概率论与数理统计习题及典型题解.doc

选择题1.事件中恰好有一个事件发生的事件是( ).(A)(B)(C)(D)答案A .事件=事件至少有一个发生,则的表示不正确的是( ).(A)(B)(C)(D)答案D (和即并,常用于互斥时的)2.事件中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A)(B)(C)(D)答案C 4.事件=事件至少有两个发生,则的表示不正确的是( ).(A)(B)(C)(D)答案C .投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为( ).(A)(B)(C)(D)9.从数字19中任取3个排成一个三位数, 所得三位数为偶数的概率是( ).(A); (B); (C); (D).一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为( ).(A)(B)(C)(D)答案D.某办公室名员工编号从到,任选人其最大编号为的概率为( ).(A)(B)(C)(D)答案B .设为两事件,则( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设则( ).(A)(B)(C)(D)答案D .设则( ).(A)(B)(C)(D)答案A6.已知则( ).(A)0.2; (B)0.6; (C)0.4; (D)0.5 . .已知则( ).(A)0.1; (B)0.3; (C) 0.9; (D)0.2. 10.已知则( ).(A)0.4; (B)0.5; (C)0.8; (D) 0.6.12.设则( ).(A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.答案C 14.已知事件独立,则( ).(A)0.5; (B)0.4; (C)0.2; (D)0.1.15.设且独立,则( ).(A)(B)(C)(D)答案C17.已知则( ).(A)0.4; (B)0.2; (C)0.24; (D)0.6. 18.设事件独立,则( ).(A)(B)(C)(D)答案C.设两两独立,则( ).(A)(B)(C)(D)答案C19.设X的分布律为X0123p0.20.30.2则为( ).(A)0.2; (B)0.3; (C)0.4; (D)0.1. 21.设变量的密度则=( ).(A)(B)(C)(D)答案A 22.已知变量的分布 则=( ).(A)(B)(C)(D)23.是标准正态分布函数,则( ).(A)(B)(C)(D)答案B.设随机变量,则下列变量( ).(A)(B)(C)(D)答案B .设变量密度则下列变量( )(A)(B)(C)(D)答案B .设服从正态分布,则随着的增大,概率( ).(A)单调增加;(B)单调减小;(C)保持不变;(D)增减不定.答案C .A地到B地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟);第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间.(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( ).(A)均应走第一条路;(B)均应走第二条路;(C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路;(D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路.(1)走第一条路线能及时赶到的概率走第二条路线能及时赶到的概率在这种场合应走第二条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率而走第二条路线能及时赶到的概率此时以走第一条路更为保险.答案D.设变量的密度为,且,分布为,则对任意实数,有( ).(A);(B);(C);(D).答案B.设随机变量服从指数分布,则随机变量的分布函数( ).(A)连续函数;(B)有一个间断点;(C)阶梯函数; (D)有两个间断点.答案B .设二维变量分量同分布,且,则( ).(A)(B)(C)(D)答案A .关于二维分布下列叙述中错误的是( ).(A)联合分布决定边缘分布;(B)边缘分布不能决定联合分布;(C)联合分布不同,边缘分布可能相同;(D)边缘分布之积即为联合分布.答案D.设二维变量则( ).(A)(B)(C)(D)答案A可先计算.已知二维变量则的值为( ).答案D(A)(B)(C)(D).设二维变量,则的值为( ).(A)(B)(C)(D)答案B.设变量,期望,方差,则参数的值为( ).(A)(B)(C)(D)答案B.已知离散变量的取值为,且,则对应于的取值概率依次为( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设二维变量的边缘不相关,则下列推论不正确的是( ).(A)(B)独立;(C)(D)答案B 25.