全概率公式、贝叶斯公式推导过程.doc

全概率公式、贝叶斯公式推导过程 （1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n2，当P(A1A2.An-1) 0 时，有： P(A1A2.An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).P(An|A1A2.An-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，. 满足 1.B1，B2.两两互斥，即 Bi Bj= ，ij ， i,j=1，2，.，且P(Bi)0,i=1,2,.; 2.B1B2.= ，则称事件组 B1,B2,.是样本空间的一个划分 设B1,B2,.是样本空间的一个划分，A为任一事件，则： 上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,.)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间的一个个划分B1,B2,.Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,.ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+.+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+.+P(A|Bn)P(PBn) 3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。 解：设. P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345 （4）贝叶斯公式 1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,.是样本空间的一个划分，则对任一事件A（P(A)0),有 上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,.)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2.)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率2，当P(A1A2.An-1) 0 时，有： P(A1A2.An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).P(An|A1A2.An-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，. 满足 1.B1，B2.两两互斥，即 Bi Bj = ，ij ， i,j=1，2，.，且P(Bi)0,i=1,2,.; 2.B1B2.= ，则称事件组 B1,B2,.是样本空间的一个划分 设 B1,B2,.是样本空间的一个划分，A为任一事件，则： 上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,.)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间的一个个划分B1,B2,.Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,.ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+.+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+.+P(A|Bn)P(PBn) 3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。 解：设. P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345 （4）贝叶斯公式 1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,.是样本空间的一个划分，则对任一事件A（P(A)0),有 上式即为贝叶斯公式（Bayes f