葡萄整体得分的平均值，按由高到低的顺序，从而为酿酒葡萄划分等级。5.2 模型的建立与求解5.2.1 模型准备主成分分析法：主成分分析是将多项指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标， 根据实际需要从中选取尽可能少的综合指标， 以达到尽可能多地反映原指标信息的分析方法。聚类分析法：根据一组对象的某些属性把它们分到一些组中，使得同组内的对象尽可能的相似，不同组中的对象尽可能的不一样，即所谓的聚类分析。5.2.2 主成分分析法模型的建立与求解 以红葡萄的为例第一步：进行样本数据的标准化，以消除指定变量的量纲或者单位的影响。建立公式 然后求出相关系数矩阵R，其中得到相关系数矩阵为： 。第二步：求出相关系数矩阵R的所有非零特征根,。及相应的正交单位化特征向量： （见表9）表9 成分的特征向量（其中两个主成分）主成分10.370.46-0.060.10.360.31-0.3主成分20.410.10.590.49-0.250.370.05选取前m个样本主成分使其累计贡献率 达到80%到90%；对红葡萄来说，得到前14个成分的贡献率已达到90%，如表10所示。则选该14各成分作为红葡萄的主成分。同理，得到白葡萄的主成分为15个，。表10 成分表成份1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 初始特征值合计9.83 7.81 7.04 6.06 4.87 3.35 3.02 方差的 %16.39 13.02 11.74 10.10 8.12 5.58 5.03 累积 %16.39 29.41 41.14 51.25 59.37 64.95 69.98 成份8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 初始特征值合计2.60 2.12 2.08 1.63 1.45 1.24 1.07 方差的%4.33 3.53 3.46 2.72 2.41 2.06 1.79 累积 %74.31 77.85 81.31 84.03 86.44 88.50 90.29 第三步：将所选取样本标准化后的数据与特征向量相乘，可以写出所有主成分的具体形式： 得到红葡萄和白葡萄的各葡萄样品的每一个主成分的得分，部分如表11所示。表11 主成分得分样品1主成分1主成分2主成分3主成分4主成分5主成分6主成分14样品215.06-2.3152.28-10.53-3.14 -5.56样品311.99-4.29-3.24-2.665.58-1.04-3.35样品418.41-6.658.920.238.752.2533.81样品5-7.49-0.562.911.37-3.26-0.69-11.02样品26-9.742.51-8.92-1.85-4.18-1.16-23.66样品27-10.390.79-11.65-1.562.321.53-18.54样品1-8.31-2.31-4.85-0.260.661.62-14.275.2.3 聚类分析模型的建立与求解 以红葡萄的为例以葡萄酒样品的整体评价得分作为评价葡萄酒质量的标准，并将葡萄酒的质量作为一个新的指标，利用聚类分析法，与主成分分析降维后的指标共同对酿酒葡萄进行分级。 第一步：数据标准化。之前降维后的指标数据已标准化，此时只需把葡萄酒的得分标准化。 第二步：计算相似系数矩阵。利用欧式距离进行计算。：得到的相似系数矩阵记为： 。第三步：选出有最大相似系数的样品组。找出相似系数矩阵()中的最大元素，设为，对应的一组样品值为 。 第四步：把该组样品加权平均：这样就形成了一个新的组合样品，其中分别为已组合过的样品组中的样品的个数，为相应的样品值。 第五步：用新的样品类代替原来的一对样品点。 第六步：对新形成的样品与其余样品数据重新计算相似系数矩阵。 第七步：如此重复第二步到第五步的过程，直到把所有样品都归类完毕。得到一个组间联接的树状图。如图2。图2 组间联接的树状图将酒样分为五类，得到各类包含的酒样及均值，如表12。表12类别酒样均值A类1162.8B类12、18、668.1C类10、25、26、2768.6D类22、20、21、13、16、19、5、15、7、24、17、466.6E类23、9、3、14、2、8、172.4由于B、C两类均值较接近，其合并，则酿酒葡萄分为四级，整理如表13。表13 等级表1级23、9、3、14、2、8、12级10、25、26、27、12、18、63级22、20、21、13、16、19、5、15、7、24、17、44级116、问题三：模型的分析、建立与求解6.1 问题分析 对于问题三，分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。首先将葡萄酒的理化指标利用主成分分析法降维，得到其某些主成分，利用第二问的结果，将葡萄酒的各个主成分作为因变量，酿酒葡萄的主成分作为自变量，建立线性回归模型，得到回归方程，即酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的线性关系。6.2 模型的建立与求解 以红葡萄为例。首先对葡萄酒的理化指标进行主成分分析，得到各成分的贡献率，如表14.表14 各成分贡献率成分1234567初始特征值合计5.9963.181.7651.4270.8820.830.503方差的 %39.97321.20211.7679.5165.8785.5323.354累积 %39.97361.17672.94382.45988.33793.8797.224 发现前四个成分的累积贡献率已达82.459%，则取此四个成分为葡萄酒的主成分。同问题二步骤，得到葡萄酒的四个主成分的得分，如表15.表15 葡萄酒主成分得分主成分1主成分2主成分3主成分4样品10.62-0.59-2.651.54样品20.69-0.390.061.27样品30.61-0.180.800.35样品4-0.30-0.040.54-0.09样品5-0.160.200.46-0.41样品60.170.190.21-0.04样品240.090.43-0.10-0.61样品25-0.46-0.02-0.89-0.53样品26-0.890.991.45-1.91样品270.140.14-0.41-0.77将葡萄酒的主成分与酿酒葡萄的主成分建立线性关系，得到四个线性回归方程。Y1=0.041*F1-0.064*F6+0.109*F11Y2=0.124*F12-0. 022*F4-0.014*F1Y3=0.092*F5+0.166*F10-0.049*F4+0.214*F12+0. 