数论01 五上05 整除.doc

五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲整 除【内容概述】熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题【典型问题】1. 【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）173是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？2. 【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？3. 【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？4. 【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？5. 【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数问修改后的这个数是多少？6. 【50506】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？7. 【50507】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）已知四十一位数555999（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？8. 【50508】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除这个六位数是多少？9. 【50509】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）将自然数1，2，3， 依次写下去组成一个数：12345678910111213如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？10. 【50510】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲50502）1至9这9个数字，按图4-1所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？193426857图4-111. 【50511】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除l号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对问： (1) 说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ (2) 如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数12. 【50512】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）找出4个不同的正整数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少？13. 【50513】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）把若干个自然数1，2，3，乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？14. 【50514】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲）975935972，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？15. 【50515】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲）如图4-2，依次排列的5个数是13，12，15，25，20它们每相邻的两个数相乘得4个数这4个数每相邻的两个数相乘得3个数这3个数每相邻的两个数相乘得2个数这2个数相乘得1个数请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零？1312154254204图4-216. 【50516】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲 ）求从1001开始第100个不被11整除的数。1110。从1001开始，每11个数中有10个不能被11整除的数，前110个数中有100个不被11整除的数，故第100个数是1001+110-1=1110。17. 【50517】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲)一个6位数，它的前3位组成的数加后3位组成的数的和是220，且它能被7整除，求满足条件的所有6位数。条件表明前3位和后3位都介于100120之间，且差能被7整除，并且奇偶性相同，故差只能是0或14。最终检验得110110，117103，103117是满足条件的数。18. 【50518】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲)甲是一个两位数，将其个位与十位交换得到乙，丙为甲与乙之和，如果丙是一个数的平方，求甲。设甲是，则乙是，丙为11(a+b)；丙是完全平方数表明a+b也为11的倍数，从而a+b=11，甲可以是92，83，74，65，56，47，38，29。19. 【50519】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲)甲是一个两位数，将其个位与十位交换得到乙，设甲比乙大，丙是甲乙的差。（1） 如果丙是乙的，求甲；（2） 如果丙是乙的，求甲；（3） 如果“丁=”，则丁有多少个不同的值？设甲为=10a+b，乙=10b+a，丙=9（a-b），其中ab。（1）（2）两问都可以由乙丙关系求出a，b的比值，得（1）中甲=51，（2）中甲=21，42，63，84。（3）观察（1）（2）发现a和b的每一个比值对应一个丁，从而仅需计算a，b在小于10内的不同比值即可，共有27组。20. 【50520】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）求出最小的四位数，使得它是75的倍数，且各位数字互不相同。1275。21. 【50521】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）各位数字互不相同的11的倍数中，最小的那个是多少？132。22. 【50522】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）甲乙两人玩一个数学游戏，规则如下：他们从甲开始依次划掉九位数123456789中的一个数字，各划掉3个数字后剩下一个三位数，如果这个三位数是偶数或者25的倍数，那么甲将获胜，否则乙取得胜利。甲乙谁将取得胜利呢？乙胜。乙前两次划掉7和9。23. 【50523】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）请写出五个正整数，使得它们任何两个数的和都是其差的倍数。