设为总体的简单样本,是样本均值,正确的是( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设随机变量方差不为零,则是和( ).(A)不相关的充分条件,但非必要条件;(B)独立的必要条件,但非充分条件;(C)不相关的充分必要条件;(D)独立的充分必要条件.答案C.设,则,的相关系数为( ).(A)(B)(C)(D)答案D .设独立同分布,则关于的分布叙述错误的是( ).(A)参数为1的指数分布;(B)参数为的指数分布;(C)参数为2的卡方分布;(D)参数为1的瑞利分布的平方.答案A.设变量独立同分布,是的样本,则( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设独立随机变量,则统计量( ).(A)(B)(C)(D)答案B .设独立同分布,记,.则服从分布的是( ).(A) (B) (C) (D) 答案B .设是总体的独立样本,其中未知,计算总体方差的置信度为的置信区间时,使用的统计量是( ).(A)(B)(C)(D)答案B .设是总体的独立样本,已知,计算总体方差的置信度为的置信区间时,使用的统计量是( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设是正态总体的样本,则服从的统计量是( ).(A)(B)(C)(D)答案A .设是正态总体的样本,则的无偏估计是( ).(A)已知时,统计量;(B)已知时,统计量;(C)未知时,统计量;(D)未知时,统计量.答案D .设总体,均值的置信度为的置信区间含义是( ).(A)平均含总体的值;(B)平均含样本的值;(C)以的概率包含的值;(D)的分布在置信区间的概率为.答案C .已知正态总体方差,则均值的置信区间长度与置信度的关系是( ).(A)当变小时,缩短;(B)当变小时,变长;(C)当变小时,不变;(D)以上说法都不对.答案A填空题.甲,乙,丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹,设事件分别表示甲,乙,丙击中目标.则三门炮至少有两门炮击中目标如何表示 .答案或或=事件至少有两个发生的多种表示:;及交换次序;及交换次序;.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概率为,因此牌号含有数字8的概率即答案为.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有2只红球的概率为 .答案.设件产品中含件次品,从中任取两件至少有一件次品的概率为 .答案或.产品中有10件次品, 90件正品,抽取5件至少有一件次品的概率为 .答案.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .答案.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .答案或.袋中有只红球,只黑球,有放回摸球,则第次摸球首次摸到红球 .答案.在贝努利试验中每次试验成功的概率为试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案.在贝努利概型中,求在出现3次以前出现3次的概率为 .出现3次以前出现3次出现3次以前出现3次且共试验次(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次,或者至少出现3次)前次贝努利试验出现2次,且第次试验出现或贝努利试验5次试验中至少出现3次(证明两结果相等).设则 .答案39.设事件独立, P(A)=0.4, P(B) =0.6, 则P(AB )= .答案0.76.已知,则全不发生的概率为 .答案.设三个事件独立,且,则 .答案.40.甲,乙独立地射击,中靶率依次为0.8,0.7,则都中靶的概率为 .某单位装有两种系统与,系统单独使用时有效概率为;在系统有效的条件下,系统有效概率为.则两种系统都有效的概率为 .答案43.产品经两道独立工序,每道工序次品率为,则产品是次品的概率为 .答案.产品经三道独立工序,每道工序次品率为,则产品是次品的概率为 .答案46.设连续型变量X的分布则 , .由分布性质得答案,51.已知变量密度=则的分布函数= .答案.设离散型随机变量的分布列为0120.30.20.5则的分布函数为 .答案.已知变量的分布函数为则= .设X的分布列为 X -2 -1 0 1 3 则的分布列为 .设随机变量的分布列为-2-101则的分布列为 .02答案.已知变量的分布则= .公共汽车站台上，某路公共汽车每5分钟有一辆到达,假设乘客到达时间均匀分布,则10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率是 ;10位乘客中没有1位等待时间超过4分钟的概率是 .答案0.268；0.1072 .一批产品的寿命(小时)具有概率密度若随机独立抽取6件产品,则至少有两件寿命大于1000小时的概率为 .答案624/625=0.9984.