2.2.2直接证明与间接证明3.ppt

2 2 1直接证明与间接证明 第三课时 反证法 思考 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则C必定是在撒谎 为什么 分析 假设C没有撒谎 则C真 那么A假且B假 由A假 知B真 这与B假矛盾 那么假设C没有撒谎不成立 则C必定是在撒谎 1 反证法 假设命题结论的反面成立 经过正确的推理 引出矛盾 因此说明假设错误 从而证明原命题成立 这样的的证明方法叫反证法 反证法的思维方法 正难则反 反证法是一种间接证法 2 反证法的一般步骤 假设命题结论不成立 假设不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾 1 假设 2 推理得出的结论 与定理 定义 公理矛盾 3 所证命题成立 反思1 用反证法证题的一般步骤是什么 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 假设结论反面成立 正确推理导出矛盾 否定假设肯定结论 例1 已知直线和平面 如果且 求证 a b 下面用反证法证明直线与平面没有公共点 假设直线与平面有公共点P 则 即点P是直线a与b的公共点 这与矛盾 所以 因为 而所以与是两个不同的平面 见书P90例4 例2 求证 是无理数 假设不成立 故是无理数 见书P90例5 你能说出下列结论的反面吗 a b2 d是正数3 a 04 a b a不垂直于b d不是正数 即d 0 a 0 a不平行b 万事开头难 让我们走好第一步 例3 用反证法证明 如果a b 0 那么 练一练 1 已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 练一练 2 常用的互为否定的表述方式 至少有一个 至少有三个 至少有n个 最多有一个 一个也没有 至多有两个 至多有 n 1 个 至少有两个 1 1 3 3 n n 1 1 准确地作出反设 即否定结论 是非常重要的 下面是一些常见的结论的否定形式 不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 存在某x 不成立 存在某x 成立 不等于 某个 1 用反正法证明时 导出矛盾有那几种可能 1 与原命题的条件矛盾 2 与定义 公理 定理等矛盾 3 与结论的反面成立矛盾 1 难于直接使用已知条件导出结论的命题 2 唯一性命题 3 至多 或 至少 性命题 4 否定性或肯定性命题 2 你认为反证法的使用情形有那些 反思2 说明 常用的正面叙述词语及其否定 不等于 小于或等于 大于或等于 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有n 1个 某两个 思考 试一试 1 2 两直线平行 同位角相等 这与已知的 1 2矛盾 假设不成立 证明 假设结论不成立 则a b 宜用反证法证明的题型 1 以否定性判断作为结论的命题 2 某些定理的逆命题 3 以 至多 至少 或 不多于 等形式陈述的命题 4 关于 唯一性 结论的命题 8 涉及各种 无限 结论的命题等等 7 有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 6 一些不等量命题的证明 5 解决整除性问题 1 用反证法证明 在三角形的内角中 至少有一个角大于或等于 已知 如图 是 的内角 求证 中至少有一个角大于或等于 度 证明 假设所求证的结论不成立 即 则 度这于 矛盾所以假设命题 所以 所求证的结论成立 三角形的内角和等于 不成立 填一填 2 如图 在 ABC中 若 C是直角 那么 B一定是锐角 证明 假设结论不成立 则 B是 或 当 B是 时 则 这与 矛盾 当 B是 时 则 这与 矛盾 综上所述 假设不成立 B一定是锐角 直角 钝角 直角 B C 180 三角形的三个内角和等于180 钝角 B C 180 三角形的三个内角和等于180 填一填 1 a b 的反面应是 A a b B a b C a b D a b或a b 2 用反证法证明命题 三角形中最多有一个是直角 时 应假设 练一练 D 假设三角形中有两个或三个角是直角 总结回顾 1 反证法的一般步骤 假设命题不成立 引出矛盾 假设不成立 求证的命题正确 假设 归谬 结论 从假设出发 得出结论 与假设 已知 定义 定理 公理或者事实矛盾等 2 用反证法证题时 应注意的事项 1 周密考察原命