12，14，15，16，18（答案不唯一）。24. 【50524】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）（1）能否找到五个正整数（可以相同），使得其中的任意三个之数和都是另两个数之和的倍数。（2）能否找到五个互不相同的正整数，使得其中任意四个数之和都是剩下一个数的倍数。（1）可以。例如：1，1，1，1，2即可，不妨设这5个数为，则、与都小于2，只能是1，所以，eab，又由是整数可知ab。（2）可以。例如1，2，3，6，12。25. 【50525】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲）三位同学一起算一个式子，对连续的4个奇数求和，第一个同学说：“我算出来是2004；”第二个同学说：“我觉得是2005；”第三个同学说：“答案应该是2006”，请问哪些同学一定算错了？三位同学都算错了。因为任意连续4个奇数的和都是8的倍数。26. 【50526】(资坤, 五上第5讲整除，数论第1讲)将1，2，3，依次写下去组成一个数12345678910111213。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么这个组成的数的各位数字之和是多少？1053。225=259。而能被25整除的数的末两位数能被25整除，于是我们只要考虑写到25，50，75，100，的数，哪个的各位数字之和最先能被9整除即可。试验知125是最小的。27. 【50527】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲）一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除；（1） 由已知要求需，即，且，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）（2） 验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件。（3） 欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且，即要求，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）。（4） 为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11.因此即，这样组合仅有（8，5）一组。（5） 为使能整除91，则要求，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）28. 【50528】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ）如果把一个四位数的前面插入一个2，中间插入00，末尾添上7，变成，并且这个新的8位数还是11的倍数，那么就称这样的四位数为“2007的11数”。那么“2008的11数”有几个？818个。通过分析，可知四位数abcd必须是除以11余5的。所以从1006到9993一共881个。29. 【50529】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ）如果把一个四位数插入2007的中间，变成，并使得新的8位数是7的倍数，那么这样的四位数就称为“2007的7数”。那么“2008的7数”数有多少个？1286个通过分析，四位数abcd应该正好是7的倍数就行。所以，从1001到9996一共1286个。30. 【50530】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ）是否存在一个各位数字互不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由。不存在。因为各位数字互不相同，至多是10位数。根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999。通过分析这个加法竖式，可知其无进位。所以一定会有两个数字9，出现重复。+99999931. 【50531】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）任意连续n个自然数的乘积都是8100的倍数，那么n最小是多少？10。8100是4，25以及81的倍数，任意连续10个自然数中必有两个2的倍数，两个5的倍数，三个3的倍数（其中有一个还是9的倍数）。32. 【50532】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）从12008中选取连续六个数的乘积其末尾最多能有几个0？5个0。12008中数的质因数分解中含5最多的一个也只能含有4个5，在一个数是25的倍数时，它前后6个数都不可能是25的倍数，所以连续六个数的积最多有5个0。而625626627628629630末尾有5个连续的和。33. 【50533】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）用数字1，2，3各两次组成一个六位数，使它是56的倍数。113232。考虑末三位为8的倍数只能为232或者112，312，再考虑被7整除的性质为前三位与后三位的差是7的倍数。34. 【50534】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）各位数字互不相同的八位数中最小的45的倍数是多少？10247895。从09中去掉两个数字使得剩下的八个数字之和为9的倍数，显然前两位为10时最小。末位只能为5，去掉两个数字和为9，只能为2和7或者3和6，这时形成的最小的八位数为10247895。35. 【50535】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）由1，2，3形成的63的倍数中最小的一个是多少？1323。由1，2，3组成的9的倍数最小的是333，此时不是7的倍数，所以至少是个四位数，1233不是7的倍数，而1323满足要求。【提高题】36. 【50536】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）对于一张卡片上的三位数669，把卡片倒过看是699，他们都是3的倍数，是否存在一个三位数，它是7的倍数，把它写在卡片上倒过来看是9的倍数？861或168。能倒过来的数是0，1，6，8，9；其中三个数之和为9的倍数可以是0、1、8；0、9、9；1、8、9；6、6、6及9、9、9。要用它们倒过来形成7的倍数可以是用1，8，9倒过来变为1，8，6。37. 【50537】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）1234是一个各位数字互不相同的十位数，它是否可以为11的倍数？如果可以，请求出最大的满足要求的十位数，如果不能请说明理由。1927836504。提示：考虑奇偶位上的差。38. 【50538】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）由1，2，3，4，5，6各一个组成的六位数使它是37的倍数，这个六位数最大的是多少？654123。这个数必须是3的倍数，且前三位与后三位求和是37的倍数。