(800).一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 .答案.设随机变量,则变量 .设随机变量,则概率 .答案.设为正态分布,计算:(1)若概率(2)若概率(1)(2).设随机变量独立同服从分布,则 .答案.设随机变量密度则其方差为 .答案28.用二维随机变量的联合分布函数表示下列概率：（1）（2）（3）答案（1）F(+,a)-F(+,0),（2）F(b,c)-F(a,c),（3）F(+,b)-F(a,b).设独立指数分布,则 ( ).答案DA. B. C. D.设独立指数分布,则 .答案.设变量独立同0-1分布,则变量的分布列是 .答案.设变量独立同0-1分布,则变量的分布列是 .答案.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码的分布列为 .通式或.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码的分布函数为 .答案.在编号为1至5的球中任选3只,最小号码的分布列为 .或123 p i.设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下,则= ,= .Y X 0101答案或.设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下,则= ,= .Y X 12312两行成比例答案,.设二维变量的边际均为分布,且事件与相互独立,则,的值分别为 .答案,或,.用联合分布表示概率 .答案.设指数分布独立,则 .答案.设二维变量则是否相互独立 ;是否相互独立 .答案否;是.设变量X密度且则 .答案13.设离散型变量的分布列如下,则变量的期望 .-10240.20.10.30.4答案.设随机变量的数学期望分别为5和0,则随机变量的期望为 .58.设随机变量相互独立,并且方差分别为4和9,则方差 .设独立变量的方差分别为1和3,则方差 .60.设随机变量服从二项分布则 .61.设随机变量服从参数为的泊松分布,则= .59.设为的简单样本,则的期望为 .63.设为的简单样本,则样本均值 .答案64.设为总体的简单样本,则 .答案.设独立同分布,则1) ;2) ;3)与是否独立 .答案;是.65.设为总体的简单样本,则的矩估计为 .设为总体的简单样本,则的无偏估计是 .答案.设为有限方差总体的简单样本,则的无偏估计是 .答案.称为总体的简单随机样本,若满足(1) ;(2) .(1)和总体具有相同的分布;(2)相互独立.设为总体的一个样本,则当 , .时统计量服从分布.答案.设和是依次是总体和的样本,的一个无偏估计,则应满足条件 ;当 , 时,最有效.答案.设总体的独立样本是,在计算的置信区间时,若已知,采用的统计量及服从的分布是 .答案66.独立同分布,若未知,计算的置信区间时,采用的统计量,服从的分布及参数是 答案或服从分布,维度（自由度）参数为67.设总体,已知,为来自X的一个样本,(=0.975).则m的置信度为95%的置信区间为 68.设为来自总体的一个简单样本,是样本均值(=).则m 的置信度为的置信区间为 答案.设是正态总体的简单样本,若未知,则的置信度为的置信区间是 答案69.从正态总体中抽取容量为10的简单随机样本,样本均值样本标准差则m 的置信度为0.95的置信区间为 .设是总体的简单随机样本,为样本均值和样本方差,若,则_ _;的置信度为95的单侧置信下限为 .答案1.88;计算题71.从数字中任选三个不同的数字,计算下列事件概率: =不含3和7;=含3或7;=含3但不含7. 又法.记=含3;=含7. 或 .在某城市共发行甲、乙、丙三种报纸,居民订甲报(记为A)的有45%,订乙报(记为B)的有35%,订丙报(记为C)的有30%,同时订甲、乙两报(记为D)的有10%,同时订甲、丙两报(记为E)的有8%,同时订乙、丙两报(记为F)的有5%,同时订三种报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件,并求其百分比:(1)只订甲报的;(2)只订甲、乙两报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的;(6)不订任何报纸的.72.从19九个数字中,任取3个排成一个三位数,求:(1)所得三位数为偶数的概率;(2)所得三位数为奇数的概率.73.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.从8双不同尺码鞋子随机取6只,计算以下事件的概率. =6只鞋子均不成双,=恰有2只鞋子成双,=恰有4只鞋子成双.,.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.答案(1) (2).将只相同的球,随机放入只不同的合子,共有多少种不同放法. 只不同合子有只壁,将只相同的球分成组,每组球数可为0.个壁和个球排成一排有种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法.