04-垂直于弦的直径(一)P64-68.doc

垂直于弦的直径（一）教学目标1使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并能应用它解决有关的计算和证明问题；2激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力3向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法，并培养学生联系发展的辨证唯物主义观点。教学重点和难点垂径定理及其应用是重点；垂径定理的证明是难点。教学过程设计一、从特殊到一般提出问题1教师提问：什么叫弦？什么叫弧？首先根据学生的回答，用电脑或投影演示图719，说出图中的弦和弧（优弧、劣弧）。进一步观察，图中每一条弦把圆分成两部分，是这条弦所对的两条弧，并且电脑进一步演示弦经过圆心时，弦变成直径，弧变成半圆的过程。（图720）2实验：引导学生亲自动手折叠课前准备的圆心纸片，教师电脑演示一圆形沿着任一直线对折，两侧半圆的重合情况。（图721）全体师生共同分析，得出圆的一条基本性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。3从特殊到一般提出猜想投影显示两条直径相交到互相垂直的特殊情况，如图722。学生观察图形特点，发现两个圆形中的直径都是互相平分的，即AOBO，CODO，所不同的是图（1）是斜交，图（2）是垂直。由一名学生回答当两条直径互相垂直时（图2），直径CD的两侧相邻的两条弧是否相等。学生观察回答： ，。接着再观察，若把直径AB向下平移，变成非直径的弦如图723时，直径CD两侧相邻的两条弧是否相等？学生通过观察，猜想出上述结论依然成立，即，。继续引导学生观察。在图723中，还有相等的关系吗？请一名中等生答出AEBE。最后，教师再用电脑或投影演示图722中沿着直径CD折叠，这条特殊的直径两侧的图形重合的情况，进一步观察验证上述猜想，并给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。（教师板书课题）二、证明猜想，形成垂径定理1猜想是否正确，要加以证明。启发学生根据图723，写出已知，求证，分析证明思路，然后阅读课本的证明过程。当大部分学生看懂证明思路后，由学习较好的学生在黑板上写出证明过程。结合证明过程提问：（1）课本上的证明利用乐圆的什么性质？（2）证明AEBE还有其它方法吗？ （3）证明，根据是什么？ 在学生回答的基础上，教师指出：（1）此命题的证明主要利用了圆的轴对称性；证明AEBE还可以利用等腰OAB三线合一的性质来证（图724）；，是根据等弧的定义。教师将学生自己归纳的定理内容写在黑板的显著位置上，指出这个定理叫做垂径定理。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2分析定理的条件和结论，引导学生说出定理的几何语言表达形式（结合图724）：CD是直径 AEBE （CD过圆心） CDAB 3运用反例和变式图形，揭示定理的本质属性。看下列图形，能否使用垂径定理？为什么？（图725）学生回答后，教师强调：定理中的两个条件缺一不可。三、应用举例，变式练习例1 如图726，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。分析：由题设可作出OEAB，垂足为E，要求O的半径，自然想到要连结OA（或OB）。解：由学生口述解题方法和解题过程，教师板书。解后提出问题。（1）如图726，若OA10厘米，OE6厘米，求弦AB的长。（2）如图726，若圆心到弦的距离用d表示，半径用R表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？第（1）个问题结合例1思考，学生较易得出结论。第（2）个问题有了前面两问做铺垫，启发学生把垂径定理和勾股定理合并考虑，这样就把问题转化为解直角三角形的问题，于是得出：R（）d据此，在a，R，d三个量中，知道任何两个量就可求出第三个量。变式1 如图727若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系？（投影显示）引导学生作出判断后再思考证法。估计学生会考虑到以下两种证法，此时教师可有意识引导学生进行讨论。（图728）最后通过比较择优，突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性。变式2 如图729，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论ACBD还成立吗？属特殊情况，学生易证得ACBD。变式3 将图729变成图730后，则有EA_，EC_。试证明之。分析：只要将小圆隐去，问题转化成变式1，于是有EAFB；同理只要将中圆隐去，问题也转化成变式1，有ECFD。变式4 在图727中，将大圆隐去，连结OA，OB，得图731，设AOBO，求证ACBD。变式5 在图727中，连结OC，OD，将小圆隐去，得图7732，设OCOD，求证ACBD。引导学生分析思考，得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O引弦AB的垂线段，最后请两名学生上黑板板演证明过程。变式6 如图733，当弦AB移到与小圆只有一个交点时，AC与BC相等吗？指出：这个问题我们今后将会学到，有兴趣的同学可在课后预习一下。四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容？学习了哪些基本观点和方法？应用垂径定理要注意哪些问题？学生回答的基础上教师归纳：1投影打出垂径定理的基本图形。（图734）然后指出，本节课主要学习了（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理。2有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题。3垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法。五、布置作业1课本P8284习题71A组11，12 。B组2。2利用：（1）CD是直径 （3）AEBE （4） （2）CDAB （5）提出问题：（i）把（1）和（3）互换，命题成立吗？（ii）把（2）和（3）互换，命题成立吗？（iii）把（2）和（4）互换，命题成立吗？提出问题，给学生留有思考的余地，为学习垂径定理的推论作准备。板书设计垂直于弦的直径（一）1圆的轴对称性 例1： 变式练习。2垂径定理 解： 证明：3垂径定理的表达形式课堂教学设计说明这份教案为1课时垂径定理是本节课的重点也是难点，其难在