082*F8Y4=0.057*F3+0.035*F1+0.0143*F147、问题四的模型分析、建立与求解7.1 问题分析对于问题四，分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。将酿酒葡萄的主成分与葡萄酒的主成分作为自变量，葡萄酒的质量作为因变量，建立线性回归方程。若满足线性关系，则能利用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，且影响即为此线性关系。若不能建立回归方程，则无影响。7.2 模型的建立与求解 以红葡萄为例。 将酿酒红葡萄的14个主成分与葡萄酒的4个主成分作为自变量，葡萄酒的质量作为因变量，建立线性回归方程。得到结果如表16.表16线性分析结果非标准化系数B标准 误差(常量)70.769.372VAR00004-.290.062VAR00002.201.049VAR00008-.572.146VAR00001.151.039VAR00005.220.081VAR00003.137.056VAR00009-.424.177根据此表可得出三者之间的线性关系：Y=70.769-0.29*F4+0.201*F2-0.572*F8+0.151*F1+0.22*F5+0.137*F3-0.424*F98、模型的评价8.1 模型的优点 因为不同酒样的平均值、 标准差是随机变量, 而用置信区间法对原始数据进行调整, 对酒样间的影响也是随机的, 所以其更能真实地反映酒样间的客观差异。参考文献1李华，刘曙东.葡萄酒感官评价结果的统计分析方法研究，中国食品学报，第六卷，第二期：127-130，2006年4月。2 甘怡群，张轶文，邹玲.心理与行为科学统计，181-182，2005。附录附表一：Kendall和谐系数第一组第二组红葡萄0.8619740.243872白葡萄0.3734840.141325附表二：原始数据的变异系数品酒员15171805274726364品酒员26681856474697076品酒员34986896572717665品酒员45474766662616465品酒员57791695884825976品酒员66180898263698472品酒员77283737668697269品酒员86179836384645985品酒员97485848381818475品酒员106273767771848476CV/%15.37 7.86 8.42 15.15 10.74 10.70 14.24 9.18 程序一：问题1数据的处理整理数据：剔除、求和、置信区间、标准化Matlab代码：clc;clear;%对原始数据onered筛选 origin=xlsread(onered.xlsx);%第一步遍历搜索有没有没有的值(没有的值为nan)，用均值补植； for i=1:size(origin,1) for j=1:size(origin,2) if isnan(origin(i,j)=1 sum=0;num=0; for k=1:size(origin,2) if isnan(origin(i,k)=0 sum=sum+origin(i,k); num=num+1; end end origin(i,j)=round(sum/num); end end end%第二步搜索奇异值 1.最大值减最小值过大 2、超出总分的值%建立指标分数nums=0;index=5 10 6 8 16 6 8 8 22 11;for i=1:size(origin,1) if rem(i,10)=0 indexnum=10; else indexnum=rem(i,10); end for j=1:size(origin,2) if origin(i,j)index(indexnum) nums=nums+1; sum=0;num=0; for k=1:size(origin,2) if origin(i,k)=origin(i,j) sum=sum+origin(i,k); num=num+1; end end origin(i,j)=round(sum/num); end endendfscore=;%第三步每种酒的总分for j=1:size(origin,2) sum=0;num=1; for i=1:size(origin,1) if rem(i,10)=0 fscore(num,j)=sum+origin(i,j); sum=0;num=num+1; else sum=sum+origin(i,j); end end end%置信区间法先求出每一列的均值mean，标准差std(,1)，然后调整每个值for i=1:size(fscore,1) ave=mean(fscore(i,:); stdmin=std(fscore(i,:); up=ave+stdmin; down=ave-stdmin; for j=1:size(fscore,2) if fscore(i,j)up fscore(i,j)=fscore(i,j)-stdmin; end endend%比重法标准化% for j=1:size(fscore,2)% sum=0;% for i=1:size(fscore,1)% sum=sum+fscore(i,j);% end% for i=1:size(fscore,1)% fscore(i,j)=fscore(i,j)/sum;% end% end 程序二：问题2、3、4主成分分析相关处理数据问题2、3、4 SPSS主成分分析后处理数据clc;clear;x=;%归一后的数据，行为样本，列为指标x=xlsread(guiyi.xlsx);c=;%贡献率-权重c=xlsread(gongxian.xlsx);a=;%成份矩阵，行为指标，列为主成分a=xlsread(chengfen.xlsx);f=;%主成分的值%对于第一个样本n=4;%主成分数for i=1:size(x,1) for j=1:n sum=0; for k=1:size(x,2) sum=sum+x(i,k)*a(k,j); end f(i,j)=sum; endendfor i=1:size(f,1) sum=0; for j=1:size(f,2) sum=sum+f(i,j); end %f(i,15)=sum;end程序三：求解Kendall和谐系数，方差相关程序%求解Kendall和谐系数function rs,w=kendall(Group);n=size(Group(:,1),1); m=size(Group(1,:),2); for i=1:n R