某班个男生个女生()随机排成一列,计算任意两女生均不相邻的概率. 总数先排男生,共有种排法,女生应排在男生之间的空位上或两头,共有个位置,选出个排女生,从而有种排法,由乘法法则,基本事件容数为,.更列重合(匹配)问题编号至的球随机放入编号至的合子,每合放个球若球和合子编号相同,则称为个重合,求至少有个重合的概率记=第号球放入第号合子,.某单位同时装有两种报警系统与,当报警系统单独使用时,其有效的概率为;当报警系统单独使用时,其有效的概率为.在报警系统有效的条件下,报警系统有效的概率为.计算:(1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统有效的条件下,报警系统A有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率. (1); (2); (3); .设，试证与独立证明 ，因此，即，于是，因此，从而与独立94.第,第台车床加工的零件放在一起,产量比例为次品率依次为计算:(1)任取一零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,它是第台车床加工的概率.记事件=取得次品,样本空间的划分=零件由第台车床加工,(1) 全概率公式得(2)由贝叶斯公式,次品是第台车床加工的概率为又法.静态样本统计模型,古典概型.设总产量件;第,第车床产量依次为件;次品数依次为件.(1)条件(局限)空间总数,总次品数件,总次品率为(2)由贝叶斯公式,次品是第台车床加工的概率为95.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品,两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,生产出来的产品放在一起,且甲车间产量比乙车间产量多一倍,计算该厂产品合格率.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案红球比白球早出现96.已知袋中有10只白球3只黑球,无放回取二只球,求第二次取出的是黑球的概率.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是；(2)知道正确答案的概率是令知道正确答案,题目答对,则(1)；(2).将信息编码为,传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,被误收作的概率为,被误收作的概率为,发出编码,的概率依次为,计算:(1)接收站收到信息的概率;(2)在收到信息的条件下发出信息的概率.记事件=收到信息,=发出信息,=发出信息. (1) (2) 97.将信息编码为和传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,被误收作的概率为;被误收作的概率为,编码与传送频繁程度为,计算:(1)接收站收到信息的概率;(2)在收到信息的条件下发出信息的概率.记事件=收到信息,=发出信息,=发出信息. (1) (2) .某公司第车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第车间生产的概率.记事件B=任取的一件产品是次品,=产品由第车间生产,(1)全概率公式得(2)由贝叶斯公式得又法.静态样本统计模型,古典概型.依据是频率渐进稳定于概率设总产量件;第车间产量依次为件;次品数依次为件.(1)条件(局限)空间总数,总次品数件,总次品率为(2)随机检出的一件次品是第车间生产的概率为.件产品中有件次品,任取两件,计算:(1)在所取两件中至少有一件是次品的条件下,另一件也是次品的概率;(2)在所取两件中至少有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率.答案(1);(2).市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算:(1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率;(2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.记事件=任购一商品是合格品,=商品是甲厂生产,=商品是乙厂生产,=商品是丙车间生产.(1)全概率公式得(2)由贝叶斯公式, 不合格品是乙车间生产的概率为.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.记事件B=任取的一件产品是次品,=产品由第厂生产,甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为各厂次品贡献概率之比为因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.全概率公式模型.