湖南省师大附中2010届高三上学期第六次月考(数学文).doc

高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 湖南师大附中湖南师大附中 20102010 届高三第六次月考试卷届高三第六次月考试卷 数数 学学 文科 文科 命题 命题 肖 强 王斌 曾克平 肖 婕 审题 审题 朱海棠 邓 云 严勇华 洪利民 贺祝华 王思亮 本试卷分选择题 填空题和解答题三部分 共 21 个小题 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知集合 A B 则集合 D 10 x x 2 xx AB A B C D 1 x x 12 x xx 或 22 x xx 或 21 x xx 或 解析 由已知 所以 1 22Ax xBx xx 或 21ABx xx 或 故选 D 2 已知 且 则的值等于 C 3 sin 5 2 2 sin2 cos A B C D 3 2 3 4 3 2 3 4 解析 因为 则 3 sin 52 4 cos 5 3 tan 4 所以 故选 C 2 sin23 2tan cos2 3 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列四个命题 若 则 若 则 m n mn mn m n 若 则 若 则 n mn mm 且 mm 其中正确命题的个数是 A A 1 B 2 C 3 D 4 解析 命题 错误 命题 正确 故选 A 4 已知曲线 C 的参数方程是 为参数 则曲线 C 不经过第二象限的一个充分 2cos 2sin xa y 不必要条件是 B A a 2 B a 3 C a 1 D a 0 解析 将参数方程化为普通方程 得 所以曲线 C 表示以点 a 0 为圆心 22 4xay 半径为 2 的圆 由图知 曲线 C 不经过第二象限的充要条件是 a 2 故选 B 5 设等比数列的前项和为 已知 且 n N 则 n an n S 1 2a 12 20 nnn aaa 2010 S D A 200 B 2 C 2 D 0 解析 设的公比为 q 因为 则 n a 12 20 nnn aaa 2 20 nnn aa qa q 又 an 0 则 q 1 所以 故选 D 20102010 1 2010 1 2 1 1 0 11 1 aq S q 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 6 已知函数 则函数的大致图象是 C 1 2 2 1 log 1 x x f x x x 1 yfx 解析 由已知 故选 C 1 1 2 1 0 2 1 log 1 0 x x fx x x 7 设点是双曲线的两个焦点 点 P 是双曲线上一点 若 则 12 F F 2 2 1 3 y x 12 34PFPF 的面积等于 B 12 PFF A B C D 5 33 154 52 10 解析 据题意 且 解得 12 4 3 PFPF 12 2PFPF 12 8 6PFPF 又 在中由余弦定理 得 12 4FF 12 PFF 222 1212 12 12 7 cos 28 PFPFFF FPF PF PF 从而 所以 故选 B 2 1212 15 sin1 cos 8 FPFFPF 1 2 115 6 83 15 28 PF F S 8 在平面向量中有如下定理 设点 O P Q R 为同一平面内的点 则 P Q R 三点共线的充 要条件是 存在实数 t 使 1 OPt OQtOR uuu ruuu ruuu r 如图 在 ABC 中 点 E 为 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 且 CF 2FA BF 交 CE 于点 M 设 则 AMxAEyAF A B 43 55 xy 34 55 xy C D 23 55 xy 32 55 xy 解析 因为点 B M F 三点共线 则存在实数 t 使 AM 1 t ABtAF 又 则 2ABAE 1 3 AFAC AM2 1 3 t t AEAC 因为点 C M E 三点共线 则 所以 故 故选 A 2 1 1 3 t t 3 5 t 43 55 xy 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分 把答案填写在题中的横线上分 把答案填写在题中的横线上 9 高三某班有 50 名学生 其中男生 30 人 女生 20 人 为了调查这 50 名学生的身体状况 现 采用分层抽样的方法 抽取一个容量为 20 的样本 则男生被抽取的人数是 12 人 A B C D B C A E F M 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 解析 根据分层抽样原理 男生被抽取的人数为 20 12 人 30 50 10 设复数 若 z 为纯虚数 则实数 m 1 22 2 32 zmmmmi 解析 因为 z 为纯虚数 则 且 解得 m 1 2 20mm 2 320mm 11 已知方程表示的曲线是焦点在 y 轴上且离心率为的椭圆 则 m 2 2 1 y x m 1 2 4 3 解析 由已知 即 所以 11 2 m m 4 1 mm 4 3 m 12 将函数与 y 3 的图象所围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周 