当前三位为654时它与后三位相加不进位，其和只能为777，888，999，但是由数字和可知只能为777。39. 【50539】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）一个多位数，它的各位数字互不相同，且任意的连续两个数字组成的两位数都是7的倍数，那么这个多位数最大是多少？98421。如果这个多位数中有7，它只能是70；如果含有6，它的前后依次只能为5，3，而3后只能为5，5前只能为3，这三个数只能为356，635或563。更大的数包含的数字只能为1，2，4，8，9，所以最大为98421。40. 【50540】（王坤，五上05讲，数的整除）有多少个两位数，在这个两位数的中间加入09的任何一个数后形成的三位数都不是11的倍数？9个。考虑被11整除的性质，得到这个两位数的个位与十位之和为除以11不能余09，只能是10，所以这个两位数的数字为10，一共有9个这样的两位数。41. 【50541】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）在1至18中，有几个数能够整除？13个：1，2，3，4，5，6，7，9，11，12，13，14，17，18。42. 【50542】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）算式“1(1+2)(1+2+3)(1+2+3+100)”计算结果末尾一共会出现几个连续的数字0？48个。原式=136101521283645555050，每四项就有两项是偶数，而每5项才出现2个5的倍数，因此只需算原式含质因数5的个数。只需算1中5的个数。43. 【50543】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）已知多位数“”中“”和“”分别代表0至9中的一个数字，如果它能够被52整除，那么“”和“”分别是多少？=1，=0。111111=1001111是13的倍数，前后可以截去2004位。讨论13|5002和4|即可。44. 【50544】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）仓库里有两只装有杯子的箱子，各贴有“总价132.元”、“总价123.元”（、四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）。已知其中一箱装了77只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分。那么A、B型杯子的单价分别是多少元？分两种情况讨论：（1）77|132，75|123（无解）；（2）75|132，77|123（A型杯子单价=123.2077=1.60元，B型杯子单价=132.7575=1.77元）。45. 【50545】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）将自然数1、2、3、 依次写下去连成一个多位数“123456789101112”，当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被45整除，那么N是多少？35。9| (1+N ) N，且N为5的倍数，最小的N是35。46. 【50546】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）1231是23的倍数，那么这个六位数最小是多少？121831。123123的商的首位为5，末两位为97，这个商可以为5097，5197，5297，509723120000，519723120000，529723121831。【竞赛题】47. 【50547】（汪岩，五上第5讲整除，数论第1讲）把从1开始到1000的自然数依次排列起来，并且按照4个数码一组的方式进行分组：（1，2，3，4），（5，6，7，8），（9，1，0，1），（1，1，2，1），（3，1，4，1），求满足某一组内4个数码所组成的数是45的倍数这一条件的组有多少个？13个。排两位数时规律是：，中间的两个数码是一个两位偶数中的，从（9，1，0，1）到（7，9，8，9）没有符合条件的组。排三位数时根据排列规律和被5、9整除数的特征，符合条件的有13个。48. 【50548】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）已知是1998的倍数，那么n最小为几？27由题意知道111111（n个1）是999的倍数，根据被999整除的性质，三位截取求和至少需要9个111才能加到999的倍数，从而n最小值为27。49. 【50549】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）已知是23的倍数，那么n最小是几？22。计算123，它的循环节为22位。50. 【50550】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）是81的倍数，那么n最小是几？最小为25。111，所以得到是27的倍数，每三位截取求和后是27的倍数，这个和只能为999。51. 【50551】（题解议，杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲）用数字0至9组成一个十位数，使得它从左数前m位形成的数恰能被m整除（m=1、2、9、10），这个十位数是多少？3816547290。首先0在末位，5在第5位；第2，4，6，8位必须是偶数，进一步第4，8位必须填2或6，然后进行试算。52. 【50553】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）一个三位数是13的倍数，并且它的数字和也是13的倍数，求这个三位数的最小值答案：247。53. 【50554】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）一个六位数，他是11和9的倍数，去掉首位和末位后他还是11和9的倍数，他中间的两位数为67，那么这个六位数是多少？答案：926739，从中间开始考虑。54. 【50555】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）已知1000173173，那么请你用1，2，3，4，5，6，7，8组成一个8位数，且这个8位数除以73余数为64。答案：857312647373000012100010064。55. 【50556】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）c c c c c ，小明和小李分别在上面的5个 c 中轮流填入数字形成一个五位数，小明先填，他的目标是使得这个五位数是91的倍数，他如果要达到目的他第一个数字应该怎么填？答案：在中间那位填0。56. 【50557】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）能否将19填入33的方格表中，使得这个方格表中，从左往右看形成3个三位数，从上往下看形成3个三位数，且这6个三位数都是11的倍数。答案：可以如图42填写即可。 462539187图4257. 【50558】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）N个连续自然数的积（其中包括2007）是2592的倍数，那么N的最小值是多少？