概率(教师版).doc

概率考点一：随机事件的概率1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若AB为不可能事件(AB)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若AB为不可能事件，而AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)互斥事件的概率加法公式：P(AB)P(A)P(B)(A，B互斥)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(A1，A2，An彼此互斥)(5)对立事件的概率：P()1P(A)例1、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”审题视点 可用集合的观点判断解 (1)是互斥事件，不是对立事件原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系练习1、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC，故事件B，C是对立事件答案 D2、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有二个红球解析 对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立例2、甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A. B. C. D.解析 若用1,2,3,4,5,6代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为1,1、1,2、1,3、6,6，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括1,1、2,2、3,3、6,6，共6个基本事件，所以所求的概率值为.考点二：古典概型1、基本概念：（1）古典概型的特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等;（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=（3）了解随机数的概念；（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。2、例题例3、从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为 ( B ) A. B. C. D. 例4、袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为 A. B. C. D. ( B )练习3、从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 ( C )A. B. C. D. 4、某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( B )A. B. C. D. 1例5、下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( C )试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则；每个基本事件出现的可能性相等；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4练习5、从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( C ) 至少有一个白球,都是白球； 至少有一个白球,至少有一个红球；恰有一个白球,恰有2个白球； 至少有一个白球,都是红球.A.0 B.1 C.2 D.3 例6、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 （ C ）A. B. C. D.【解】 一一列举：红1 黄2 蓝3红1 黄3 蓝2红2 黄1 蓝3红2 黄3 蓝1红3 黄1 蓝2红3 黄2 蓝1所以有6种情况。而总数为 =84，所以概率为6/84=1/14练习6、.3粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为.若坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为_【解】因为种子发芽的概率为，种子发芽与不发芽的可能性是均等的若甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其基本事件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8种而都不发芽的情况只有1种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是，故甲坑不需要补种的概率是1.例7、抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率【解】从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)所以P(A)= .(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)所以P(B)= .练习7、袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。【解】（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）（1） （2） （3）例8、口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。【解】把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：白2白1黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白1白1白1白1黑1黑2甲乙丙丁白1白2黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白2白2白2白2黑1黑2甲乙丙丁黑1白1白2黑2白2黑2黑2黑2白2白1白1白2白2白1白1黑2甲乙丙丁黑2白1白2白2黑1黑1黑1白2黑1白1白1白2白2白1白1黑1甲乙丙丁考点三：几何概型1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题2、例题：例9、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_解析：设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M).答案：练习8、已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为_解析：设所求的面积为S，由题意得，S36.答案：36例10、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为_解析：P.答案：例11、某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是_答案：练习9、如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过R的概率是_解析：连结圆心O与M点，作弦MN使MON90，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MNR，此时N1ON2180，故所求的概率为.答案：例12、已知(x，y)|xy6，x0，y0，E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向区域内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为_解析：如图，区域表示的平面区域为AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为COD边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的概率为.答案：练习10、已知函数f(x)x2axb.若a、b都是从区间0,4任取的一个数，则f(1)0成立的概率是_解析：f(1)1ab0，即ab1，如图：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC，P.答案：例13、在区间0,1上任意取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为_解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上单调递增，又因为函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点，即有f(1)f(1)0成立，即(ab)(ab)0，可化为或由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a0，a1，b0，b1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为.答案：练习11、将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(a1)的概率解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1xy，则基本事件组所对应的几何区域可表示为(x，y)|0x1,0y1,0xy1，此区域面积为.事件“三段的长度都不超过a(a1)”所对应的几何区域可表示为A(x，y)|(x，y)，xa，ya,1xya即图中六边形区域，此区域面积：当a时，为(3a1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P(3a1)2；当a1时，为.此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P13(1a)2.课后作业：1、下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( B ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒 D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%2、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（D）AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件3、下列说法中正确的是 ( D ) A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大 B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件4、若事件A、B是对立事件,则P(A)+P(B)=_1_.5、从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是_。6、抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能情形是1,2,3,4,5,6,骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_。7、将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2bxc0有实根的概率为_8、.为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率【解】(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名