设第类球有个,其中有个红球,总数红球总数任取一球为红球的概率.记事件取到红球,取到第类球,.全概率公式模型.第省份人口有劳动力人,计算劳动力人口比例.总人口总劳动力第省人口比重其劳动力比例(各省贡献率之和)(各省劳动力人口比例以其人口比重加权平均)(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)以上步骤可倒.全概率公式扩展模型.第类盒子个,每盒都有只球,其中只红球,盒子总数任取一盒子,再从盒子中任取一球为红球的概率.记事件取到红球,取到第类盒子,参下题.有三种盒子共5个,第一种盒子有2个,每个盒子中放有2个白球,1个黑球;第二种盒子有1个,其中放有10个黑球,第三种盒子有2个,每个盒子中放有3个白球,1个黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一球,求此球为白球的概率记事件取到白球,取到第种盒子,.甲乙网球比赛，每局甲胜率为，乙胜率为进行到有一人比对方多得2局，求甲乙获胜概率令甲胜，前两局甲胜局解得又法令甲恰好在第局获胜,乙恰好在第局获胜（），甲胜，乙胜则发生当且仅当第局可胜可负,第局的胜负情形恰好分别与第局的胜负情形相反,即双方交错取胜,而第局连胜因此,所以,同理或 .甲乙轮流投篮,命中率分别为甲先投,分别在以下规则下求甲获胜概率.(1)先投中者获胜;(2)若某轮平局重新开始(直至某轮一方投中另一方未投中)(1)由全概率公式解得还可参考(2)列方程组求解(2)对前两次应用全概率公式解得还可参考(1)列方程求解.甲乙丙三人网球赛,三人水平相同.甲乙先比,胜者与丙比,依次循环,直至一人连胜两局即获得冠军,计算各人获冠概率.比赛规则为擂台赛.首轮在甲乙中产生擂主和候补者,丙为挑战者,此后在未决出冠军的情况下,甲乙丙的地位按擂主候补者挑战者擂主的次序轮换,依次循环.记=获得冠军,=成为擂主,=成为候补者.由全概率公式解得因此甲乙丙获冠概率分别为(甲)(乙),(丙)(甲)(乙).设人群中有37.5%的人血型为A型,20.9%为B型,33.7%为AB型,7.9%为O型.任选一人为供血者,任选一人为受血者,计算输血成功的概率.供血者受血者A型 B型 AB型 O型A型B型AB型O型可 不可 可 可不可 可 可 可可 可 可 可不可 不可 不可 可记=输血成功.( A型B型之间输血)+( O型受血).从含4只红球和3只黑球的袋中任取3只球,计算:1)取出红球数的分布列;2)不少于2只红球的概率.1) 2) .甲、乙两人乒乓球比赛,每局甲胜概率为各局胜负相互独立对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是：甲甲或乙甲甲或甲乙甲而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲获胜的概率为采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局,且最后一局甲胜,而前面甲需胜二局如共赛4局,则甲的胜局情况是：甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲甲获胜的概率为,而当时；当时故当时,对甲来说采用五局三胜制为有利.蒙提霍尔问题Monty Hall Problem美国电视晚会.现有三扇门供选择：一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面依次是一头山羊和一只玩具熊.当然是希望选择到汽车，但并不能看到门后面情况.主持人让你作选择，在你选择一扇门后，主持人打开另一扇门给你看，发现不是汽车.主持人说还有一次改选机会.是否应改选以更可能选中汽车？记=选手选中汽车，=主持人打开的窗后无车.1.如果主持人知道窗后情况，有意打开无车的窗.,改选选中汽车的概率为,因此选手应当改选第三窗.或解.设甲、乙、丙门后依次为车、羊、熊.第1次选甲门,甲、乙、丙门后依次为：情况1：车；羊；熊.情况2：熊；车；羊.情况3：羊；熊；车.3种情况中有2种情况改选得车,因此改选选中车的概率为2.如果主持人随机打开的窗后无车.或由条件(局限)样本空间(减少一个样本点)直接得到.此种情况是否改选第三窗无差异.预订航班的顾客最终有5%未到,因此对于一个容纳50位乘客的航班售52张票,求每个到达的乘客都有座位的概率未到达人数近似为泊松分布.已知某商场一天内来个顾客的概率为,其中又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为试求这个商场一天内有个顾客购买商品的概率令一天内个顾客到达,一天内个顾客购买商品,则.随机变量最大概率(密度)的位置称为众数.贝努利分布的众数.当不是整数时,众数(取整),当是整数时,众数或由因此当时,单增;当时,单减.贝努利分布的最大值估计:由斯特林公式.抛100个硬币,求有50个正面的概率.泊松分布的众数.当不是整数时,众数(取整);当是整数时,众数或由即得结论.甲乙轮流投篮,命中率分别为甲先投,直至某人投中,计算（1）甲投篮次数的分布列；（2）乙投篮次数的分布列；（3）甲乙投篮次数之和的分布列答案（1）.