高考复习立体几何ppt课件.pptVIP

立体几何总复习 1 平行问题 垂直问题 角度问题 距离问题 柱锥问题 体积面积问题 综合问题 2 平行问题 返回 3 直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系 返回 4 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 返回 5 平行于同一平面的二直线的位置关系是 A 一定平行 B 平行或相交 C 相交 D 平行 相交 异面 D 返回 6 1 点A是平面 外的一点 过A和平面 平行的直线有条 无数 返回 7 2 点A是直线l外的一点 过A和直线l平行的平面有个 无数 返回 8 3 过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个 无数 返回 9 4 过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个 且仅有一 返回 10 5 如果l1 l2 l1平行于平面 则l2平面 l1 或 返回 11 6 如果两直线a b相交 a平行于平面 则b与平面 的位置关系是 a 相交或平行 返回 12 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 情况一 返回 13 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 情况二 返回 14 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 D 情况三 返回 15 例 有以下四个命题 若一条直线与另一条直线平行 则它就与经过另一条直线的平面平行 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线平行于这个平面 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则此直线必垂直于这个平面 平面内两条平行直线 若其中一条直线与一个平面平行 则另一条直线也与这个平面平行 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 返回 A 16 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 返回 17 线面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 已知 a b a b 求证 a a b 1 a b确定平面 b 2 假设a与 不平行 则a与 有公共点P 则P b 3 这与已知a b矛盾 4 a 返回 18 如图 空间四面体P ABC M N分别是面PCA和面PBC的重心 求证 MN 面BCA P MN EF MN 面BCA 线线平行 线面平行 返回 19 在正方体AC1中 E为DD1的中点 求证 DB1 面A1C1E E DB1 EF DB1 面A1C1E 线线平行 线面平行 返回 20 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 面BCE A B C D E F M N MN GH MN 面BCE 线线平行 线面平行 返回 21 A B C D E F M N AFN BNH AN NH FN BN AN NH AM MC MN CH MN 面BCE 返回 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 面BCE 22 在正方体AC1中 O为平面ADD1A1的中心 求证 CO 面A1C1B B1 O 返回 23 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 返回 24 已知 a a b 求证 a b b b a a b a b 返回 线面平行性质定理 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 25 a b A B O M N P 如图 a b是异面直线 O为AB的中点 过点O作平面 与两异面直线a b都平行MN交平面于点P 求证 MP PN 返回 26 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 返回 面面平行的判定定理 27 二 两个平面平行的性质 4 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 2 其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相交 它们的交线平行 两个平面平行 5 夹在两个平行平面间的平行线段相等 1 两个平面没有公共点 返回 2 其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 28 判断下列命题是否正确 1 平行于同一直线的两平面平行 2 垂直于同一直线的两平面平行 3 与同一直线成等角的两平面平行 返回 29 4 垂直于同一平面的两平面平行 5 若 则平面 内任一直线a 返回 30 例 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 面AB1D1 面BDC1 证明 B1D1 AB1 B1 面AB1D1 面BDC1 线 线 线 面 面 面 返回 31 变形1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别为A1D1 A1B1 A1A的中点 求证 面EFG 面BDC1 变形 若O为BD上的点求证 OC1 面EFG O 面 面 由上知面EFG 面BDC1 线 面 OC1 面EFG 证明 返回 32 小结 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 返回 33 垂直问题 34 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 返回 35 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 返回 36 填空 1 l m l m 2 n m m与n l m l n l 3 l m l m 4 l m l m 相交 返回 37 P A B C 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 求证 1 BC 面PAC 返回 38 P A B C 2 若AH PC 则AH 面PBC 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 求证 返回 39 O 在正方体AC1中 O为下底面的中心 求证 AC 面D1B1BD 返回 40 O H 在正方体AC1中 O为下底面的中心 B1H D1O 求证 B1H 面D1AC 返回 41 复习 重要定理 三垂线定理 逆 作用 1证明线线垂直 2作二面角的平面角 返回 42 返回 43 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 返回 44 如图 C为以AB为直径的圆周上一点 PA 面ABC 找出图中互相垂直的平面 PA 面ABC 面PAC 面ABC 面PAB 面ABC BC 面PAC 面PBC 面PAC 返回 45 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 返回 46 常用结论 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 返回 47 常用结论 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 返回 48 常用结论 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 返回 49 ABC是直角三角形 ACB 90 P为平面外一点 且PA PB PC 求证 平面PAB 面ABC 返回 50 课堂练习 课堂练习 空间四面体ABCD中 若AB BC AD CD E为AC的中点 则有 A 平面ABD 面BCD B 平面BCD 面ABC C 平面ACD 面ABC D 平面ACD 面BDE 返回 51 如图 ABCD是正方形 PA 面ABCD 连接PB PC PD