答案：7个数，25923281，2004200520062007200820092010即可。58. 【50559】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）请写出一个数2 c 7 c 2 c，使他是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，要是2 c 7 c 2 c 7 c 2 c 呢？答案：267120，2772267120。（可以得到更多的这种类型的数如：277227722772267120）。59. 【50560】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）你能否写出一个各位数字互不相同的六位数，使得他是11和13的倍数。答案：可以，考虑1113143，278135143，所以278135满足要求。60. 【50561】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）在4 c 61 c 3的 c 中填入两个数使得乘积能够被99整除，则填入的两个数之和是多少？答案：1284。61. 【50562】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是18的倍数，（例如4068就不满足题意，因为交换4和0之后就不再是四位数了）则这样的四位数一共有多少个？答案：一定是由2，4，6，8组成的，所以数字之和一定为18，考虑到188622844266426444,可以形成121212440个满足要求的四位数。62. 【50563】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲）在110000中选择连续n个自然数相乘，乘积末尾有10个0，那么，n最小值为多少？答案：26个数，可以为31003125。63. 【50552】(资坤,五上第五讲整除,数论第1讲)在1990至2300之间，有三个连续奇数，其中，最小的能被5整除，中间的能被9整除，最大的能被7整除，那么，这样的三个连续奇数是_答案：2005，2007，2009用穷举法。64. 【50564】(欧觉钧,五上第五讲整除,数论第1讲)用0和19这10个数字任意组成两个数（10个数字都用上），然后将这两个数求和，有人把和中的一个数字擦去，剩下的结果为14317，那么擦去的数字是_简答2这两个数求和的结果应该能被9整除，即结果的各位数字之和能被9整除，现在一个数字擦去后剩下的结果为14317，各位数字之和为16，于是擦去的数字只能是265. 【50565】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )把自然数1、2、3、4的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数那么它最少有 位答案：25 将这一排数写下去： 123456789101112131415161718192021222324已知一个数要是9的倍数，则它各位数字之和是9的倍数依次求和，发现只有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7=81是9的倍数满足题意的数为：1234567891011121314151617共25位66. 【50566】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )已知三位数是5、6、9以及11的倍数，则该三位数是 答案： 990 是5的倍数，c=0或5是6的倍数，c是偶数所以c是0是11的倍数，c=0所以a=b是9的倍数，a=b，c=0所以a=b=9因此得出=99067. 【50567】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是 答案：45 因为343=，我们知道，在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或者98 又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5连续的11个自然数中至多只能有3个数是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那就只能是25、50或者75综上所述，这11个数是40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50所以它们的平均数是4568. 【50568】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )已知916656027207319970719547的结果是一个三位整数，则这个三位数是 答案：459首先估计答案的百位数字，因为491195，所以百位数字是4再看个位，被除数个位是3，除数个位是7，所以答案的个位数字肯定是9最后，因为被除数能被9整除，除数不能被9整除，所以商也能被9整除，那么答案的十位数字只能是569. 【50569】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )末两位为42，数字和为42，且能被42整除的数中，最小的一个是 答案：2979942 末两位是42，那么其他的数字的和是42-4-2=36那么前面至少是4位，只能是9999，但999942不是42的倍数，所以在“42”前面只能是5位数从最小数的算起，首位是1的有：18999、19899、19989、19998，但是它们都不是7的倍数，在它们后面添上“42”后，不是42的倍数再看首位是2的：27999、28899、28989、28998、29799、29889、29898、2998827999、28899、28989、28998不是7的倍数，29799是7的倍数，2979942是42的倍数所以最小的就是297994270. 【50570】(试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲 )有些自然数的末两位是56，各位数字之和是56，并且能被56整除，那么所有这样的自然数中，最小的一个是_29899856因为这样的数能被8整除且末两位是56，所以其百位只可能取0，2，4，6，8该数除去末两位数字外的其余各位数字之和为56-5-6=45，因459=5，而其百位不会是9，故它至少是8位数56若首位为1，则只可能是19999856，但这个数不能被7整除若首位为2，这时最小可能为28999856，它也不能被7整除；又经检验，数29899856能被7整除，这即为本题的答案71. 【50571】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）已知有一个四位数“A3A1”。如果它是9的倍数，那么A=多少；如果它是11的倍数，那么A=多少；如果它是7的倍数，那么A=多少？（7，2，7）72. 【50572】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是2006，那么这个六位数是多少？（320067）73. 【50573】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（38625，39675）74. 