（2）以概率服从单点分布,以概率服从右漂移一个单位的几何分布.是两者的混合分布,即.（3）91.设变量的分布=求的密度;.92.设变量的密度为(1)求常数;(2)计算概率.证明正态(Normal)分布密度积分.证明 令极坐标表示因此,或 证明 记两边乘,积分得得换元得.设某放射性物质在时段内散逸出的粒子数服从泊松分布则第个粒子散出的时刻服从伽玛分布(课本附表)事件第个粒子到来时刻小于等于时段内散出粒子数大于等于,即于是因此第个粒子散出时刻及相邻两粒子时间间隔均服从指数分布.定理 设连续型变量密度为,严格单调,反函数导数连续,则是连续型变量,密度为证明1)若或两边对求导, 2)若或两边对求导, 因此总有.设随机变量,计算变量的密度函数.当时, 的分布,当时, 因而的密度为 又法 反函数 .设随机变量,计算:随机变量的密度函数.当时, 的分布,当时,因而的密度为又法.反函数.设随机变量,计算变量的密度.的分布函数为, 当时,;当时,. 因而的密度函数为又法.设变量密度计算:变量的分布和密度.因此指数分布或 反函数因此指数分布.设随机变量的密度函数为求的密度函数.反函数.设随机变量密度为求:(1)分布函数;(2)变量的密度.(1) 令(2) 即伽玛分布(课本附表).联合分布性质 对于任意的实数有证明 记事件则因此即 .二维分布函数的性质 函数满足二维分布函数的前3个性质,但不满足性质(4),因此不是二维分布函数.二维离散变量联合分布在矩形区域上是常数.设指数分布独立,计算:和答案.二维变量的联合分布阵列及边缘分布列的部分分布概率如下表,独立,计算表中的其它分布点上的分布概率（需要有过程）.Y X pipj分布点上的待求概率如表所示Y X pipj1 或 又法 , 或 .设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下, 计算的值.Y X 12312由独立性,两行成比例因此.设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下,计算的值.Y X 12312.设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下, 计算的值.Y X 12312合并两列Y X 1或2312由分布阵规范性得由独立得是方程的根,或由独立得分布阵两行成比例因此或.设二维变量边缘独立,联合分布阵列如下,计算的值.Y X 12312添加边缘分布列得Y X 123pi12pj1,得,或, ,得,或, ,得,或,解为,;或,. 又法，,得, ,得，, ,得，, 代入得, 解得,;或,. 又法，令,或,;或,.设二维离散型随机变量的联合分布律是YX 35q1p取何值时X与Y相互独立.添加边缘分布列YX 35q1p1由分布律的性质得,由X,Y相互独立得,得.又法,.设二维变量的联合密度求:(1)常数;(2)的边缘的密度,并判断是否独立;(3).设二维变量联合密度计算:(1)常数;(2).,=.设二维变量联合密度计算:(1)常数;(2)边缘的密度,判断并证明是否独立;(3)概率(1)由规范性得(2)边缘的密度为 边缘的密度为由,得独立. 又法.非零密度取值范围为矩形,可分离变量(联合密度可表为的函数与的函数(准密度)的积,或联合分布可表为边缘分布(准分布)的积),得 因此独立. (3).设二维变量的联合密度计算:(1)常数;(2),.设二维变量的联合密度1)计算边缘的密度并讨论其独立性;2).1)关于边缘的密度为关于边缘的密度为由于或可分离变量且定义在矩形区域上,因此与相互独立. 2).设的概率密度为求的概率密度于是得的密度为.连续型全概率公式.连续型(密度)贝叶斯公式.或.在0,1线段上任取两点将线段截成三段,计算:(1)三段可组成三角形的概率;(2)在可组成三角形的条件下,其中一点的密度.(1)任取两点,独立同分布,可组成三角形.当时,若,所截三段可组成三角形,概率为当时,若可组成三角形的概率为即由连续型全概率公式得简法.任取两点,独立同分布.当时,若,所截三段可组成三角形,概率为此时可组成三角形的概率为.由对称性,当时,可组成三角形的概率为.总之,在0,1线段上任取两点将线段截成三段可组成三角形的概率为.(2)在可组成三角形的条件下,其中一点的密度为求:(1)的边缘的分布和密度;(2)的联合分布;(3)判断是否独立.二维正态分布的联合密度的一般形式为.若某二维变量的联合密度求的分布参数的值.将二维变量的联合密度与二维正态分布的联合密度的一般形式比较有4个等式中任意3个相互独立.式除以式得代入式得将式代入上式得再代入式得.正态分布的产生.在测量天体位置的时候,考虑二维误差变量联合密度假设：误差变量相互独立；联合密度在空间上具有旋转对称性,即与角度无关.可得具有形式转换为极坐标由旋转对称性有综合得：取得取得因此均为偶函数.代人式得令则从函数方程解出,规范化(或正则化,让积分为1,需)令得是正态分布是二维正态分布.贝塔函数与伽玛函数的联系.证明 令得令得(令)(令)因此.伽玛分布的可加性.