AC BD 问图中有几对互相垂直的平面 面PAC 面ABCD 面PAB 面ABCD 面PAD 面ABCD 面PAD 面PAB 面PAD 面PCD 面PBC 面PAB 面PBD 面PAC 返回 52 如图 三棱锥P ABC中 PB 底面ABC ACB 90 PB BC CA E为PC中点 返回 53 如图 四棱锥P ABCD的底面是菱形 PA 底面ABCD BAD 120 E为PC上任意一点 返回 54 角度问题 55 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 56 a b O是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上 o o o o o 返回 57 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 特别地 若l 则l与 所成的角是直角 若l 或l 则L与 所成的角是的角 58 B A 返回 59 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 特别地 若l 则l与 所成的角是直角 若l 或l 则L与 所成的角是的角 返回 60 A B O 返回 61 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A L B O 返回 62 二 数学思想 方法 步骤 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化 即把空间的角转化为平面的角 进而转化为三角形的内角 然后通过解三角形求得 2 方法 3 步骤 b 求直线与平面所成的角 a 求异面直线所成的角 c 求二面角的大小 作 找 证 点 算 1 数学思想 返回 求任何成角之前 首先判断是否垂直 63 在正方体AC1中 求异面直线A1B和B1C所成的角 A1B和B1C所成的角为60 和A1B成角为60 的面对角线共有条 返回 8 64 在正方体AC1中 求异面直线D1B和B1C所成的角 A B D C A1 B1 D1 C1 返回 65 正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD交于O 则OB1与A1C1所成的角的度数为 900 返回 66 在正方体AC1中 M N分别是A1A和B1B的中点 求异面直线CM和D1N所成的角的余弦值 M N 返回 67 P A B C M N 空间四边形P ABC中 M N分别是PB AC的中点 PA BC 4 MN 3 求PA与BC所成角的余弦值 返回 68 例2 长方体ABCD A B C D 中 AB BC 4 AA 6 E F分别为BB CC 的中点 求AE BF所成角的余弦值 返回 69 例 S是正 ABC所在平面外一点 SA SB SC且 ASB BSC CSA 90 M N分别是AB和SC的中点 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值 P a a a 返回 70 定角一般方法有 平移法 常用方法 小结 1 求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角 体现了化归的数学思想 2 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 3 当异面直线垂直时 还可应用线面垂直的有关知识解决 90o 化归的一般步骤是 定角 求角 返回 71 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常用余弦定理求其大小 当余弦值为负值时 其对应角为钝角 这不符合两条异面直线所成角的定义 故其补角为所求的角 这一点要注意 返回 72 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 返回 73 若斜线段AB的长度是它在平面 内的射影长的倍 则AB与 所成的角为 30 返回 74 最小角原理 C 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 返回 75 若直线l1与平面所成的角为30 则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 最大的角为 90 30 O l1 返回 76 若直线l1与平面所成的角为30 直线l2与l1所成的角为30 求直线l2与平面所成的角的范围 l1 返回 77 S A C B O F E 如图 ACB 90 S为平面ABC外一点 SCA SCB 60 求SC与平面ACB所成的角 返回 78 S A C B O F E 如图 SA SB SC是三条射线 BSC 60 SA上一点P到平面BSC的距离是3 P到SB SC的距离是6 求SA与平面BSC所成的角 P 返回 79 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 返回 80 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD所成的角 O 返回 81 正四面体P ABC中 求侧棱PA与底面ABC所成的角 P A B C D 返回 82 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 返回 83 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 返回 84 基础题例题 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角 其中 正确命题的序号是 返回 85 在正方体AC1中 求二面角D1 AC D的大小 返回 86 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小 E 返回 87 过正方形ABCD的顶点A引SA 底面ABCD 并使平面SBC SCD都与底面ABCD成45度角 求二面角B SC D的大小 返回 88 在正方体AC1中 E F分别是AB AD的中点 求二面角C1 EF C的大小 E F A B D C A1 B1 D1 C1 H 返回 89 ABC中 AB BC SA 平面ABC DE垂直平分SC 又SA AB SB BC 求二面角E BD C的大小 S A B C E D 返回 90 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 3 4 H 返回 91 2 求二面角A PC B的大小 COS 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 返回 92 在正方体AC1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 E F 返回 93 E F 在正方体AC1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 返回 94 例 如图ABC A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱 1 求AB1与A1C所成角 95 解 分别取A1A AC A1B1的中点N M G 连接GN NM 则 GNM为所求角 并连接GM G M 每条棱长为2 GM 所求角大小为 arccos N 96 如图ABC A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱 1 求AB1与A1C所成角 2 求AB1与平面BB1C1C所成角 E 所求角大小为 arcsin 返回 97 例 如图ABC A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱 3 若点D是侧棱CC1的中点 求平面AB1D与平面ABC所成角 A1 A B1 C1 B C D 返回 98 A1 A B1 C1 B C D M B1AB为二面角B1 AM B的平面角 返回 99 例 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 1 直线B1C与平面ABC成30 的角 求二面角B B1C A的余弦值 D E D E 100 距离问题 101 一 知识概念 1 距离定义 1 