2弹性力学平面问题.ppt

第二章平面问题的基本理论 2 1平面问题的概念 2 2平衡微分方程 2 3平面问题中一点的应力状态 2 4几何方程 2 5物理方程 2 6边界条件 2 7圣维南原理及其应用 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题相容方程 2 10常体力情况下的简化应力函数 2 1平面问题的概念 应力 应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数 当这3类基本未知函数与第3个坐标方向 一般取z方向 无关时 则将该类问题称为平面问题 平面问题是在一个平面域内的求解问题 但并非数学上的二维问题 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类 一 平面应力问题 1 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多 等厚薄平板 如 板式吊钩 旋转圆盘 工字形梁的腹板等 2 受力特征 外力 体力 面力 和约束 仅平行于板面作用 沿厚度方向 z方向 不变化 3 简化分析 1 应力分量 如图选取坐标系 以板的中面为xy平面 垂直于中面的任一直线为z轴 板面无面力 则 因板很薄 且外力沿z轴方向不变 可认为整个薄板的各点都有 由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变化途径极短 且变化增量微小 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量 且仅与x y有关 即 2 应变分量 由广义胡克定律 并令 仅与x y有关 可由表出 所以平面应力问题独立的应变分量只有三个 且仅与x y有关 即 但 3 位移分量 假设为稳定平衡 不发生翘曲 所以 位移分量仅有u v且仅为x y的函数 当t 0时 理想平面应力问题 z 常数 w 0 当t 0时 广义平面应力问题 w可由u v表出 且w u v 所以平面应力问题独立的位移分量只有两个 且仅与x y有关 4 结论 平面应力问题的基本未知量有八个 且均为x y的函数 即 但 简化的主要依据是 因t很小 进一步分析可知 二 平面应变问题 1 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多 且沿长度方向几何形状和尺寸不变化 近似认为无限长 2 受力特征 外力 体力 面力 平行于横截面作用 且沿长度z方向不变化 如水坝 滚柱 厚壁圆筒等 水坝 滚柱 厚壁圆筒 3 简化分析 1 位移分量 任取一横截面 与z无关 因无限长 可视为对称面 则其上任一点w 0 仅存u v 且与z无关 所以 2 应变分量 由w 0 及应变的定义易知 2 应变分量 3 应力分量 由广义胡克定律反解 并令 可见 独立的应力分量仅三个 由变形对称性易知 由任一截面与z无关易知 即 但 4 结论 平面应变问题的基本未知量有八个 且均为x y的函数 即 但 简化的主要依据是 与平面应力问题的基本未知量相同 如图所示三种情形 是否都属平面问题 是平面应力问题还是平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 三 两种平面问题物理方程的关系 根据两种平面问题的结论 可分别列出其物理方程 对于平面应力问题 由 z 0 对于平面应变问题 由 z x y 与平面应力问题的物理方程形式上完全相同 故统称为平面问题 已知外力 物体的形状和大小 边界 材料特性 E 约束条件等 求解应力 应变 位移分量 为了建立数学模型需研究三个方面的关系 1 静力学关系 应力与外力 体力 面力 间的关系 2 几何学关系 变形与位移间的关系 3 物理学关系 变形与应力间的关系 本构关系 四 弹性力学平面问题的提法 综合三个方面的关系建立数学模型 数学模型的求解 力学模型 2 2平衡微分方程 取微元体PABC P点附近 Z方向取单位长度 设P点应力已知 体力 fx fy AC面 BC面 注 这里用了小变形假定 以变形前的尺寸代替变形后尺寸 由微元体PABC平衡 得 整理得 切应力互等定理 两边同除以dxdy 并整理得 两边同除以dxdy 并整理得 平面问题的平衡微分方程 说明 1 两个平衡微分方程 三个未知量 超静定问题 需找补充方程才能求解 2 对于平面应变问题 z方向自成平衡 x y方向的平衡方程相同 故上述方程两类平面问题均适用 3 平衡方程中不含E 方程与材料性质无关 钢 石料 混凝土等 4 整个弹性体 包括内部 边界 平衡条件都须满足 2 3平面问题中一点的应力状态 一 斜面上的应力 1 斜面上应力在坐标方向的分量px py 设P点的应力分量已知 斜面AB上的应力矢量 p 斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦 由微元体平衡 整理得 得 外法线 同样 由 2 斜面上的正应力与切应力 将前式代入 并整