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概率论与数理统计复习提纲一，事件的运算 如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生, 为至少一次不发生, AB+BC+AC和都是至少两次发生, 为恰有两次发生. 为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言.二, 加法法则与乘法法则如A与B互不相容, 则P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)而对于任给的A与B有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(1)因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.而P(AB)=P(A)P(B|A), 因此P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来.也是常用式子三, 全概率公式和贝叶斯公式设A1,A2,构成完备事件组, 则任给事件B有 (全概率公式),及(贝叶斯公式)其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A与它的逆, 即任给事件A,B有通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A或者之一发生, 而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B发生的概率, 并要求B发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式.四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量一元: P(=xk)=pk (k=1,2,), 性质:二元: P=xk, =yj)=pij(i,j=1,2,)边缘分布与联合分布的关系:2. 连续型随机变量, , 性质:分布函数为, 且有如(x), =f(), 则求的概率密度函数的办法, 是先求的分布函数F(x), 然后对F(x)求导即得的概率密度函数.五, 随机变量的数字特征数学期望:离散型: 连续型: 性质: E(x+h)=Ex+Eh, E(x-h)=Ex-Eh方差:离散型: 先计算, 则连续型: 先计算则性质: 如x,h相互独立, 则D(x+h)=Dx+Dh, D(x-h)=Dx+Dh协方差和相关系数:计算两个随机变量x和h的协方差cov(x,h)和相关系数r的关键是计算E(xh),离散型: 则cov(x,h)=E(xh)-E(x)E(h)六, 几种常用的分布二项分布B(n,p)是指.它描述了贝努里独立试验概型中, 事件A发生k次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行.超几何分布将N个元素分为N1个和N2个两类, N1+N2=N, 从中任取n个, 其中N1个元素的个数是一随机变量x, 服从超几何分布, 且有普阿松分布x服从普阿松分布, 是指其概率函数为正态分布x服从正态分布, 即x, 记作xN(m,s2).x服从标准正态分布xN(0,1)性质: 如果xN(0,1), 则ax+bN(b, a2)指数分布x服从指数分布, 即它的分布函数为七, 统计量假设x是总体, Ex=m, Dx=s2, 而(X1,Xn)是取自总体x的样本, 则EXi=m, DXi=s2 (i=1,n)样本均值, 样本方差样本标准差八、典型例题习题一1为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统 和 ，每种系统单独使用时，其有效概率 为 ， 为 ，在 失灵条件下， 有效的概率为 ，求： 发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？ 失灵条件下， 有效的概率？解答 由题意可得 即 得 则 由题意可得 2三个箱子，第一个箱子中有 个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球 个白球，第三个箱子有 个黑球 个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问； 这个球是白球的概率？ 已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？解答 设 从第 个箱子中取到白球 取到白球 由全概率公式可得 由贝叶斯公式可得 3假使有两箱同种零件：第一箱内装 件，第二箱内装 件，其中 件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求： 先取的零件是一等品的概率 ？ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率 ？解答 设 被挑出的是第 箱 第 次取出的零件是一等品 则 ， , 由全概率公式可得 4袋中有 个球，其中有 个是新的，第一次比赛时从中任取 个用，比赛结束后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取 个，求： 第二次取出的球都是新球的概率？ 又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？解答 设 第 次取到新球 第二次取到新球 5设甲乙两袋，甲袋中装有 个白球， 个红球，乙袋中装有 个白球， 个红球，现在从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？解答 设 从甲袋中取到白球 从甲袋中取到红球 从乙袋中取到白球 则 6设有来自三个地区的各 名， 名和 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 份， 份和 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份， 求先抽到的一份中是女生表的概率 ？ 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 ？解答 设 报名表是 区考生的 第 次取到的报名表是男生的 则 ； , , 由全概率公式可得 于是 7 架长机和 架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为 ，在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落的概率为 ，求目标被炸毁的概率.