则所得旋转体的表面积为 yx 36 18 2 解析 两函数图象所围成的封闭图形为等腰直角三角形 AOB 如图 其中 AB 6 AO BO AD BC 3 3 2 由图知 所得旋转体的表面积为圆柱的侧面积与两个圆锥的侧面积之和 所以 S 2 BC AB BC BO AD AO 36 18 2 13 在区间 3 3 内任取两个数分别记为 a b 则使得关于 x 的方程有 22 210 xaxb 实根的概率为 36 36 解析 要使方程有实根 则 即 即 0 22 44 1 0ab 22 1ab 又 a 3 b 3 由几何概型得 p 36 36 14 给出下列四个结论 函数在其定义域内是增函数 函数的图tanyx 5 sin 2 4 yx 象关于直线对称 函数的最小正周期是 2 函数 8 x 2 cos 6 yx 是偶函数 其中正确结论的序号是 sin 2 2 yx 解析 因为 则函数在其定义域内不是增函数 故结论 错误 5 tantan1 44 tanyx 因为函数的图象的对称轴方程为 当 k 1 时 故结 5 sin 2 4 yx 43 8 k x 8 x 论 正确 因为函数的最小正周期是 故结论 错误 2 1 cos 2 3 cos 62 x yx 因为是偶函数 所以结论 正确 sin 2 cos2 2 yxx 15 设等差数列的前项和为 已知 则 n an n S 1 2010a 20092008 1 20092008 SS 等差数列的公差 d 2 2010 n a 2010 S 解析 因为 则 1 1 2 n n n Snad 1 1 2 n Sn ad n 所以 由已知 即 20092008 11 2009 12008 1 20092008222 SSd adad 1 2 d 2d A B OCDx y 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 又 则 所以 1 2010a 2010 1 2010 12010 1 201021 201022 S ad 2010 2010S 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题个小题 共共 7575 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 设 ABC 的三内角 A B C 的对边长分别为 a b c 已知 cos 2 cosbCacB 求角 B 的大小 若 求函数的值域 0 x sin sinf xxBx 解 由已知及正弦定理 得 2 分 sincos 2sinsin cosBCACB 即 所以 4 分 sincoscossin2sincosBCBCAB sin 2sincosBCAB 因为 则 即 5 分 sin sin0BCA 2cos1B 1 cos 2 B 因为 B 0 所以 B 6 分 3 因为 则 3 B sin sinsin coscos sinsin 333 f xxxxxx 9 分 33 sincos3sin 226 xxx 则 所以 11 分 0 x 5 666 x 1 sin 1 62 x 故函数的值域是 12 分 f x 3 3 2 17 本小题满分 12 分 国家教育部 体育总局和共青团中央曾共同号召 在全国各级各类学校要广泛 深入地开 展全国亿万大中小学生阳光体育运动 为此某网站于 2010 年 1 月 18 日至 24 日 在全国范围内 进行了持续一周的在线调查 随机抽取其中 200 名大中小学生的调查情况 就每天的睡眠时间 分组整理如下表所示 序号 i 每天睡眠时间 小时 组中值 i m 频数 频率 i f 1 4 5 4 580 04 2 5 6 5 5520 26 开始 0S 1i 输入 ii m f ii SSm f 6 i 输入 S 结束 1ii 是 否 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 估计每天睡眠时间小于 8 小时的学生所占的百分比约是多少 该网站利用右边的算法流程图 对样本数据作进一步统计 分析 求输出的 S 的值 并说明 S 的统计意义 解 由样本数据可知 每天睡眠时间小于 8 小时的频率是 3 分 1 0 100 02 0 88P 由此估计每天睡眠时间小于 8 小时的学生约占 88 4 分 输入的值后 由赋值语句可知 11 mf ii SSmf 流程图进入一个求和状态 设 数列的前 项和为 则 1 2 6 iii amf i i ai i T 6 4 5 0 045 5 0 266 5 0 307 5 0 288 5 0 109 5 0 026 7T 故输出的 S 值为 6 7 10 分 S 的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为 6 7 小时 12 分 18 本小题满分 12 分 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于 2 平面 A1ACC1 平面 ABCD ABC A1AC 60 点 O 为底面对角线 AC 与 BD 的交点 证明 A1O 平面 ABCD 求二面角 D A1A C 的平面角的正切值 解 由已知 AB BC 2 ABC 60 则 ABC 为正三角形 所以 AC 2 2 分 因为点 O 为 AC 的中点 则 AO 1 又 AA1 2 A1AO 60 在 A1OA 中 由余弦定理 得 4 分 222 