设独立变量则证明 由卷积公式(令)87.设随机变量X的分布列为X013P0.3p0.3求(1)p;(2)期望E(X);(3)方差D(X).90.设变量的密度为且求与.计算贝努利分布的期望.根据公式.设几何分布计算期望和方差又法解得.设泊松分布计算期望和方差 .设随机变量X的密度计算变量的期望和方差.设分子速度服从麦克斯韦分布,密度为分子的质量为,求分子平均速度和平均动能.设某类财产保险保额元,一年内财损发生率.计算:(1)保单盈亏平衡价;(2)若期望利润率,保单价格.(1)每份保单利润为令元. (2)每份保单利润为令或由 成本+利润=成本+利润率销售额=销售额, 元. .有奖问答晚会上,参赛者需回答两道题,答对分别奖v=200元,v=100元,若先回答,只有答对才有资格回答,假设答对的把握分别为.在期望准则下,(1)应先回答哪道题;(2)总的期望奖金是多少.若先回答期望奖金若先回答期望奖金在期望准则下,若应先回答若应先回答若回答先后无差异,如今因此在期望准则下,应先回答.期望奖金=0.6200+0.60.8100=168元;=0.8100+0.60.8200=176元.郭先生想替他的汽車購買損壞意外保險,保費是每年2500(元)他估計他的汽車在一年內受到嚴重損壞,普通損壞及輕微損壞的概率分別是0.05,0.1及0.6,而這些損壞的維修費分別是20000,5000及2000(元)試判斷郭先生應否購買該保險期望維修費=0.0520000+0.15000+0.62000=2700(元),期望的維修費較保險費為高,因此他應購買該保險.商店销售季节（周期）性商品,每适时售出一件可获利元,期末未售出每件亏损元,若适时售出的商品件数的分布律为为使期望销售利润最大,期初应准备多少件商品.设准备件商品的利润为,则取最大的,使应准备件,期望利润最大,若存在使准备,件均可.设变量独立同指数分布,计算:最小值变量的分布和期望.补分布最小值变量补分布或由最小值变量分布得指数分布又法 密度分布最小值变量密度 因此指数分布 .相互独立的个电子设备寿命依次服从指数分布串联成一个系统,求系统的寿命分布与期望.即下题.设独立变量,计算:最小值的分布和期望.补分布补分布得指数分布.设独立同指数分布,求最大值变量的期望.设独立同几何分布,求最小值变量的分布和期望.补分布最小值变量补分布或由最小值变量分布得几何分布又法,补分布为最小值变量补分布或由最小值变量分布得几何分布.设独立同几何分布,求最大值变量的期望.,或直接有由上题,.设独立变量,计算条件概率(分布):(1) (2) (1) (2) 因此.设独立同分布,计算:(1)的期望和方差;(2)的期望和方差; (3),的期望.(1).(2).(3),.不相关推不出独立的最简例子.设二维变量均匀分布在三点上，则不相关，但不独立.证明：总有得由分布对称得因此即不相关，但可由得即的取值影响的分布，因此不独立.设的联合分布阵列为Y X 12312计算:.或 ,. 或 , . . 或., .设二维变量联合密度计算:或 或 .设随机变量的联合密度计算:., ，或 .由对称性,或 ,. .大数定律与中心极限定理.从正态总体中抽取容量为的独立样本,如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0.95,样本容量n至少应取多大.样本均值标准化变量为 因此至少取35.设正态总体的容量为的简单样本为,样本均值和样本方差依次为求满足下式的k值:正态总体样本方差未知,统计量.在每次试验中,事件A发生的概率为0.5,用切比雪夫不等式估计:在1000次独立试验中,事件A发生的次数X在400600之间的概率XB(1000,0.5),E(X)=np=10000.5=500,D(X)=npq=10000.50.5=250,应用切比雪夫不等式,有P400X600=P|X-500|100用中心极限定理估计较精确.一个系统由100个相互独立的部件组成,在系统运行期间每个部件损坏的概率皆为0.05,记同一时间损坏的部件个数为.(1)求服从的分布及参数;根据中心极限定理,X近似服从的分布及参数;(2)若系统只有在损坏部件不多于8个时才能正常运行,求系统正常运行概率.(1) X服从参数的贝努利分布.根据中心极限定理,近似服从正态分布 (2) .一个系统由个相互独立的部件组成,每个部件的可靠性皆为0.90.至少有80%的部件正常工作才能使系统正常运行.计算:(1)正常工作的部件数的分布及参数,根据中心极限定理,近似服从的正态分布参数;(2)根据确定至少取多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.某保险公司有一万人参加工伤保险,每人付18元保费,一年内一个人工伤概率为工伤时其家属可向保险公司领得2500元保额.计算保险公司亏损的概率.某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,各机床开关独立,开动时每部功率1.5千瓦,记同时开动的机床数为.(1)求X服从的分布及参数;根据中心极限定理,X近似服从的分布及参数;(2)电站