解答 目标被炸长机到达目的地长机与一架僚机到达目的地长机与两架僚机到达目的地表示长机到达 表示一架僚机到达 表示另一架僚机到达 习 题 二一填空题1设随机变量 ， ，若 ，则 解答 ，可得 则 2 已知随机变量 只能取 四个数，其相应的概率依次为 ，则解答 由 ，可得 ，解得 4设 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为解答 方程有实根 6已知 联合密度为 ，则 ， 的边缘概率密度 解答 由 ，可得，得 7设平面区域 由曲线 及直线 所围成，二维随机变量 在 上服从均匀分布，则 关于 的边缘密度在 处的值为解答 区域 的面积为 ，由题意可得 的概率密度为则 关于 的边缘密度在 处的值为 三证明题2设 是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为 的泊松分布，证明： 服从参数为 的泊松分布.证明： 因为 ， 于是 = 即 服从参数为 的泊松分布.3设 是分布函数，证明：对于任意 ，函数 也是分布函数.证明：作积分变换 ，则 是分布函数，于是 即 是分布函数，对于任意 ，有 所以 是递增函数. 是分布函数，所以对 ，当 时， ，于是 由 任意性可知 ，即 右连续. 因为 所以对 ，当 时， ，当 时， ， 于是当 时由 任意性可知 当 时 由 任意性可知 综上所述， 也是分布函数.四计算题2某射手有 发子弹，射击一次命中率为 ，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完 发子弹，求所用子弹数 的分布密度.解答 由题意可得 的分布率为即 的分布率为 6随机变量 的分布密度为 求： 常数 . 分布函数 .解答 由 的性质可得 即 当 时， 当 时， 当 时， 所以 的分布函数为 7设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 具有分布密度函数 求： 测量误差的绝对值不超过 的概率. 接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过 的概率.解答 由题意可得 ，则 则 8设电子元件的寿命 具有密度为 问在 小时内， 三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ 三只元件中全损坏的概率是多少？ 只有一只元件损坏的概率是多少？解答 以 表示第 只电子元件的寿命，以 表示事件“在使用 小时内，第 只电子元件损坏”，则 9对圆片直径进行测量，其值在 上均匀分布，求圆片面积的概率分布.解答 设圆片直径的测得值为 ，面积为 ，则 ，又 的分布密度为 由 ，有 ，在 为单调函数，则，则 故 11设 服从参数为 的 分布，在 下，关于 的条件分布为表 ，表 所示求 的联合概率分布，以及在 时，关于 的条件分布.解答 由题意可知 ， ，所以 又 所以 的联合概率分布为 在 时，关于 的条件分布为12设随机变量 相互独立，并在 上服从均匀分布，求随机变量 的分布密度.解答 由题意可得 由于 相互独立，故 的联合分布密度函数为 当 时， ，所以 当 时， ，所以 当 时， ，所以 所以 13设 相互独立，分布密度分别为 求随机变量 的分布密度.解答 由于 相互独立，故 的联合分布密度函数为则 的分布函数为 当 时， 当 时， 所以 的分布密度为 ，即 14设 相互独立，且在 上均匀分布，求使方程 有实根的概率.解答 在 上均匀分布，则 的分布密度为 又 相互独立，所以 方程 有实根条件是 即 所以 15设 的密度为求： ; 解答 16假设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量 求 和 联合概率分布； 求 解答 随机变量 服从参数为 的指数分布，则由题意可得 习题35设 ， ( 为正整数)，则 解答 由题意有 (奇函数)所以 故 6设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量 ，则方差解答 由题意可得 则 ，所以 7若随机变量 相互独立，且服从相同的两点分布 ，则 服从分布， ， .解答 设 为事件发生的概率，则由题意可得 所以 一选择题1设随机变量 与 独立同分布，记 ，则随机变量 与 必然不独立 独立相关系数为零 相关系数为零解答 所以 与 互不相关，故选择 ，但 与 互不相关却不能推断出 与 相互独立.2设 ，则 不存在解答 由于 为非收敛数列，所以 不存在,故应该选 .4已知 与 的联合分布如下表所示，则有与 不独立 与 独立与 不相关 与 彼此独立且相关解答 与 的边缘分布律分别为 则可计算得 ，所以 与 相关，又 所以 与 不独立，故应该选 .9随机变量 与 不相关的充分必要条件为 解答 不相关的充要条件是 ，则 即 ，于是 ，所以选 .10人的体重 ， ， ， 个人的平均体重为 ，则下列结论正确的是 解答 由题意可知 ，则 所以应该选 .三证明题1设 是随机变量， 是常数，证明： ，其中 .证明： 2设 和 为相互独立的随机变量，其分布密度为 ， 证明：他们的卷积，即随机变量 的分布密度也服从正态分布.证明：由题意可知 和 服从 分布，则 令 ，得即 也服从 分布.3设 相互独立，证明： 证明：因为 相互独立，所以 于是 又 从而 4设 和 为随机变量的任意两个可取值， 分别为其数学期望与方差，则证明： 四计算题1设 的分布律为 ，求 .解答 2设随机变量 具有概率密度为 ，求 .解答 3设随机变量 和 的联合分布为求 解答 的概率分布为则 4一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 ： 的概率分布； 解答 的取值应该为 以 表示事件“汽车在第 个路口首次遇到红灯”，则 ，且 相互独立，则 5设 的分布密度 求 .解答 6设 服从区域 上的均匀分布，求相关系数 .解答 因为 的面积为 ，故 和 的联合密度函数为于是 即 则 又 则 7在长为 的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.解答 设 分别表示两点的坐标， 服从区域 上的均匀分布，其联合密度函数为 令 ，则 的分布密度为 当 时， 当 时， 于是 当 时，区域 包含整个正方形区域，则 即 则 密度函数为 所以 8设 为服从正态分布 的随机变量，且 相互独立，求 .解答 9设随机变量 的分布函数为 求 .解答 10设 的联合密度为 求 .解答 所以 同理可得 又 故 11假设一部机器在一年内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 个工作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障仍可获利润 万元；发生二次故障所获利润 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 万元，求一周内期望利润是多少？解