【50574】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）某个数能够被11整除，而且它的各位数字之和为13，那么这个数最小为多少？（319）75. 【50575】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）一个四位数“AB12”加上36后能够被9整除，减去32后能够被8整除，那么满足条件的最大数是多少？（8712）76. 【50576】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）如果四位数68能被73整除，那么商是多少？（86）77. 【50577】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）求100!=123100的末尾有多少个0？（24）78. 【50578】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）要使乘积19586723801的末五位都是零，方框中应填入的两个数字分别是多少？（2、5）79. 【50579】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）如果是117的倍数，那么三位数是多少？（738）80. 【50580】（李川，五上第05讲，整除，数论第01讲）一个各位数字都不大于6的六位数，能被99整除，这样的六位数共有多少个？（1222）81. 【50581】（试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47，27，24）已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，那么原来的三位数是_656 那个能被5整除的两位数的个位数字为0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字注意到该三位数的各位数字均不为零且本身是偶数，故必有原三位数的十位数字是5 三位数能被8整除意味着其末两位数应能被4整除在5159中只有52和56是4的倍数，但52不能被5，6，7中的任何一个数整除，故结合题设知三位数的个位数字必为6现在已经知道所求的三位数具有形式56因为5|5，7|56，所以必成立6|6，此外还须有8|56由这两个限制条件分别得到=3，6，9和=2，4，6，8，从而有=6，所求的三位数是65682. 【50582】（试题与详解，五上第05讲，整除，数论第01讲）已知数能被18整除，那么n的最小值是_5 18=29，又显然此数可以被2整除，所以只需考虑当n等于几时原数可以被9整除一个数能被9整除要求它的各位数字之和也能被9整除易见1+9+9+4除以9的余数为5，经试算在15+2，25+2，中，最小的能被9整除的是55+2=27，这也就意味着本题的答案为583. 【50583】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)已知，那么方框中的数是多少？（要求找到所有答案）35015384. 【50584】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)求出27！的后7位数字分别等于多少？85. 【50585】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)由1，2，3，5，7，8组成的没有重复数字的四位数中，有哪些是75的倍数？86. 【50586】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)有一个四位数，不管怎么调整它各位数字的顺序得到的新的四位数都仍然是6的倍数，那么这样的四位数有多少个？87. 【50587】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)将3添加在2007的前面或者后面形成32007或者20073这两个五位数都是3的倍数，那么请找出所有的3位数，使他添加在2007的前面或者后面形成的新的7位数都是这个3位数的倍数。88. 【50588】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)最小的各位数字互不相同的17的倍数中，最小的五位数是几？89. 【50589】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)在23的倍数中，使得末三位为999的最小的数是多少？90. 【50590】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)形如的数中，最小的11的倍数是几？91. 【50591】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)由8个不同数码组成的180的倍数中最小的数是几？92. 【50592】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)能否将12007排成一行使得任意的连续两个数之和为3的倍数；能否任意连续3个数之和为3的倍数呢？93. 【50593】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)在2007后面接着写上若干位数，使其形成一个多位数，且这个多位数是1，2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，那么这个多位数至少是几？94. 【50594】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)200720072007200720072007（左右各有10个2007）是7的倍数，那么中填的数是几？95. 【50595】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)求出2007！的末尾有多少个0。96. 【50596】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)已知，那么方框中可以填入多少？1797. 【50597】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)小明可以将1，2，3，n分成两组，使得每组数里面没有三个数构成一个等差数列，但是他发现不管他怎么将1，2，3，n1这些数分成两组，总有一组数里面有3个数构成等差数列，那么n是几？8，1256，347898. 【50598】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)从12007中最多找出多少个数，使得这些数里面任意两个数之和都不是13的倍数。93099. 【50599】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)形如且能被14整除的六位数共有多少个？120050，820050，220052，920052，320054，420056，520058，2005的答案100. 