点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离 返回 2 点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离 102 3 两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长 叫做两条平行线间的距离 返回 4 两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线 叫两条异面直线的公垂线 公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度 叫两异面直线的距离 103 5 直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行 那么直线上各点到这个平面的距离相等 且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 6 两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线 叫这两个平行平面的公垂线 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离 返回 104 2 求距离的步骤 1 找出或作出有关距离的图形 2 证明它们符合定义 3 在平面图形内进行计算 返回 105 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 1 A到CD1的距离 D 点 线 返回 106 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 1 A到CD1的距离 D 2 A到BD1的距离 返回 107 点 线 A B C D A1 B1 C1 D1 H 已知 长方体AC1中 AB a AA1 AD b 求点C1到BD的距离 C1H 返回 108 线 线 A B C D E F 矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交 EF 5 AD 13 求平行线AB和CD的距离 返回 109 点 面 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 返回 110 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O OA OB OC O为三角形ABC的外心 返回 111 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的垂心 D O 返回 112 已知三棱锥P ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的内心 O E F 返回 113 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 D 1 A到面A1B1CD 返回 114 A B C A1 B1 D1 C1 正方体AC1的棱长为1 求下列距离问题 D 1 A到面A1B1CD 2 A到平面BB1D1 返回 115 棱长为1的正四面体P ABC中 求点P到平面ABC的距离 A B C O P 返回 116 如图 已知P为 ABC外一点 PA PB PC两两垂直 且PA PB PC 3 求P点到平面ABC的距离 返回 117 如图 AB是 O的直径 PA 平面 O C为圆周上一点 若AB PA 5 BC 2 求A到平面PBC的距离 返回 118 直角三角形ACB确定平面 点P在平面 外 若点P到直角顶点C的距离是24 到两直角边的距离都是6 求点P到平面 的距离 P A B C E F O 返回 119 线 面 一条直线和一个平面平行时 直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 返回 120 例 已知一条直线l和一个平面 平行 求证 直线l上各点到平面 的距离相等 A A B B l 返回 121 l A A B 返回 122 如果一条直线上有两个点到平面的距离相等 则这条直线和平面平行吗 判断题 返回 123 空间四面体ABCD 问和点A B C D距离相等的平面有几个 A B C D 4 A B C D 3 返回 124 如图 已知在长方体ABCD A B C D 中 棱AA 5 AB 12 求直线B C 到平面A BCD 的距离 返回 125 A B C D P F E 已知 ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AD AB的中点 PC 面ABCD PC 2 求点B到平面PEF的距离 G O H 返回 126 两个平行平面的距离 A B A B 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 返回 127 例2 菱形ABCD中 BAD 600 AB 10 PA 平面ABCD 且PA 5 求 1 P到CD的距离 2 P到BD的距离 3 P到AD的距离 4 求PC的中点到平面PAD的距离 1 过P作CD的垂线 交CD的延长线于E 连AE E 2 连BD 交AC于O 连PO O 返回 128 已知四面体ABCD AB AC AD 6 BC 3 CD 4 BD 5 求点A到平面BCD的距离 A B D 返回 129 已知平面 AB AB A B 直线a b a b A到a的距离为2 B到b的距离为5 AB 4 则a b间的距离为 a b a b A B A B 返回 130 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求点A到平面BD1的距离 2 求点A1到平面AB1D1的距离 3 求平面AB1D1与平面BC1D的距离 4 求直线AB与平面CDA1B1的距离 A C D B A1 B1 D1 C1 O 返回 131 A C D B A1 B1 D1 C1 O E 返回 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求点A到平面BD1的距离 2 求点A1到平面AB1D1的距离 3 求平面AB1D1与平面BC1D的距离 4 求直线AB与平面CDA1B1的距离 132 A C D B A1 B1 D1 C1 E F 返回 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求点A到平面BD1的距离 2 求点A1到平面AB1D1的距离 3 求平面AB1D1与平面BC1D的距离 4 求直线AB与平面CDA1B1的距离 133 A C D B A1 B1 D1 C1 G 返回 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求点A到平面BD1的距离 2 求点A1到平面AB1D1的距离 3 求平面AB1D1与平面BC1D的距离 4 求直线AB与平面CDA1B1的距离 134 G O 返回 已知如图 边长为a的菱形ABCD中 ABC 60 PC 平面ABCD E是PA的中点 求E到平面PBC的距离 135 棱柱问题 棱锥问题 136 复习 知识网络 底面 对角线 高 侧面 侧棱 顶点 棱柱 概念 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体 体积V Sh 返回 137 复习 知识网络 棱柱 分类 斜棱柱 直棱柱 正棱柱 返回 138 复习 知识网络 四棱柱 四棱柱 直四棱柱侧棱垂直底面 平行六面体底面是平行四边形 长方体 正四棱柱 正方体 侧面垂直底面 返回 139 要点 疑点 考点 一 棱柱 1 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面围成的几何体叫棱柱 1 概念 2 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 返回 140 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 2 性质 3 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 要点 疑点 考点 3 长方体及其相关概念 性质 1 概念 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