111 2cos603AOAAAOAA AO 所以 A1O2 AO2 AA12 所以 A1O AC 5 分 因为平面 AA1C1C 平面 ABCD 其交线为 AC 所以 A1O 平面 ABCD 6 分 因为底面 ABCD 为菱形 则 BD AC 又 BD A1O 则 BD 平面 A1ACC1 7 分 过点 O 作 OE AA1垂足为 E 连接 DE 则 AA1 DE 所以 DEO 为二面角 D AA1 C 的平面角 9 分 在 Rt AOD 中 OD 10 分 3 22 AOAB 3 6 7 6 5600 30 4 7 8 7 5560 28 5 8 9 8 5200 10 6 9 10 9 540 02 B A D1 C1 B1 1 A1 D C O E B A D1 C1 B1 1 A1 D C O 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 在 Rt AEO 中 OE AO sin EAO 11 分 2 3 在 Rt DOE 中 tan DEO 2 OD OE 故二面角 D A1A C 的平面角的正切值为 2 12 分 19 本小题满分 13 分 已知甲 乙 丙三种食物的维生素 A B 含量及成本如下表 甲乙丙 维生素 A 单位 kg 607040 维生素 B 单位 kg 804050 成本 元 kg 1194 现分别用甲 乙 丙三种食物配成 10kg 混合食物 并使混合食物内至少含有 560 单位维生素 A 和 630 单位维生素 B 若混合食物中恰含 580 单位维生素 A 和 660 单位维生素 B 求混合食物的成本为多少元 分别用甲 乙 丙三种食物各多少 kg 才能使混合食物的成本最低 最低成本为多少元 解 依题意得 即 2 分 10 607040580 804050660 xyz xyz xyz 10 2318 316 zxy xy xy 由此解得 x 6 y z 2 4 分 故混合食物的成本为 6 11 2 9 2 4 92 元 5 分 II 解法一 解法一 设分别用甲 乙 丙三种食物 xkg ykg zkg 混合食物的成本为 p 元 则 即 7 分 10 607040560 804050630 0 0 0 xyz xyz xyz xyz 23160 3130 0 0 xy xy xy 且 8 分 11947540pxyzxy 作可行域 如图 10 分 由 得点 A 5 2 23160 3130 xy xy 平移直线 7x 5y 0 由图知 当直线经过点 A 时 它在 y 轴上的截距为最大 所以点 A 为最优解 此时 元 12 分 7 55 24085p 2x 3y 16 0 3x y 13 0 x y O A 7x 5y 0 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 故用甲种食物 5kg 乙种食物 2kg 丙种食物 3kg 时 才能使混合食物的成本最低 其最低成本 为 85 元 13 分 解法二 解法二 设分别用甲 乙 丙三种食物 xkg ykg zkg 混合食物的成本为 p 元 则 即 7 分 10 607040560 804050630 0 0 0 xyz xyz xyz xyz 4632 313 0 0 xy xy xy 且 8 分 11947540pxyzxy 因为 所以 10 分 75 46 3 45xyxyxy 7540454085pxy 当且仅当 即时等号成立 所以 p 的最小值为 45 12 分 4632 313 xy xy 5 2 x y 故用甲种食物 5kg 乙种食物 2kg 丙种食物 3kg 时 才能使混合食物的成本最低 其最低成本 为 85 元 13 分 20 本小题满分 13 分 已知动点 P 到直线的距离比它到点 F的距离大 1y 1 0 4 3 4 求动点 P 的轨迹方程 若点 P 的轨迹上不存在两点关于直线 l 对称 求实数的取值范围 3 ym x m 解 据题意可知 点 P 到直线的距离等于它到点 F的距离 所以点 P 的 1 4 y 1 0 4 轨迹是以点 F为交点 直线为准线的抛物线 3 1 0 4 1 4 y 分 因为 抛物线开口向上 故点 P 的轨迹方程是 5 分 1 2 p 2 xy 若 则直线 l 为 x 轴 此时抛物线与直线 l 相切 6 分 0m 2 xy 若 设与直线 l 垂直的直线为 代入 得 0m 1 lyxb m 2 yx 2 1 0 xxb m 设直线与抛物线的交点为 则 l 1122 A x yB xy 12 1 xx m 从而 9 分 1212 2 11 22yyxxbb mm 假设点 A B 关于直线 对称 则 AB 的中点在 l 上 l 1212 22 xxyy 所以 即 10 分 2 11 3 22 bm mm 2 11 3 22 bm m 高考资源网 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿 稿酬丰厚 由于方程 有两个不相等的实根 则 所以 2 1 40b m 2 2 111 4 3 0 22 m mm 整理得 即 11 分 32 12210mm 2 21 621 0mmm 由恒成立 所以 即 22 15 6216 0 66 mmm 210m 1 2 m 所以当时 抛物线上存在两点关于直线 对称 12 分 1 2 m l 故当抛物线上不存在两点关于直线 l 对称时 实数的取值范围是 2 yx 3 ym x m 13 分 1 2