【505100】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)2007是一个四位数，数学老师说：“我在其中先后填入9个数，可以使得他分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的倍数。”那么，数学老师先后填入的9个数字之和最小是_。101. 【505101】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)275与275的乘积是72的倍数，那么两个中填入数字之和为_。102. 【505102】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)用1，2，3，4，5，6，7，8，9各一个组成3个三位数，使得他们都是9的倍数，且要求乘积最大，那么得到这个最大乘积的式子是_。103. 【505103】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)七位数83的各位数字互不相同，且他是99的倍数，那么这个七位数最小是_。104. 【505104】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)六位数1211是17与23的倍数，那么中填入的两位数为_。105. 【505105】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)请将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11写成一行，使得这一行数中的任何一个都是他前面若干数之和的约数，即他整除他前面所有数之和。_。106. 【505106】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)各位数字互不相同的且是3、5、7、13的倍数的五位数最大是_。107. 【505107】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)1，22，333，10101010101010101010，（即1个1，2个2，999个999）这999个数中有_个是11的倍数。108. 【505108】 (须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是 。109. 【505109】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。求这三个数字的和。110. 【505110】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)求能被26整除的六位数1993。111. 【505111】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)设abcd是一个四位正整数，已知三位正整数abc与246的和是一位正整数d的111倍，abc又是18的倍数。求出这个四位数abcd,并写出推理运算过程。112. 【505112】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)若自然数n的各位数字之和为527，则n的最小值是多少？113. 【505113】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个5位数能被11与9整除，这个5位数是多少？114. 【505114】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数。这个自然数最小是多少？115. 【505115】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)六位数17xy14是379的倍数，求出x和y。116. 【505116】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)如果四位数68能被73整除，那么商是多少？117. 【505117】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？118. 【505118】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。119. 【505119】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。120. 【505120】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？121. 【505121】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？122. 【505122】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？123. 【505123】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。124. 【505124】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？125. 【505125】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？126. 【505126】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。127. 【505127】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)12315能否被 9009整除？128. 【505128】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。例如将2写在任一自然数的右面，得到的新数都能被2整除。在1100中，满足条件的自然数N有哪几个？129. 【505129】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)如果是91的倍数，那么三位数是多少？130. 【505130】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)有一个2004位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c。c等于多少？ 131. 【505131】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)19九个数字按下图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？132. 【505132】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)请把1000000表示成两个自然数a和b的乘积，要求a，b都不能是10的倍数。133. 【505133】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。134. 【505134】(须佶成，五上第05讲，整除，数论第01讲)六位数1993能被33整除，这样的六位数是多少？135. 【505135】(须佶成，五上第05讲，整